Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven

De grafiek van een exponentieel verband gaat door de punten (5, 18) en (12, 40)
Geef een formule.

De grafiek van een exponentieel verband gaat door de punten (16, 115) en (30, 12)
Geef een formule.

Een nogal wiskundig echtpaar gaat bevallen van een baby. Ze houden nauwkeurig tijdens de zwangerschap het gewicht van het embryo in de gaten, en vinden tussen de 10^e en de 20^e week de stippen in de grafiek hiernaast.

Het valt hen op dat het gewicht in deze periode bijna exponentieel verloopt. De exponentiële rode grafiek hiernaast past goed bij de gevonden meetwaarden.

Het lijkt erop dat die grafiek precies door het eerste en laatste meetpunt gaat.
Na 10 weken was het gewicht 3,8 gram, en na 20 weken was het 298 gram.

Stel een formule op van de exponentiële grafiek die precies door deze twee meetpunten gaat.

Het stralingsniveau (S) op en bepaalde plaats direct na het inslaan van een langeafstandsraket met nucleaire kop hangt af van de afstand (a in km) tot de plaats van inslag. Metingen leverden de volgende tabel:

stralingsniveau (S)	161000	108000	32600	12000	4400
afstand (a)	2	4	10	15	20

Leg duidelijk uit hoe uit bovenstaande tabel valt af te leiden dat het hier om een exponentieel verband gaat, en geeft een formule voor S als functie van a.

De voor een mens dodelijke dosis straling is 200 of meer. Tot welke afstand vanaf de plaats van inslag zullen er direct doden gaan vallen?

Een vaste flitspaal of een mobiele flitser werkt met het zogenaamde dopplereffect. De flitspaal stuurt geluidsgolven op je voertuig af, die voor ons niet hoorbaar zijn, en meet hoe lang het duurt voordat deze geluidsgolven teruggekaatst worden. Zo weet de computer hoe snel je rijdt.
Van een optrekkende auto wordt tussen de tweede en twintigste seconde vanaf de start elke 3 seconden met een flitspaal de snelheid op dat moment gemeten. Dat levert de volgende tabel:

seconden vanaf start	snelheid (km/uur)
2	40
5	75
8	101
11	120
14	136
17	145
20	150

In deze opgave willen we onderzoeken welk model er bij deze tabel zou kunnen passen.
Het eerste model dat we bekijken is dat van exponentiële toename

V = b • a^t met a en b constanten.

Veronderstel dat de toename tussen seconde 2 en seconde 5 inderdaad exponentieel verloopt.

Bereken dan de constanten a en b.

Exponentiële toename is echter geen goed model voor de toename van de snelheid in de gehele periode van 2 tot 20 seconden . Dit kun je afleiden uit de tabel.

Laat dat met een berekening zien.

MEER OPGAVEN

China ontwikkelt zich in hoog tempo tot grootmacht, ook op het militaire vlak. Het Pentagon, het Amerikaanse Ministerie van Defensie, houdt de Chinese defensie-uitgaven nauwlettend in de gaten. In onderstaande figuur staan de Chinese defensie-uitgaven volgens China zelf en volgens twee schattingen van het Pentagon, een hoge en een lage. Duidelijk is te zien dat het Pentagon uitgaat van veel hogere defensie-uitgaven dan China opgeeft.
Volgens het Pentagon namen de defensie-uitgaven in de periode van 2001 tot 2005 exponentieel toe. De hoge schatting steeg van 65 miljard dollar in 2001 tot 93 miljard dollar in 2005.

Bereken het jaarlijkse groeipercentage dat het Pentagon als uitgangspunt nam voor de hoge schatting (in deze periode).

In 2005 was de lage schatting 65 miljard dollar en de hoge 93 miljard dollar, een verschil van 28 miljard dollar. Voor de jaren na 2005 voorspelde het Pentagon dat de defensie-uitgaven exponentieel zouden blijven toenemen. Voor de lage schatting (in deze periode) ging het Pentagon uit van een jaarlijkse groei van 8,5% en voor de hoge schatting van 9,5%.

Bereken in welk jaar het verschil tussen de lage en de hoge schatting voor het eerst meer dan 50 miljard dollar zal zij

Volgens de regels van de Warenwet mag in Nederland verkochte melk maximaal 10 colibacteriën (Escherichia coli ) per ml bevatten. Onder goede omstandigheden (kamertemperatuur van 20°C) zal deze bacterie zich elke 120 minuten in tweeën delen. Het aantal zal dus elke 120 minuten verdubbelen. De groeifactor per minuut voor het aantal bacteriën is daarom ongeveer 1,0058.

Bereken deze groeifactor in vijf decimalen nauwkeurig.

In de koelkast (5°C) zal dat delen veel langzamer gaan: de groeifactor is dan ongeveer 1,0007

Neem aan dat we een pak melk kopen dat precies 10 colibacteriën per ml bevat op het moment dat we het in de koelkast zetten. Voor het aantal bacteriën per ml in dat pak geldt: B = 10 × 1,0007^t met t in minuten

Bereken hoe lang het duurt voordat het pak melk 500 colibacteriën per ml bevat.

Iemand heeft twee pakken melk gekocht. Het eerste pak is erg vers en bevat nu slechts 5 colibacteriën per ml. Het tweede pak is al behoorlijk over datum en bevat daarom nu veel meer colibacteriën per ml. Als hij dit tweede pak in de koelkast zet, en het verse pak bij kamertemperatuur bewaart, dan duurt het 580 minuten totdat beide pakken evenveel colibacteriën per ml bevatten.

Hoeveel bacteriën per ml bevat het tweede pak nu? Geef een algebraïsche berekening.