© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
De politie van Groningen houdt regelmatig drankcontroles bij automobilisten. Het blijkt dat het aantal bekeuringen dat men op een avond uitdeelt bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van  46 en een standaarddeviatie van 8.
Bereken zo nauwkeurig mogelijk de kans dat er op een avond minstens 56 bekeuringen worden uitgedeeld.
       
Geraldine bezorgt folders als bijbaantje. Ze krijgt van het distributiebedrijf de folders kant en klaar in pakketten , verpakt  in plastic. Het aantal folders in een pakket varieert van week tot week. Dat aantal is bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 15 en een standaarddeviatie van 5.
Hoe groot is de kans dat Geraldine in een bepaalde week pakketen van minder dan 12 folders moet bezorgen?
       
Joke en Karien spelen elke Zaterdagmiddag in de kroeg een spelletje biljart. Ze spelen dan steeds 50 beurten, en tellen het aantal punten dat ze scoren. Een beurt gaat net zolang door totdat je een keer géén punt scoort. Dus in theorie kun je in één beurt wel oneindig veel punten scoren.
Het aantal punten dat Joke scoort in 50 beurten is normaal verdeeld met een gemiddelde van 78 en een standaarddeviatie van 12. Voor Karien is het gemiddelde 75 en de standaarddeviatie 8.
       
  a. Hoe groot is de kans dat Joke op een zaterdagmiddag meer dan 85 punten scoort?
       
  b. Hoe groot is de kans dat het aantal punten dat Karien op zaterdagmiddag scoort meer is dan 65 maar minder dan 80?
       
  c. Hoe groot is de kans dat Karien van Joke wint?
       
examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1993.

In deze opgave gaan we uit van een jaar van 365 dagen. In zo'n jaar telt januari 31, februari 28, maart 31, en april 30 dagen. In deze opgave worden de dagen van het jaar genummerd vanaf 1 januari. 1 februari heeft dan nummer 32.

Voor de bemesting van een grasland gebruikt men stikstofkunstmest. Uit onderzoek is gebleken dat de eerste bemesting in het voorjaar het hoogste rendement geeft als men direct na het bereiken van een temperatuursom (T-som) van 200ºC strooit.
De T-som is de som van de gemiddelde etmaaltemperaturen vanaf 1 januari. De gemiddelde etmaaltemperatuur per dag wordt telkens de volgende ochtend berekend en bij de vorige T-som opgeteld. Zodra de T-som meer dan 200 is, worden de boeren hiervan via de radio op de hoogte gebracht. De dag waarop dit gebeurt noemen we de melddag.
Uit gegevens over lange tijd blijkt dat het nummer van de melddag bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 105 en een standaarddeviatie van 10. 

       
  a. Bereken de kans dat de melddag een dag in april is.
       
  De mest moet beslist droog bewaard worden. Boeren en tussenhandelaren nemen deze daarom niet in voorraad. Zodra de melddag is aangebroken, wordt de mest bij kunstmestfabriek KF besteld. KF moet daar rekening mee houden. Bij het opstellen van een voorlopig jaarschema in december wenst KF dat het risico van een onvoldoende voorraad stikstofkunstmest op de melddag kleiner is dan 1%.
       
  b. Bereken de uiterste datum die KF in het voorlopig jaarschema kan opnemen voor het op peil zijn van de voorraad kunstmest.
       
examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2005 (gewijzigd).

Demografen houden zich onder andere bezig met de samenstelling, opbouw en groei van de bevolking. De groei van de bevolking is onder andere afhankelijk van het aantal geboorten. Neem aan dat het aantal geboorten per dag in Nederland bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 550 en een standaardafwijking van 35.
       
  a. Bereken op hoeveel dagen van één jaar er in Nederland naar verwachting 500 of meer geboorten zullen zijn.
       
  Hieronder is de grafiek van een normale verdeling getekend met gemiddelde μ en standaardafwijking σ.
       
 

       
  b. Bij een continue normale verdeling is de kans dat een meting tussen  μ - σ en μ + 2σ ligt ongeveer 82%.
Leg dat uit.
       
  c. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat op een willekeurige dag het aantal geboorten tussen μ - σ en μ + 2σ ligt.
     
MEER OPGAVEN
       
6. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2010.

Van de mensen die in 2006 rookten, rookte 24,5% per dag 20 sigaretten of meer. Rokers rookten toen gemiddeld 11,4 sigaretten per dag. Tine wil onderzoeken of het aantal sigaretten per dag normaal verdeeld zou kunnen zijn.
Ze bedenkt de volgende aanpak: “Als er sprake is van een normale verdeling, dan kan ik de bijbehorende standaardafwijking berekenen. Daarna kan ik nagaan of die waarde – in combinatie met dat gemiddelde 11,4 – tot een conclusie leidt.”
Bereken die standaardafwijking en toon daarmee aan dat het aantal sigaretten dat een roker per dag in 2006 rookte, niet normaal verdeeld kan zijn
 
7. Examenvraagstuk VWO Wiskunde C, 2014.

Sinds 2005 publiceren printerfabrikanten gegevens over de aantallen pagina's die met verschillende printers afgedrukt kunnen worden.
Van een bepaald type cartridge is de gemiddelde opbrengst 1703 pagina's met een standaardafwijking van 52 pagina's. We gaan ervan uit dat de paginaopbrengst bij benadering normaal verdeeld is.
       
  a. Bereken de kans dat een cartridge van dit type minstens 1650 pagina's kan printen.
       
  De door de fabrikant vermelde opbrengst is een stuk lager.
Dat komt doordat de fabrikant moet aangeven hoeveel pagina's er in ten minste 97% van de gevallen geprint kunnen worden.
       
  b. Bereken welke opbrengst de fabrikant vermeld zal hebben voor dit type cartridge. Rond je antwoord af op tientallen pagina's.
       
  De zwarte cartridges gaan langer mee dan de kleurencartridges. De paginaopbrengst van deze zwarte cartridges is ook normaal verdeeld, met een gemiddelde van 6828 pagina's en een standaardafwijking van 23 pagina's.
       
  c. Bereken in hoeveel procent van de gevallen je met vier willekeurig gekozen zwarte cartridges in totaal meer dan 27250 pagina's kunt printen.
   
8. Een leraar overhoort elke les vier willekeurig gekozen leerlingen uit zijn klas. In de klas zitten 12 meisjes en 8 jongens. Voor het aantal meisjes dat hij overhoort geldt de volgende tabel:
       
 

Aantal meisjes

0

1

2

3

4

kans

0,014

0,139

0,381

0,363

0,102
       
  Het gemiddelde aantal meisjes is  2,4 en de standaarddeviatie is 0,9
       
  a. Bereken die standaarddeviatie in drie decimalen nauwkeurig.
       
  b. Het aantal meisjes dat hij na 5 lessen in totaal heeft overhoord is bij benadering normaal verdeeld.
Benader met die normale verdeling de kans dat hij na 10 lessen precies 20  meisjes heeft overhoord. Gebruik gemiddelde 2,4 en standaarddeviatie 0,9.
       
9. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2011.

In de huidige ‘24-uurs-economie’ staat de handel in aandelen nooit stil. Het is niet goed mogelijk de prijs van moment tot moment bij te houden. We bekijken daarom de veranderingen in prijs per dag. We gaan ervan uit dat de prijsveranderingen per dag normaal verdeeld zijn met gemiddelde 0 en een standaardafwijking die per bedrijf kan verschillen. In de economie wordt die standaardafwijking de volatiliteit van een aandeel genoemd.

Meneer Kok koopt aandelen Forpins voor €30,00 per aandeel. De volatiliteit van een aandeel Forpins is €0,119. Ga er gemakshalve van uit dat de prijsverandering op de ene dag onafhankelijk is van de prijsverandering op een andere dag.
We onderzoeken de totale verandering van de prijs van een aandeel Forpins na zeven dagen.

Laat zien dat de standaardafwijking na een periode van zeven dagen ongeveer €0,315 is en bereken daarmee de kans dat een aandeel na zeven dagen afgerond meer dan €0,20 in waarde is gedaald.
       
10. Het aantal kinderen in groep 8 van de basisscholen in Nederland is normaal verdeeld met een gemiddelde van 23 en een standaarddeviatie van 4.
       
  a. Bereken de kans dat in een willekeurig gekozen groep 8 in Nederland meer dan 28 kinderen zitten
       
  In Finland zijn de klassen veel kleiner. Daar is het gemiddeld aantal kinderen in een groep 8 gelijk aan 18 met een standaarddeviatie van  3.
       
  b. Als je een willekeurig gekozen groep 8 uit Nederland vergelijkt met een willekeurig gekozen groep 8 uit Finland, hoe groot is dan de kans dat in de Finse groep minder leerlingen zitten dan in de Nederlandse?
       
11. examenvraagstuk VWO Wiskunde C, 2017.
       
  Sinds 1995 vindt er elke vier jaar een internationaal reken- en wiskundeonderzoek plaats onder leerlingen uit groep 6 van de basisschool. Dit onderzoek heet TIMSS. De gemiddelde score van alle deelnemende landen in 1995 is op 500 gesteld. Leerlingen krijgen een geheel getal als score. De gemiddelde scores van elk land worden ook afgerond op gehele waarden.
De VS hadden in 2011 een score van 541. We gaan ervan uit dat de gemiddelde score van alle leerlingen die in de VS meededen 541 is. Neem aan dat de score van de leerlingen in de VS in 2011 bij benadering normaal verdeeld is met een standaardafwijking van 76.
       
  a. Bereken hoeveel procent van de leerlingen die in de VS in 2011 aan het onderzoek meededen een score van 550 of hoger had.
       
  Neem aan dat de score van de leerlingen in België in 2011 bij benadering normaal verdeeld was met een gemiddelde van 549 en dat 75% van de leerlingen die in België aan het onderzoek meededen, een score had van 590 of lager.
       
  b. Bereken met behulp van deze gegevens de standaardafwijking van de scores in België in 2011.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)