1. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1983.
       
  Opbrengst (= O) en kosten (= K) van een bepaald product zijn functies van de geproduceerde hoeveelheid (= q).
Op dubbellogaritmisch papier zijn de grafieken van O en K als functies van q getekend.
Neem aan dat die grafieken zich rechtlijnig voortzetten en elkaar ontmoeten in het punt (10000, 1000)
       
 

       
  a. Beschrijf O en K als functies van q met behulp van een formule.
       
  b. Teken de grafieken van O en K voor  0 < q < 10000 in een assenstelsel met gewone schaalverdeling langs de assen (neem de eenheid op de verticale as tien keer zo groot als op de horizontale).
       
  c. Bereken voor welke q de winst maximaal is; W = O - K
       
  d. Welke van de twee grafische voorstellingen, die met logaritmische schaalverdeling, respectievelijk lineaire schaalverdeling, leent zich het best voor het aflezen van de maximale winst?
       
2. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1986.
       
  Er zijn veel resultaten bekend van onderzoek naar het verband tussen de lichaamsoppervlakte O en het lichaamsgewicht M van diverse diersoorten.
Hiernaast zijn een aantal metingen verwerkt in een grafiek. De stippen stellen verschillende diersoorten voor. De rechte lijn geeft de richting van de stippenwolk aan.

     
  a. Voor een bepaalde diersoort is de bijbehorende stip in de grafiek rood omcirkeld. Geef van deze diersoort het lichaamsgewicht in grammen en de lichaamsoppervlakte in cm2
       
  b. Leid uit deze grafiek een formule af die O als functie van M aangeeft.
       
  Zoogdieren hebben allemaal ongeveer dezelfde lichaamstemperatuur. De formule die het verband aangeeft tussen M en de energie P per minuut, die nodig is om de lichaamstemperatuur constant te houden, is:  P = 0,017 • M0,75 .
Er geldt: 1 liter zuurstof per minuut komt overeen met 350 energie-eenheden.
       
  c. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de zuurstofconsumptie in liters per minuut van een gorilla met een lichaamsgewicht van 70000 gram.
       
  De opgenomen zuurstof wordt door het bloed verspreid.
De tijd waarin het bloed eenmaal wordt rondgepompt door het hart noemen we de circulatietijd T. Bij een gorilla van 70000 gram is de circulatietijd ongeveer 50 seconden. De gegevens van een aantal zoogdieren zijn in onderstaande tabel vermeld.
       
 
zoogdier M in grammen T in seconden
olifant
paard
gorilla
rat
muis		 4000000
700000
70000
200
30		 140
90
50
12
7
       
  d. Teken op dubbellogaritmisch papier de grafiek van T als functie van M.
       
3. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1986.

Een gemeente wil uitbreiden door het bouwen van een nieuwe wijk. De plaats waar de nieuwe wijk gebouwd zal worden is vastgesteld. Voordat de gemeente het uitbreidingsplan laat uitvoeren doet de gemeente onderzoek naar de kosten van het plan.

In de figuur hieronder zijn kosten van diverse vergelijkbare projecten door middel van plusjes weergegeven. Zowel langs de horizontale as als langs de verticale as is een logaritmische schaalverdeling gebruikt. Hierbij is x het aantal woningen per hectare. B stelt voor de kosten per hectare van het bouwrijp maken in duizenden guldens. Op grond van de plusjes in de figuur is een kromme getekend die het verband tussen x en B weergeeft.

       
 

       
  De formule die bij dit verband tussen B en x hoort is van de vorm  B = p • xq
       
  a. Kies tenminste 4 punten van de grafiek (de kromme) in deze figuur. Teken deze punten op dubbellogaritmisch papier en leg uit waarom het verband tussen B en x inderdaad van de vorm B = p • xq kan zijn.
       
  b. Bereken p en q in twee decimalen nauwkeurig.
       
4. In onderstaande figuur  is bij een aantal afstanden de wereldrecordtijd van mannen uitgezet. De schaalverdeling langs beide assen is logaritmisch. De punten liggen vrijwel op een rechte lijn.
       
 

       
  a. Geef met behulp van deze figuur een schatting van het wereldrecord op de 3000 meter. Geef in de figuur duidelijk aan hoe je te werk bent gegaan.
       
 

Een formule die goed past bij de grafiek van de figuur is:

       T = 0,05827 • D1,111

Hierin is D de afstand in meters en T de tijd in seconden.

Je kunt berekenen wat de wereldrecordtijd op de 5000 meter volgens deze formule moet zijn. Het wereldrecord op de 5000 meter stond tot mei 2004 op naam van de Ethiopiër Haile Gebreselassie: 12 minuten en 39,36 seconden.
       
  b. Bereken hoeveel procent die tijd van 12 minuten en 39,36 seconden afwijkt van de met de formule berekende wereldrecordtijd.
       
5. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2010.
       
  Uit onderzoek is gebleken dat er een verband bestaat tussen de lengte van diersoorten en het aantal diersoorten met die lengte. Met de lengte van een diersoort wordt bedoeld de gemiddelde lengte van volwassen dieren van die soort. Het blijkt dat er weinig lange diersoorten zijn en veel korte diersoorten. Uit gegevens die de onderzoeker Dobson verzamelde, blijkt dat bij benadering de volgende formule geldt:

S = 700/L²

       
  Hierin is L de lengte in meter en S het aantal diersoorten met die lengte. Deze formule geldt voor 0,01≤ L ≤10 .
Het aantal diersoorten van 10 cm lang is veel groter dan het aantal diersoorten  van 50 cm lang.
       
  a. Bereken met behulp van de bovenstaande formule hoeveel maal zo groot.
     

25 keer
  De grafiek van S als functie van L is op het scherm van een grafische rekenmachine lastig in beeld te brengen vanwege de enorme verschillen in S-waarden.
Het is wél mogelijk om de grafiek van log S als functie van log L goed in beeld te krijgen. Als een assenstelsel wordt gebruikt waarin
log S is uitgezet tegen log L, wordt de grafiek een rechte lijn. In de figuur hiernaast  is een dergelijk assenstelsel getekend.
 
Met behulp van de bovenstaande formule kan voor een aantal waarden van L de bijbehorende waarde van S worden berekend. Daarna kunnen log L en log S worden berekend en kan het bijbehorende punt in het assenstelsel worden getekend.

     
  b. Teken in deze figuur de grafiek van log S als functie van log L. Geef een toelichting.
       
  c. De formule  S = 700/L²  is met behulp van algebra om te werken tot de vorm  log S = p + q • log L
Bereken op deze manier de waarden van p en q.
     

log700 en -2
   
6. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2011.
       
  Een mossel bestaat voor een deel uit schelp en voor een deel uit vlees. Er bestaat een verband tussen de schelplengte L (in mm) en het gewicht van het vlees W (in grammen) van mosselen. Elk jaar wordt er onderzoek gedaan naar het verband tussen de schelplengte en het gewicht van het vlees van de gewone mossel in de Waddenzee. Hiervoor worden van een groot aantal van deze mosselen de schelplengte en het gewicht van het vlees gemeten. De resultaten voor het jaar 2005 zijn in de figuur weergegeven. In de figuur is ook een lijn te zien die een benadering geeft van het verband tussen logW en log L .
       
 

       
  a. Bepaal met behulp van de lijn in de figuur het gewicht van het vlees van gewone mosselen met een schelplengte van 65 mm. Geef je antwoord in grammen op één decimaal nauwkeurig.
     

1,3 gram
  b. Voor de lijn in de figuur geldt de volgende formule: logW = −5,5 + 3,1• log L
Werk deze formule om tot een formule van de vorm W = a • Lb .
       
7. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2012.

Een manier om de populariteit van websites te meten, is door naar de zogenoemde Alexa Ranking te kijken. Het internetbedrijf Alexa houdt bij hoe vaak websites bezocht worden, en stelt daarvan een ranglijst op. Zo heeft de
website google.com wereldwijd ranking 1 met 1,2 miljard unieke bezoekers per dag (begin 2011).
Voor een aantal Nederlandse websites is het verband tussen de Alexa Ranking en het aantal unieke bezoekers per dag weergegeven in onderstaande figuur.
In de figuur is op beide assen gebruik gemaakt van een logaritmische schaalverdeling.
       
 

       
  a. In de figuur is te zien dat er verschillende websites zijn met een Alexa Ranking tussen de 1000 en de 2000. Het verschil tussen de bijbehorende aantallen unieke bezoekers per dag van deze websites is vrij groot. Bereken dit maximale verschil met behulp van de figuur.
     

152000
  De punten in de figuur liggen globaal op een rechte lijn. Deze lijn is in de figuur getekend.
Bij deze lijn hoort de formule B = 1118000 • r -0,35.
Hierin is B het aantal unieke bezoekers per dag en r de Alexa Ranking van de website.

Lang niet bij alle aantallen unieke bezoekers per dag is in de figuur precies af te lezen welke Alexa Ranking de betreffende website heeft. Met de hierboven vermelde formule is deze ranking wel te berekenen.
       
  b. Bereken met behulp van de formule de Alexa Ranking van een website met 25000 unieke bezoekers per dag.
     

52000
  c. Beredeneer aan de hand van de formule dat de grafiek van B daalt.
       
  d. De formule B = 1118000 • r -0,35 kan herschreven worden in de vorm   log B = a + b • log r
Bereken de waarden van a en b.
     

6,05 en -0,35
8. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2017-I (gewijzigd)
afgeleide nodig.
       
  Bij dieren is het energieverbruik afhankelijk van het gewicht. In de figuur staat voor een aantal diersoorten het verband tussen het energieverbruik E en het gewicht G. Hierbij is E het energieverbruik in watt en G het gewicht in kg.
       

       
  Zowel langs de horizontale as als langs de verticale as is een logaritmische schaalverdeling gebruikt. De punten die de verschillende dieren weergeven, liggen nagenoeg op de getekende rechte lijn door de punten A(1; 3,27) en B(1000; 520).
       
  a. Geef een vergelijking voor het verband tussen E en G.
       
  b. Stel een formule op voor de afgeleide van E en onderzoek met behulp hiervan of E toenemend stijgend of afnemend stijgend is.
       
9. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2023-II

Teksten bestaan uit woorden (en leestekens, maar die laten we in deze opgave buiten beschouwing). Deze woorden zijn niet allemaal verschillend. Dat wil zeggen dat ze niet allemaal uniek zijn. Hoe meer unieke woorden je naar verhouding tegenkomt, hoe moeilijker de tekst is.

In deze opgave kijken we naar het percentage unieke woorden in een tekst. Dit percentage wordt bepaald aan de hand van twee grootheden:

U: het aantal unieke woorden in een stuk tekst;
T: het totaal aantal woorden in dat stuk tekst.

Van het boek On The Origin of Species van Charles Darwin is het verband tussen U en T bepaald.
Zie onderstaande figuur
       
 

       
  In de figuur is op beide assen een logaritmische schaal gebruikt. De gestippelde lijn geeft een benadering van het verband tussen U en T.

On The Origin of Species bevat in totaal 191 740 woorden en er komen 8842 unieke woorden in voor. Naarmate je verder leest, kom je steeds minder nieuwe unieke woorden tegen. Als je een kwart van dit boek hebt gelezen, ben je al meer dan de helft van het totaal aantal unieke woorden tegengekomen. In de figuur is op beide assen een logaritmische schaal gebruikt. De gestippelde lijn geeft een benadering van het verband tussen U en T. On The Origin of Species bevat in totaal 191 740 woorden en er komen 8842 unieke woorden in voor. Naarmate je verder leest, kom je steeds minder nieuwe unieke woorden tegen. Als je een kwart van dit boek hebt gelezen, ben je al meer dan de helft van het totaal aantal unieke woorden tegengekomen.
       
  a. Bereken met behulp van de gestippelde lijn in de figuur hoeveel procent van het totaal aantal unieke woorden je dan al bent tegengekomen. Geef je antwoord als geheel getal.
       
  De taalkundige Gustav Herdan ontdekte een algemeen verband tussen U en T voor grotere teksten. Dit verband werd door Harold Stanley Heap bekendgemaakt en wordt de wet van Herdan-Heap genoemd.

De internationale nieuwsdienst Reuters heeft een database – de zogeheten RCV1 – beschikbaar gesteld ten behoeve van taalonderzoek. Onderzoekers hebben voor RCV1 het verband tussen U en T bepaald.
Zie onderstaande figuur, waarin log(U) tegen log(T)  is uitgezet.
       
 

       
  De grafiek in deze figuur geeft het werkelijke verband tussen U en T in RCV1 en de gestippelde lijn geeft een benadering volgens de wet van Herdan-Heap. 

Iemand leest een tekst die bestaat uit de eerste 7432 woorden uit RCV1.
       
  b. Ga met behulp van de figuur na of deze tekst voldoet aan de wet van Herdan-Heap.
       
  Een formule voor de gestippelde lijn in de figuur is
 

log(U) = 0,49log(T) + 1,64
       
  c. Benader met behulp van deze formule het aantal unieke woorden in de eerste 1 000 000 woorden in RCV1. Geef je antwoord in duizenden.
       
10. Hieronder zie je van de acht planeten van ons zonnestelsel het volume (V in km3) en het gewicht (in kg).
Zoals je ziet staat er op de verticale as log(V) en op de horizontale as G
Beide assen hebben dus een logaritmische schaalverdeling.
       
 

       
  a. Vroeger was Pluto ook een planeet.
Pluto heeft volume 5,6 · 1010  kg  en  massa 1,3 · 1022  kg
Geef de plaats van Pluto in bovenstaande figuur aan.
       
  b. Hoeveel keer past de aarde ongeveer in Neptunus?
       
  De dichtheid van een planeet is gelijk aan het gewicht gedeeld door de inhoud.
       
  c. Bereken de dichtheid van Jupiter.
       
  .    
     
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)