© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
Bereken van de volgende parameterkrommen de plaats van de keerpunten en benader de helling in die keerpunten.
       
  a. x(t) = 2sin(t)  en  y(t) = sin(2t - 1/2π)
       
  b. x(t) = sin(t - 1/4π)  en  y(t) = sin2(2t)
       
  c. x(t) = 4 - sin(2t)  en  y(t) = 2 + sin(2/3t)
       
De kromme met vergelijkingen 
x(t) = cos(4t) en y(t) = sin(32t) staat hiernaast geschetst.
De kromme snijdt zichzelf snijdt in een punt P op de y-as.
De raaklijnen in de keerpunten snijden elkaar in een punt Q op de y-as.

Bereken de afstand PQ.

       
Gegeven is de parameterkromme K:   
x(t) = cos(3t)  en  y(t) = sin(t - 1/2π)

     
  a. Geef de coördinaten van de punten van K waarin de raaklijn verticaal is.
     
  b. Geef een benadering voor de helling van K in het linker keerpunt.
     
  c. Bereken de snijpunten van K met de lijn y = x
       
De kromme K wordt gegeven door de vergelijkingen:   
 x(t) = 4/3 × t3 - 4t  en  y(t) = -2t4 + 4t2
Daarbij is  -2 ≤ t ≤ 2
       
  a. Plot K en bereken de snijpunten van K met de coördinaatassen
       
  b. Geef vergelijkingen  van de raaklijnen aan K in het punt op de y-as waar K zichzelf snijdt. Bereken daarmee in graden nauwkeurig de hoek waaronder K zichzelf snijdt.
       
  c. Bereken de helling van K in de keerpunten exact.
       
     
MEER OPGAVEN
       
5. De kromme K wordt gegeven door  x(t) = cost  en   y(t) = sin(at)
Wat kun je zeggen van a als je weet dat de kromme keerpunten heeft?
       
6. De makers van het McDonalds-logo hebben zich duidelijk laten inspireren door de kromme met vergelijkingen 
x(t) = 2t - sin(2t) en  y(t)= 1 - cos(2t) met  -π ≤ t ≤ π. Zie de figuur hieronder.
       
 

       
  Onderzoek of de "poten" van dit logo loodrecht op de grond staan.
       
7. De kromme van Talbot wordt gegeven door: 
x(t) = (1 + sin2t) • cost  en   y(t) = (1 - sin2t) • sint

Voor de afgeleides daarvan geldt:
x'(t) = sint - 3sin3t  en  y'(t) = 3cos3t - 2cost

     
  a. Toon dat aan.
     
  b. Los op  x'(t) = 0  en laat zien dat bij vier van de gevonden t-waarden  y' ook nul is.
       
  c. Benader de helling in het keerpunt rechtsboven op één decimaal nauwkeurig.
       
8. examenvraagstuk Wiskunde B VWO, 2001.
       
  De kromme K is gegeven door:
x(t) = t(2 - t)2  en  y(t) = t2(3 - t)

Hiernaast is K getekend.

     
  a. Bereken de coördinaten van de snijpunten van de lijn y = -x + 3 met de kromme K.
     
  K heeft twee punten met de y-as gemeen:  O en A.
       
  b. Bereken de hoek die de kromme K maakt met de y-as in het punt A. Geef het antwoord in graden nauwkeurig.
   
  Voor elke a  is de kromme Ka gegeven door:   x(t) = t(2 - t)2  en   y(t) = t2 (a - t)

Voor a = 3 krijgen we de kromme K van hierboven.
Hieronder zijn achtereenvolgens  K1, K2 en K4 getekend.
       
 

       
  Het lijkt erop dat voor a ≠ 3 alle Ka de y-as raken.
       
  c. Bewijs dat alle Ka voor a ≠ 3 de y-as raken.
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)