© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
De kromme K wordt gegeven door  x(t) = t5 - 4t3  en   y(t) = t2
       
  a. Geef een vergelijking van de raaklijn aan K in het punt waar t = 1
       
  b. Leg uit waarom de vergelijkingen van de raaklijnen aan K in het punt (0,0) niet te berekenen zijn met de formule die je hebt geleerd voor de helling van een parameterkromme.
       
  c. Geef een vergelijking van de beide raaklijnen aan K in het andere snijpunt van K met de y-as. Leg uit hoe het kan dat een parameterkromme twee raaklijnen in één punt heeft.
       
De kromme K wordt gegeven door  x(t) = t3 - 4t  en   y(t) = tet - et
Geef een vergelijking van de raaklijn aan kromme K in het snijpunt met de positieve y-as.
       
De kromme K wordt gegeven door  x(t) = t2 - 2t  en   y(t) = lnt
Voor welke b raakt de lijn  y = 1/4x + b de kromme K?
       
De kromme K wordt gegeven door 
x(t) = cos2t + cost  en   y(t) = sin2t + sint

Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt waar t = 1/3π.

       
Gegeven is de parameterkomme K door:

x(t) = cos(t/3)  en  y(t) = sin(t/2)

Zie de figuur hiernaast.

 
     
  a. Bereken de hoek waaronder de kromme zichzelf snijdt op de x-as
     
  De twee losse "uiteinden" van de kromme noemen we keerpunten, want daar keert de beweging om.
Het bovenste keerpunt P hoort hier o.a. bij  t = 3p.
Als je de helling in punt P algebraïsch probeert te berekeningen dan is dat niet mogelijk.
       
  b. Leg uit waarom dat niet lukt.
     
  c. Benader de helling in punt P door een punt vlak naast het keerpunt te gebruiken.
       
     
MEER OPGAVEN
       
6. examenvraagstuk Wiskunde,VWO, 1984.

Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is de kromme K gegeven door:
x = -t2 + 6t  en   y = -1/3t3 + 2t2   waarbij  t ∈ R
       
  a. Bereken de coördinaten van de punten van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de x-as of aan de y-as.
       
  b. Toon aan dat er twee lijnen zijn die K in O raken.
Bereken de hoek van deze lijnen in graden nauwkeurig.
Teken K.
       
  c. Voor welke p ∈ R+  geldt:  de lijn y = 2x - p  raakt  K ?
       
7. examenvraagstuk Wiskunde B VWO, 1988.

Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is de kromme K gegeven door:
x = t2 - t - 2  en   y = t2 + t + 1/4,  waarbij  t  ∈ R
       
  a. Bereken de coördinaten van de gemeenschappelijke punten van K en de coördinaatassen.
       
  b. Bereken de coördinaten van de punten van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de x-as of aan de y-as.
       
  c. Onderzoek welke waarden de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan K kunnen aannemen.
       
8. examenvraagstuk Wiskunde B VWO, 1998.

De kromme K is gegeven door:
 

  waarbij t ∈ [0, 2π] 
In de figuur hiernaast is K getekend.

De coördinaatassen zijn symmetrie-assen van K.
     
  a. Toon aan dat voor t ≠ 0, p en 2p de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan K in het punt (x(t), y(t)) van K gelijk is aan  -3sin2t
       
  R is een rechthoek waarvan de zijden evenwijdig zijn aan de coördinaatassen. De hoekpunten van R liggen op kromme K
       
  b. Bereken hoe groot de oppervlakte van R maximaal kan zijn.
       
  Voor elke a ∈  R  is de kromme Ka gegeven door:  
 
  waarbij  t ∈ [0, 2π]

Voor elke a zijn de coördinaatassen symmetrie-assen van Ka.
In de volgende figuur zijn K2, K3 en K4 getekend.
       
 

       
  c. K3 snijdt zichzelf in het punt S op de positieve x-as. Bereken de hoek waaronder K3 zichzelf in S snijdt.
       
9. Voor elk positief geheel getal n bekijken we de baan Kn van een punt dat beweegt volgens:
       
 

     

  Met 0  ≤  t  ≤  0,5π
In de figuur hiernaast zijn vier banen getekend.

Gegeven een punt P van K6.
     
  a. Toon aan dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan K6 in punt P gelijk is aan -tan4t
     
  In een punt P van K6 heeft de raaklijn aan K6 richtingscoëfficiënt  -9.
     
  b. Bereken de coördinaten van P.
       
10. De "traan" hiernaast voldoet aan de parametervergelijkingen:

     
 
     
  De traan past precies in een gelijkbenige driehoek met als top het snijpunt van deze kromme met de y-as:
       
 

 
       
  a. Bereken de exacte oppervlakte van deze driehoek.
       
  b. De lijn y = p snijdt de traan in de punten A en B zodat AB = 2.
Bereken algebraïsch de exacte waarde van p waarvoor dat zo is.
       
11. Examenopgave VWO, Wiskunde B, 2021-II

De kromme K is gegeven door de bewegingsvergelijkingen:
x(t) = cos3t
y(t) = sin3t
met  0 < t < 1/2π

De raaklijn in een punt van deze kromme snijdt de x-as in punt A en de y-as in punt B.
Bewijs dat de lengte van het lijnstuk AB constant is. 

       
12. Examenopgave VWO, Wiskunde B, 2026-I

De bewegingsvergelijkingen van punt K zijn gegeven door:
       
 

     
  Hierin is a een constante, waarbij a ¹ 0 . Punt A is het punt van de baan waarbij de x-coördinaat maximaal is; punt B is het punt van de baan waarbij de y-coördinaat maximaal is.

Er is een waarde van a waarvoor de richtingscoëfficiënt van de lijn door A en B gelijk is aan -1. In  de figuur hiernaast is deze situatie weergegeven.

Bereken exact deze waarde van a.
 

 

  
13. Examenopgave VWO, Wiskunde B, 2026-II

Punt P beweegt volgens de bewegingsvergelijkingen:
       
 

       
  Hierbij is t de tijd in seconden. De baan van P is weergegeven in de volgende figuur.
       
 

       
  Op zes tijdstippen bevindt P zich op de y-as.
       
  a. Bereken exact deze tijdstippen.  
       
  Op de tijdstippen t = 1/2p en t = p gaat P door het punt (1, –1).
In (1, –1) snijdt de baan zichzelf onder een bepaalde hoek.
       
  b. Bereken op algebraïsche wijze deze hoek in graden. Geef je eindantwoord als geheel getal.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)