© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
1. examenopgave HAVO wiskunde A, 2004. (uitgebreid)
       
  Bij goudvissen doet zich een bijzonder verschijnsel voor. Een goudvis in een kleine vissenkom blijft kleiner dan een goudvis die in een grote vissenkom leeft. De grootste lengte L die een goudvis in een kom kan bereiken, hangt af van de hoeveelheid water in de kom. Het verband wordt beschreven met de formule: 

 L = 2,6 • V0,47

Hierin is L de grootste lengte van de goudvis (in centimeter) en V de hoeveelheid water in de vissenkom (in liter).

  Een goudvis kan in een kom met 8 liter water een bepaalde lengte bereiken. Deze goudvis kan een grotere lengte bereiken als hij zou leven in een kom van 13 liter.
   
  a. Bereken hoeveel procent langer hij dan kan worden. Rond je antwoord af op een geheel getal.
     

26%
  b. Hoeveel liter zou een kom moeten bevatten zodat een goudvis 12 cm lang kan worden? Geef een algebraïsche berekening.
     

25,9 liter
       
2. Examenopgave HAVO Wiskunde B, 2008 (gewijzigd)

Deze opgave gaat over de mate waarin het aantal diersoorten verandert als een natuurgebied van 10000 km2 door de mens wordt verkleind. Het percentage diersoorten in een natuurgebied van 10000 km2 stellen we daarbij op 100%.

De formules die het verband beschrijven tussen het percentage diersoorten en de oppervlakte van het resterende natuurgebied zijn van de vorm:
 

       
  Hierin is S het percentage diersoorten en A de oppervlakte van het resterende natuurgebied in km2; z is een constante die bij een bepaald type natuurgebied hoort. Voor natuurgebieden op een eiland gelden waarden van z van ongeveer 0,35 en op het vasteland geldt dat z ongeveer gelijk is aan 0,15.
Als er door het kappen van bossen nog maar 1000 km2  van een natuurgebied van 10000 km2 over is, dan is ongeveer 45% van het aantal diersoorten over.
       
  a. Toon door een berekening aan dat deze bewering juist is.
       
  In een land wil men in een natuurgebied ter grootte van 10000 km2 een gedeelte tot landbouwgrond ontginnen. De eis die men stelt is dat er minstens 90% van alle daar levende diersoorten kunnen blijven leven. Voor dit natuurgebied geldt z = 0,20.
       
  b. Bereken hoeveel km2 grond voor ontginning gebruikt kan worden.
     

5905 km2

  c. Bereken welke waarde van z bij de grafiek hiernaast hoort.

     

z = 0,4
       
3. examenopgave HAVO wiskunde A, 2010.
       
  In de figuur hiernaast is het verband tussen snelheid (in m/s) en inspanning (in Newton (N)) uitgezet, zowel voor zwemmen in een traditioneel zwempak als voor zwemmen in een haaienpak.
Duidelijk is te zien dat bij een hogere snelheid een grotere inspanning hoort en dat de grafiek die bij het haaienpak hoort lager ligt dan de grafiek die bij een traditioneel zwempak hoort. Voor dezelfde snelheid is in een haaienpak dus minder inspanning nodig.
De inspanning die nodig is met het traditionele zwempak en met het haaienpak kun je berekenen met de volgende formules:

Itraditioneel = 23,32 • v2,29
Ihaaienpak = 21,66 • v2,23

       
  Hierin is I de inspanning in Newton (N) en v de snelheid in m/s.

Met behulp van de formules kun je bij een bepaalde snelheid berekenen hoeveel procent minder inspanning er in een haaienpak nodig is, vergeleken met een traditioneel zwempak.
       
  a. Bereken dit percentage bij een snelheid van 1,5 m/s.
     

 9%
  b. In de figuur lijkt het dat in een haaienpak minder inspanning nodig is. Toch is dat niet altijd het geval, want de grafieken zullen elkaar ergens tussen 0 m/s en 1 m/s snijden. Bereken voor welke snelheden in het traditionele zwempak een lagere inspanning nodig is dan in een haaienpak.
     

van 0 tot 0,29
  c. Tijdens de Olympische Spelen van Sydney in 2000 zwom Pieter van den Hoogenband op de 100 meter vrije slag een wereldrecord in een tijd van 47,84 seconden. Pieter droeg toen voor het eerst een haaienpak. Bereken met behulp van de formules welke tijd Pieter had gezwommen als hij niet in een haaienpak, maar in een traditioneel zwempak had gezwommen, en precies dezelfde inspanning had geleverd.
     

50,37 sec
       
4. examenopgave VWO wiskunde A, 2011.

Voor het bepalen van de hoeveelheid hout in één boom wordt gebruik gemaakt van de volgende formule: V = f • d2 • h met diameter d en hoogte h beide in m (meter). In deze formule is V het volume aan hout in de boom in m3. De factor f heet de vormfactor. De vormfactor is een getal dat afhangt van de soort boom en de diameter d van de boom.

Voor de grove den wordt het verband tussen de vormfactor f en de diameter d (in m) bij benadering gegeven door de volgende formule: f = 0,30 • d2 - 0,36 • d + 0,46
       
  a. In een bos staat een grove den met een diameter van 0,16 m. Bereken hoeveel procent de vormfactor van deze boom afneemt als de diameter van deze boom met 100% toeneemt.
   

8%
  De grootste bekende diameter van een grove den is 1,2 m. Naarmate de diameter van een grove den groter is, is de hoogte ook groter. Voor de grove den geldt bij benadering het volgende verband tussen de hoogte h en de diameter d:   h = 44• d0,65  Ook hier is de diameter in m en de hoogte in m.
     
  b. Een grove den van 40 m hoog wordt gekapt. Bereken hoeveel hout deze grove den volgens de formules bevat.
   

11,12 m3
  c. Op basis van de formule f = 0,30 • d2 - 0,36 • d + 0,46 en de formule h = 44 • d0,65 kan de formule V = f • d2 • h worden geschreven als V = a • d 4,65 + b • d3,65 + c • d 2,65 . Hierin zijn a, b en c constanten.
Toon dit aan.
     
5. examenopgave VWO wiskunde C, 2012.

TNO heeft onderzoek gedaan naar de handvaardigheid (het kunnen werken met blote vingers) bij afnemende gevoelstemperatuur. Uit het onderzoek blijkt dat de handvaardigheid afneemt bij een lagere gevoelstemperatuur en langere blootstelling. Om nog met blote vingers te kunnen werken, moet de maximale blootstellingsduur beperkt blijven, zodanig dat geldt:  G • d0,48 = -113,07

Hierbij is G de gevoelstemperatuur in °C met G < 0 en d de maximale blootstellingsduur in minuten.
Met behulp van de formule G • d0,48 = -113,07  kunnen we onderzoeken hoe de maximale blootstellingsduur verandert als de gevoelstemperatuur afneemt.

Bereken met hoeveel minuten de maximale blootstellingsduur afneemt als de gevoelstemperatuur van –20 °C afneemt tot –30 °C.
   

21 minuten
     
6. examenopgave HAVO wiskunde B, 2013.

Er zijn verschillende schalen om de intensiteit van een tornado uit te drukken in een getal.
Zo is er de Fujita-schaal die in 1971 is ontwikkeld. Voor de intensiteit op de Fujita-schaal geldt de volgende formule:
   

 

Hierin is v de maximale windsnelheid in de tornado in m/s en F de intensiteit van de tornado op de Fujita-schaal. F wordt afgerond op een geheel getal.
     
  a. In een zware tornado worden maximale windsnelheden van ongeveer 280 km/u bereikt. Bereken de intensiteit van deze tornado op de Fujita-schaal.
   

3
  b. Een tornado met intensiteit 4 op de Fujita-schaal komt niet zo vaak voor. Bereken de minimale waarde van v in zo’n tornado. Rond je antwoord af op één decimaal.
   

81,3
 

Een andere schaal voor de intensiteit van tornado’s is de in 1972 ontwikkelde Torro-schaal T. Het verband tussen v en T wordt gegeven door de formule:  v = 2,39 • (T + 4)3/2

Hierin is v de maximale windsnelheid in de tornado in m/s en T de intensiteit van de tornado op de Torro-schaal. T wordt afgerond op een geheel getal.
Er bestaat een lineair verband tussen de onafgeronde F- en T-waarden. Dit lineaire verband kan worden beschreven met een formule van de vorm F = aT + b .
     
  c. Bereken de waarden van a en b. Rond je antwoorden af op twee decimalen.
   

0,52 en 0,10
     
7. Biologen hebben gemeten  hoeveel energie het een zoogdier kost om 1 kilometer af te leggen.
Zij vonden het verband   Z = 0,4 • L-0,33
Hierbij is L het lichaamsgewicht in kg en Z het aantal ml zuurstof  per kilo lichaamsgewicht dat verbruikt wordt.
     
  a. Bereken  Z voor een hond van 20 kg
   

0,15
  b. Bereken algebraïsch het gewicht van een zoogdier waarvoor Z = 0,08
   

131 kg
  c. Toon aan dat, bij een verdubbeling van het lichaamsgewicht van een zoogdier, dat zijn Z-waarde altijd met 20,4% afneemt.
     
  d. Leg uit waarom voor het totale aantal ml zuurstof dat een zoogdier bij 1 kilometer verbruikt geldt:  Z =  0,4 • L0,67
     
8. Voor de vier manen van Saturnus geldt een verband tussen de omlooptijd  in dagen en de straal R van de baan (in 105 km). Het blijkt dat T evenredig is met R1,5 .
Ongeveer geldt  T = 0,4 • R1,5

In de figuur hiernaast staan de vier manen met hun  bijbehorende omlooptijden en baanstralen.
     
  a. Onderzoek hoe nauwkeurig de constante 0,4 uit de vergelijking uit deze figuur is af te leiden..
     
  b. In 1980 ontdekte ruimteschip Voyager nog een nieuwe maan, waarvan de omlooptijd 15 dagen was. Bereken de straal van de baan.
     

11,2 • 105
  c. De vergelijking hierboven is ook te schrijven als R = a • Tb
Laat zien dat dat zo is en bereken de waarden van a en b
     

1,84 en 0,67
       
9. examenopgave HAVO wiskunde A, 2017.
       
  Bij een biologisch onderzoek werd een bos in kleine vakken van elk 1 hectare (ha) opgedeeld. In elk vak werd het aantal bomen geteld en de gemiddelde diameter van die bomen berekend.
In onderstaande tabel staan de resultaten van het onderzoek.
       
 
gemiddelde diameter
(in cm)		 14 21 34 38 55 71 77 94
aantal bomen
per ha		 4590 2380 1090 910 500 330 290 210
       
 

Uit nader onderzoek van deze gegevens blijkt dat er een verband bestaat tussen het aantal bomen per ha en de gemiddelde diameter van de bomen. Dit verband is van de volgende vorm:

N = c • G-1,62

Hierin is N het aantal bomen per ha, G de gemiddelde diameter in cm en c een constante.
       
  a. Bereken c met behulp van de tabel.
     

330000
 

Voor een ander bos geldt een vergelijkbaar verband:

N = 290000 • G-1,59

Ook hier is N het aantal bomen per ha en G de gemiddelde diameter in cm.
Dit bos heeft een oppervlakte van 4 ha. Er staan 12944 bomen gelijkmatig verdeeld in dit bos.
       
  b. Bereken met behulp van dit verband de gemiddelde diameter van die bomen.
     

16,90 cm
       
10. examenopgave HAVO wiskunde A, 2017-II
       
 

Voor het verband tussen lichaamsoppervlakte, lichaamslengte en lichaamsgewicht geldt  de formule :  
 S = 0,007184 • L0,725 • M0,425

Hierin is S de lichaamsoppervlakte in m2, L de lichaamslengte in cm en M het lichaamsgewicht in kg.
In 2011 onderzocht het CBS (Centraal Bureau voor de Statistiek) kenmerken van personen van 20 jaar en ouder. De gemiddelden van de opgegeven lengtes en gewichten staan in de tabel.
       
 
  gemiddelde lengte
(cm)		 gemiddelde gewicht
(kg)
vrouwen 167,5 70
mannen 180,9 84
       
  a. Bereken met de formule hoeveel procent de lichaamsoppervlakte van een man van gemiddelde lengte en gewicht groter is dan die van een vrouw van gemiddelde lengte en gewicht.
     

14,3%
  Van een persoon is gegeven dat zijn lichaamsoppervlakte 1,90 m2 is. Van zijn gewicht is alleen bekend dat het minstens 72 kg en hoogstens 89 kg is.
       
  b. Bereken met behulp van de formule voor S de minimale lengte in gehele cm van deze persoon.
     

158 cm
  De lichaamslengte in meter noemen we l. Er geldt: L = 100 • l .
De oorspronkelijke formule kan daarmee herleid worden tot de vorm  S = a • lb • M0,425 , waarin a en b getallen zijn.
       
  c. Voer deze herleiding uit en geef daarbij de waarden van a en b in drie decimalen nauwkeurig.
     

0,202 en 0,725
       
11. Vlaamse Olympiade.
 
 
     

n = 3
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)