Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven

De kromme K wordt gegeven door x(t) = t⁵ - 4t³ en y(t) = t²

Geef een vergelijking van de raaklijn aan K in het punt waar t = 1

Leg uit waarom de vergelijkingen van de raaklijnen aan K in het punt (0,0) niet te berekenen zijn met de formule die je hebt geleerd voor de helling van een parameterkromme.

Geef een vergelijking van de beide raaklijnen aan K in het andere snijpunt van K met de y-as. Leg uit hoe het kan dat een parameterkromme twee raaklijnen in één punt heeft.

De kromme K wordt gegeven door x(t) = t³ - 4t en y(t) = te^t - e^t
Geef een vergelijking van de raaklijn aan kromme K in het snijpunt met de positieve y-as.

De kromme K wordt gegeven door x(t) = t² - 2t en y(t) = lnt
Voor welke b raakt de lijn y = ¹/₄x + b de kromme K?

De kromme K wordt gegeven door
x(t) = cos²t + cost en y(t) = sin²t + sint

Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt waar t = ¹/₃π.

Gegeven is de parameterkomme K door:

x(t) = cos(^t/₃) en y(t) = sin(^t/₂)

Zie de figuur hiernaast.

Bereken de hoek waaronder de kromme zichzelf snijdt op de x-as

De twee losse "uiteinden" van de kromme noemen we keerpunten, want daar keert de beweging om.
Het bovenste keerpunt P hoort hier o.a. bij t = 3p.
Als je de helling in punt P algebraïsch probeert te berekeningen dan is dat niet mogelijk.

Leg uit waarom dat niet lukt.

Benader de helling in punt P door een punt vlak naast het keerpunt te gebruiken.

MEER OPGAVEN

examenvraagstuk Wiskunde,VWO, 1984.

Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is de kromme K gegeven door:
x = -t² + 6t en y = -¹/₃t³ + 2t² waarbij t ∈ R

Bereken de coördinaten van de punten van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de x-as of aan de y-as.

Toon aan dat er twee lijnen zijn die K in O raken.
Bereken de hoek van deze lijnen in graden nauwkeurig.
Teken K.

Voor welke p ∈ R⁺ geldt: de lijn y = 2x - p raakt K ?

examenvraagstuk Wiskunde B VWO, 1988.

Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is de kromme K gegeven door:
x = t² - t - 2 en y = t² + t + ¹/₄, waarbij t ∈ R

Bereken de coördinaten van de gemeenschappelijke punten van K en de coördinaatassen.

Bereken de coördinaten van de punten van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de x-as of aan de y-as.

Onderzoek welke waarden de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan K kunnen aannemen.

examenvraagstuk Wiskunde B VWO, 1998.

De kromme K is gegeven door:

waarbij t ∈ [0, 2π]
In de figuur hiernaast is K getekend.

De coördinaatassen zijn symmetrie-assen van K.

Toon aan dat voor t ≠ 0, p en 2p de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan K in het punt (x(t), y(t)) van K gelijk is aan -3sin2t

R is een rechthoek waarvan de zijden evenwijdig zijn aan de coördinaatassen. De hoekpunten van R liggen op kromme K

Bereken hoe groot de oppervlakte van R maximaal kan zijn.

Voor elke a ∈ R is de kromme K_a gegeven door:

waarbij t ∈ [0, 2π]

Voor elke a zijn de coördinaatassen symmetrie-assen van K_a.
In de volgende figuur zijn K₂, K₃ en K₄ getekend.

K₃ snijdt zichzelf in het punt S op de positieve x-as. Bereken de hoek waaronder K₃ zichzelf in S snijdt.

Voor elk positief geheel getal n bekijken we de baan K_n van een punt dat beweegt volgens:

Met 0 ≤ t ≤ 0,5π
In de figuur hiernaast zijn vier banen getekend.

Gegeven een punt P van K₆.

Toon aan dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan K₆ in punt P gelijk is aan -tan⁴t

In een punt P van K₆ heeft de raaklijn aan K₆ richtingscoëfficiënt -9.

Bereken de coördinaten van P.

10.

De "traan" hiernaast voldoet aan de parametervergelijkingen:

De traan past precies in een gelijkbenige driehoek met als top het snijpunt van deze kromme met de y-as:

Bereken de exacte oppervlakte van deze driehoek.

De lijn y = p snijdt de traan in de punten A en B zodat AB = 2.
Bereken algebraïsch de exacte waarde van p waarvoor dat zo is.

11.

Examenopgave VWO, Wiskunde B, 2021-II

De kromme K is gegeven door de bewegingsvergelijkingen:
x(t) = cos³t
y(t) = sin³t
met 0 < t < ¹/₂π

De raaklijn in een punt van deze kromme snijdt de x-as in punt A en de y-as in punt B.
Bewijs dat de lengte van het lijnstuk AB constant is.