© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Examenopgave VWO Wiskunde B, 2010.  
       
  Voor elke positieve waarde van a is de functie fa gegeven door  fa(x) = ax + 1/x met x > 0
In de figuur hiernaast is voor enkele waarden van a de grafiek van fa getekend.
De grafiek van fa heeft voor elke positieve waarde van a een top. Het lijkt erop dat deze toppen liggen op een hyperbool met vergelijking xy = c voor een zekere waarde van c. Deze hyperbool is in de figuur gestippeld weergegeven.
Toon langs algebraïsche weg aan dat de toppen inderdaad op een hyperbool met vergelijking xy = c liggen en bereken de waarde van c.

     

c = 2
       
2. Het aantal klanten dat op een bepaald moment in een supermarkt de kassa passeert varieert op een dag nogal.
De manager stelt het volgende model op:  N(t) = 80t - 30t√t  + 18.
Daarin is t = 0 het tijdstip dat de kassa open gaat (9 uur 's morgens)
Bereken algebraïsch op welk moment het bij de kassa het drukst is, en hoeveel mensen er dan per uur bij de kassa komen.
     
t = 16/9
N ≈ 89
       
3. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2012

De hoeveelheid energie die een parkiet per meter bij een bepaalde snelheid verbruikt, kan bij benadering berekend kan worden met behulp van de formule:

 

  Hierin is D het energieverbruik per meter (in Joule per meter, J/m) en v de snelheid in meter per seconde (m/s). De formule geldt voor v > 5.
 
  In de figuur zie je de grafiek die bij deze formule hoort.
De snelheid waarbij het energieverbruik per meter minimaal is, heet de kruissnelheid. Om de kruissnelheid te berekenen, is de afgeleide van D nodig. Er geldt:
 

       
  a. Toon de juistheid van deze formule voor dD/dv aan.
       
  b. Bereken op algebraïsche wijze de kruissnelheid van parkieten in meter per seconde. Rond daarna je antwoord af op één decimaal.
     
10,5 m/s
       
4. Gegeven zijn de functies:  fp (x) = √(x + p)
       
  a. Neem p = 4.
Q is het snijpunt van de grafiek van  f4(x) met de y-as. Laat zien dat de raaklijn aan de grafiek van f4 in punt Q de x-as snijdt in het punt (-8,0)
       
  b. Neem p = 4.
R is het punt van de grafiek van f4(x) waarvoor geldt dat de afstand tot de oorsprong minimaal is. Bewijs dat de x-coördinaat van R gelijk is aan -0,5
Bewijs vervolgens dat deze x-coördinaat onafhankelijk is van p. (Dus dat elke p oplevert x = -0,5)
       
  c. Toon tenslotte aan dat de lijn OR loodrecht op de grafiek van f staat.
       
5. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2010  
       
  Elmer Sterken van de Rijksuniversiteit Groningen heeft onderzoek gedaan naar het verband tussen de snelheid van Amerikaanse marathonloopsters en hun leeftijden. De figuur hieronder is afkomstig uit het rapport dat hij daarover geschreven heeft. In de figuur hiernaast is voor iedere leeftijd weergegeven de hoogste snelheid ooit gelopen door een Amerikaanse (zie de ‘zigzaglijn’). De geregistreerde leeftijden lopen van 6 tot en met 90 jaar1).

(Deze figuur is ontstaan door allerlei gegevens van verschillende loopafstanden (op verantwoorde manier) om te zetten naar de marathonlengte. Hierdoor zijn in deze figuur ook voor een marathon onwaarschijnlijk jonge leeftijden vermeld).

  De ‘zigzaglijn’ is in deze figuur benaderd door de grafiek met de formule:  v = 2,836 • x0,665 −1,390• x0,818
Hierin is v de hoogste snelheid in m/s van marathonloopsters met een leeftijd van x jaar.
       
  a. Kan een 52-jarige marathonloopster volgens dit model de marathon binnen 3 uur lopen? Licht je antwoord toe.
     
JA:10451 s
  b. Volgens het model is er een leeftijd waarop marathonloopsters (gemiddeld) het beste presteren. Stel de afgeleide van v op en bereken hiermee deze leeftijd.
     
27 jaar
       
6. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2004  
       
  Gegeven is de functie f door
f(x) = 0,2x3 - 0,9x2 + 1,2x + 1
In de figuur hiernaast is de grafiek van f getekend.

Hierin is te zien dat de y-coördinaten van de beide toppen niet veel verschillen.

 
     
  a. Bereken met behulp van differentiëren het verschil tussen deze y-coordinaten
   

0,1
       
  Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt 1,2 die aan de grafiek van f raken. Zie de figuur hiernaast.
     
  b. Onderzoek of er ook twee lijnen zijn met richtingscoëfficiënt -0,1 die aan de grafiek van f raken.
       
7. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2005  
       
  Gegeven is de functie  f(x) = -0,01x3 + 0,1x2 + x

In de figuur hiernaast is de grafiek van f getekend.

De raaklijn in de oorsprong aan de grafiek van f  gaat door een top van de grafiek van f .

     
  a. Toon dit langs algebraïsche weg aan.
     
  Verder is gegeven het punt A(0, 4)
Voor elk punt P(x, f(x)) op de grafiek van  f  tussen de punten  O(0,0) en  (10,10) bekijken we de lijn AP.
       
  b. Bereken de x-coördinaat van het punt P waarbij de lijn AP de grootste richtingscoëfficiënt heeft.
     

  ≈8,07 

       
8. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2011

De functie f is gegeven door f(x) = bx − 1/3x3 met b > 0 .
De grafiek van f snijdt de positieve x-as in A. T is de top van de grafiek van f die ligt tussen de y-as en de verticale lijn door A. De x-as, de verticale lijn door A, de horizontale lijn door T en de y-as sluiten de rechthoek OABC in.
Zie de figuur.

Bereken exact de waarde van b waarvoor rechthoek OABC een vierkant is.

     

  3/2√3 

9. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2013  
       
  Voor elke positieve waarde van p is de functie fp gegeven door
 fp(x) = 2x2 - px4
De grafiek van fp heeft de y-as als symmetrieas. Verder heeft deze grafiek drie toppen: het punt O(0, 0) en de punten A en B. Zie de figuur.
Deze drie punten zijn de hoekpunten van driehoek OAB, waarbij de coördinaten van de punten A en B afhankelijk zijn van de waarde van p. Driehoek OAB is in de figuur grijs gemaakt.

Er is één waarde van p waarbij de lengte van lijnstuk OA gelijk is aan de lengte van lijnstuk AB.

Bereken exact deze waarde van p.

   

  p = 1/3

10. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2003.
       
  In de figuur hiernaast is de grafiek getekend van de functie
  f(x) = 300x - x3.

De grafiek van  f  heeft twee toppen.

     
  a. Stel een voorschrift van  f ' op en bereken daarmee de coördinaten van beide toppen.
   

(±10, ±2000)
  Op de grafiek van  f  ligt punt P met x-coördinaat a. Hierbij is a een willekeurig positief getal.
Q is het punt op de grafiek van f  met x-coördinaat -a.
     
  b. Onderzoek met behulp van de afgeleide  f ' of de raaklijnen aan de grafiek van  f  in de punten P en Q evenwijdig zijn.
       
11. Examenopgave HAVO Wiskunde B, 2014.

De functie f is gegeven door f(x) = x√x - x .
De lijn k met vergelijking y = 1/2x heeft met de grafiek van f behalve de oorsprong ook nog het punt S gemeenschappelijk.
       
  a. Bereken exact de x-coördinaat van S.
     

2,25
  De functie g is gegeven door g(x) = x√x - 9x. De grafiek van g heeft een top.
       
  b. Bereken exact de coördinaten van deze top.
     

(36, -108)
  De functie h is gegeven door h(x) = x√x - px. Het punt  (1/4, 1) ligt op de grafiek van h.
       
  c. Bereken exact de waarde van p.
     

-3,5
12. Examenopgave HAVO wiskunde B, 2016-II
       
  De functie f  is gegeven door f (x) = (x + 1)(x2 − 5x + 5).  De grafiek van f snijdt de positieve x-as in de punten A en B. Het punt M is het midden van lijnstuk AB.
Het punt C is een top van de grafiek van f. De verticale lijn door M gaat niet door C. Zie onderstaande figuur.
       
 

       
  Bereken exact het verschil tussen de x-coördinaten van M en C.
     

1/6
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)