© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2003

Een internet provider biedt zijn klanten volledig gratis toegang tot internet aan. Dat klinkt aantrekkelijk, maar in de praktijk valt het tegen, zoals blijkt uit een artikel uit een computertijdschrift blijkt dat maar 1 op de 20 pogingen om een internetverbinding te krijgen succesvol verloopt.
We gaan er in de rest van deze opgave van uit dat bij iedere poging de kans op succes precies gelijk is aan 0,05.

Inge is klant van deze provider. Het computerprogramma dat zij gebruikt om internetverbindingen te maken, probeert na een mislukte poging automatisch opnieuw verbinding te maken.
In theorie kan Inge het computerprogramma net zo vaak laten proberen tot er een verbinding tot stand is gekomen. Het aantal benodigde pogingen noemen we n. De kans dat er precies n pogingen nodig zijn noemen we pn.

Er geldt bijvoorbeeld:  p3 = 0,045125
       
  a. Toon dit aan.  
       
  In de praktijk kan het programma niet meer dan 12 pogingen doen.
       
  b. Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat het computerprogramma een verbinding tot stand brengt.
     

0,4596
  We nemen nu aan dat Inge het maximale aantal pogingen van de computer zelf kan instellen. We noemen dit maximale aantal M. Inge wil M zó kiezen dat de kans dat er geen verbinding tot stand komt ten hoogste 30% is.
       
  c. Bereken de kleinste waarde van M waarvoor dit het geval is.
     

24
       
2. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2008

Alle mensen knipperen met hun ogen. Daardoor staan op groepsfoto’s vaak enkele personen met gesloten ogen. Svenson en Barnes hebben onderzocht hoeveel foto’s je moet maken van een groep van n personen om 99% kans te hebben op een foto waarop niemand zijn ogen dicht heeft. Zij hebben bij hun berekeningen de volgende aannames gemaakt:

− Het knipperen met de ogen gebeurt met onregelmatige tussenpozen;
− Mensen knipperen gemiddeld tien keer per minuut met de ogen;
− Als iemand knippert, zijn de ogen gedurende 0,25 seconden dicht.

Op een willekeurig moment wordt één foto genomen van één persoon. Op basis van de aannames van Svenson en Barnes kunnen we de kans berekenen dat deze persoon niet met gesloten ogen op de foto staat.
       
  a. Bereken deze kans in vier decimalen nauwkeurig.
     

0,0417
  In de rest van de opgave gaan we ervan uit dat de kans dat iemand met open ogen op de foto staat gelijk is aan 0,96. Bij een groepsfoto spreken we van een ‘geslaagde’ foto als alle personen op de foto hun ogen open hebben.
Een fotograaf neemt één groepsfoto van een groep van 20 personen.
       
  b. Bereken de kans op een geslaagde groepsfoto.  
     

0,442
  Een fotograaf neemt 5 groepsfoto’s van een groep van 25 personen. De kans dat er minstens één geslaagde foto bij zit is ongeveer 0,89.
       
  c. Toon dat met een berekening aan.  
       
 

Als men F groepsfoto’s maakt van een groep van 30 personen, wordt de kans P op minstens één geslaagde groepsfoto gegeven door de formule:

     P =1 - 0,7061F

Een fotograaf wil dat bij een groep van 30 personen de kans op minstens één geslaagde groepsfoto groter is dan 98%.
       
  d. Bereken hoeveel foto’s hij dan minstens moet maken.  
     

minstens 12
3. "Een leuk spelletje", zei het duiveltje tegen me. "Soort van balletje-balletje eigenlijk".
"Hier staan twee doosjes, en in één ervan heb ik jouw ziel verstopt. Kies maar....
Kies je goed, dan ben je gered. 
Kies je fout, dan zet ik er een doosje bij, en verstop jouw ziel weer onder één van de doosjes die er staan. Dan mag je wéér kiezen.
Kies je goed dan ben je gered, kies je fout, dan zet ik er weer een doosje bij, en verstop jouw ziel opnieuw......
Zo doen we dat, als het nodig is, 100 keer".

"Als je na 100 keer nog steeds je eigen ziel niet hebt gevonden is hij voor MIJ!!!!"
Voor de kans dat ik gered wordt geldt:
   
 
  a. Toon dat aan  
       
  b. Toon aan dat deze som gelijk is aan 100/101  
       
       
4. De vaas hiernaast bevat, zoals je ziet, zes genummerde en gekleurde ballen.

     
  a. Iemand trekt er zonder terugleggen twee ballen uit. Bereken de kans dat er gelijke cijfers op staan.
   

4/15
  b. Iemand trekt er met terugleggen drie ballen uit. Bereken de kans dat het gemiddelde van de getrokken cijfers 8 is.
     

11/54
  c. Iemand trekt er zonder terugleggen twee ballen uit. Bereken de kans dat zowel de kleur als de cijfers verschillen.
     

7/15
       
5. examenvraagstuk VWO 1981.  
       
  Men speelt een spel met twee schijven A en B, die onafhankelijk van elkaar draaien.
A is verdeeld in vier gelijke sectoren.
B is verdeeld in drie gelijke sectoren.
Elke sector is genummerd met één van de cijfers 1, 2 of 3. Zie de tekening.
Als beide schijven tot stilstand zijn gekomen wijst de vaste dubbele pijl W op elke schijf het midden van een sector aan.
  De stochast Z is als volgt gedefinieerd:  
    Z = 0 als W twee verschillende cijfers aanwijst.
Z = 1 als W twee gelijke oneven cijfers aanwijst.
Z = 2 als W twee gelijke even cijfers aanwijst. 		 
       
  a. Bereken de kansen op deze verschillende mogelijkheden voor Z.
       
  b. Iemand speelt viermaal met beide schijven
Elk spel levert hem een aantal punten op dat gelijk is aan de waarde van Z.
Bereken de kans dat hij in totaal tenminste drie punten haalt.
       
6.

In een grote partij van  300  CD's met computerspellen erop zitten 80 beschadigde CD's.
Ik koop van deze partij  8 CD's.
Hoe groot is de kans op hoogstens 6 beschadigde CD's? Geef je antwoord in 5 decimalen nauwkeurig.
     

0,99805
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)