© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Hiernaast zie je een (vereenvoudigde) tekening van een hijskraan.

De arm PQ (10 m) kan draaien om punt Q. SR is een staalkabel die vast zit in R (RP = 2m)
De kabel kan versteld worden in punt S.
De cabine heeft afmetingen  TQ  = 6  en TS = 4.
Q en T bevinden zich 1 m boven de grond.

Hoe lang moet de kabel worden om punt P 10 meter boven de grond te krijgen?
     

9,62 m
       
2. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2017-I
       
 

Een atleet gooit de speer vanaf de afwerpboog. Dit is een deel van de cirkel met het zogeheten 8m-punt als middelpunt en een straal van 8 meter. De speer moet landen in het gebied binnen twee lijnen die een hoek van 28,65° met elkaar maken. Deze twee lijnen snijden elkaar in het 8m-punt.

De gemeten afstand wordt als volgt gemeten:
- trek een rechte lijn vanaf de plek waar de speer landt tot het 8m-punt;
- de lengte van het deel van deze lijn van de plek waar de speer landt tot de afwerpboog, is de gemeten afstand.
Door deze manier van meten kan het voorkomen dat er een verschil is tussen de werkelijk geworpen afstand en de gemeten afstand. In de figuur staat hiervan een bovenaanzicht.
       
 

       
  De winnaar van het speerwerpen bij de mannen op de Olympische Spelen van 2012 won met een gemeten afstand van 84,58 meter. Als hij zou hebben geworpen volgens de situatie in de figuur, dan zou zijn werkelijk geworpen afstand groter zijn geweest.
Bereken in hele centimeters nauwkeurig het verschil tussen de gemeten afstand en de werkelijk geworpen afstand in deze situatie.
     

107 cm
       
3. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2017-I
       
 

Gegeven zijn de cirkels c1 en c2. Cirkel c1 heeft middelpunt M1(-2,0) en straal 2 . Cirkel c2 heeft middelpunt M2 (6,0) en straal 6 .

Voor elke positieve waarde van r is er één cirkel c3 met middelpunt M3 en straal r zó dat geldt:
- M3 ligt boven de x-as;
- c3 raakt aan cirkel c1 én aan cirkel c2.

In de figuur linksonder is de situatie getekend voor r = 21/2 en in de figuur rechtsonder figuur voor r = 41/2.
Verder is in beide figuren driehoek M1M2M3 getekend.
       
 

       
  De grootte van ∠M1M2M3 is afhankelijk van r : voor elke waarde van r geldt:
   
 

       
  a. Bewijs de juistheid van deze formule.
       
  Als r onbegrensd toeneemt, nadert de grootte van  ∠M1M2M3 tot een limiet.
       
  b. Bereken exact deze limiet in graden.
     

60º
4. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2018-I
       
 

Met behulp van een hoogwerker kan een monteur bepaalde werkzaamheden op hoogte uitvoeren. Zie de foto.

Hierbij staat de monteur in een bak, die is bevestigd aan twee scharnierende draagarmen.

De twee draagarmen draaien ten opzichte van elkaar en ten opzichte van het wagentje waaraan de onderste draagarm bevestigd is.

In deze opgave bekijken we een vereenvoudigd 2-dimensionaal model van de situatie. Zie de volgende figuur, waarin dit is weergegeven.

 
 

       
  Punt A is het scharnierpunt op het wagentje, punt B het scharnierpunt van de twee draagarmen en punt C het einde van de bovenste draagarm waaraan de bak bevestigd is.
In de situatie zoals weergegeven in de figuur geldt dat BC horizontaal is.
Hoek ABC is dan 50 graden.

In onderstaande figuur is ook het punt D weergegeven. D is de loodrechte projectie van A op de verticale lijn door C. Deze verticale lijn is in de figuur gestippeld weergegeven.
       
 

       
  De afstand AD is ongeveer 139 cm.
       
  a. Toon dit aan.  
       
  Wanneer de monteur de bak recht omhoog verplaatst, zal hoek ABC toenemen. Zie onderstaande  figuur.
       
 

       
  De monteur verplaatst de bak recht omhoog tot CD = 292 cm.
       
  b. Bereken in dit geval de toename van hoek ABC in hele graden nauwkeurig.
     

21º
5. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2016-I

In onderstaande figuur zie je vier vierkanten met hoeken en zijden zoals aangegeven.
       
 

  In deze figuur zijn de vierkanten met zijden p en q lichtpaars gekleurd; van elk van de vierkanten met zijden r en s is de helft donkerpaars gekleurd.
Bewijs dat de totale oppervlakte van de lichtpaarse delen gelijk is aan de totale oppervlakte van de donkerpaarse delen.
       
6. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2019-II
       
  Gegeven is driehoek ABC met AB = 11, BC = 8 en AC = 5 .
Het punt D ligt op zijde AB, zo dat lijnstuk CD loodrecht op zijde AB staat.
Het punt E ligt op zijde AC, zo dat lijnstuk DE evenwijdig is met zijde BC.
Zie de figuur.
       

       
  Bereken algebraïsch de lengte van lijnstuk DE. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
     

2,71
7. Vlaamse Olympiade.

Waaraan is x in de driehoek hiernaast gelijk?

     

8
8. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2021-III

Gegeven is driehoek ABC met AB = 4 en BC =12 .
Punt M is het midden van lijnstuk BC. Verder geldt: AM = 5 .
Bereken algebraïsch de lengte van AC. Geef je eindantwoord in één decimaal.

     

10,3
9. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2022-I
       
  Het comfort en het rijgedrag van een fiets worden in belangrijke mate bepaald door de framegeometrie. Naast de lengte van de verschillende buizen waaruit een frame bestaat, gaat het bij de framegeometrie ook om de hoeken waaronder de verschillende buizen staan. Hieronder staat een tekening van een fiets. In de figuur eronder is een tekening van het frame van die fiets gegeven.
       
 

       
  De bijbehorende maten zijn:
  - de liggende achtervork: AB = 425 mm;
  - de staande achtervork: AF = 542 mm;
  - de hoek die de liggende en de staande achtervork met elkaar maken: ∠BAF = 58 °;
  - de hoek die het verlengde van de stuurbuis DE met het verlengde  van AB maakt: ∠BCE = 71°
       
  De zitbuis BF en de stuurbuis DE zijn bijna evenwijdig. Als ze evenwijdig zouden zijn dan zou de hoek die BF met de lijn door AB maakt even groot moeten zijn als ∠BCE . Deze hoeken verschillen echter.

Bereken dit verschil. Geef je eindantwoord in hele graden.
     

2°
10. In 1723 heeft landmeter M. Walraven onderstaande kaart van het Gooi gemaakt. De hoekpunten van de driehoeken op de kaart zijn vaak de kerktorens van de dorpen. Met behulp van een hoekmeetinstrument heeft Walraven enkele hoeken zeer nauwkeurig opgemeten. Verder zijn twee hemelsbrede afstanden bepaald. Met het netwerk van driehoeken op de kaart kunnen zo de afstanden tussen de kerktorens berekend worden.

In 1723 zijn de volgende metingen gedaan:
  - De afstand tussen (de kerktorens van) Laren en Hilversum is 5060 meter.
  - De afstand tussen (de kerktorens van) Naarden en Huizen is 4810 meter.
  - De hoek tussen Laren-Hilversum en Laren-Naarden is 90,9°.
  - De hoek tussen Hilversum-Laren en Hilversum-Naarden is 49,3°.
  - De hoek tussen Naarden-Huizen en Naarden-Laren is 47,7°.
       
  Zie de figuur.
 

       
  Bereken de afstand tussen (de kerktorens van) Huizen en Hilversum. Geef je eindantwoord in tientallen meters nauwkeurig.
     

9070 m
11. Examenopgave HAVO Wiskunde-B 2023-I

Gegeven zijn de driehoeken ABC en BCQ met AB =10, BC =12 , BQ = CQ = 7 en  ∠BAC = α .
Bovendien is gegeven ∠BQC = 2α.
Zie de figuur.
       
 

       
  Bereken AC. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
     

13,55
12. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2023-II

Een shovel is een machine om zand mee te verplaatsen. In de bak van een shovel zit zand. Om het zand te storten, wordt de bak gekanteld.

In figuur 1 staat de beginsituatie. In deze beginsituatie zijn de bovenrand van de bak en de armen AB en ED horizontaal. Punt B ligt loodrecht boven punt D.

Verder geldt in de beginsituatie:
-   AB = 1,50 m, ED = 1,80 m en BD = 0,25 m;
-   A bevindt zich 0,30 m rechts van E en 0,25 m boven E;
-   ∠AED 39,8° .
       
 

       
  In figuur 2 staat de situatie als de bak enigszins gekanteld is. Bij het kantelen blijven de punten B, D en E op hun plek. Door de buis bij A uit te schuiven, wordt AB 10 centimeter langer gemaakt. De afstand AE verandert niet. Hierdoor draait punt A om punt E heen. Arm AB loopt dan niet meer horizontaal en  ∠AED wordt groter.
       
 

       
  Hieronder is figuur 2 met de vierhoek AEDB weergegeven.
       
 

       
  Bereken hoeveel graden de bak in figuur 2 gekanteld is ten opzichte van de beginsituatie. Geef je eindantwoord in hele graden.
     

19
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)