Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Meer opgaven

	Een vogelliefhebber heeft een volière met een grote groep vogeltjes. Het betreft hier zeer zeldzame zangvogeltjes die hooguit 3 jaar oud worden. Per exemplaar brengen zij alleen in hun derde en laatste levensjaar nakomelingen voort, en dat zijn er dan gemiddeld 2 per vogel. De kans dat een jong vogeltje (0 - 1 jaar) volwassen (1 - 2 jaar) wordt is 80%. De kans dat een volwassen vogeltje bejaard (2-3 jaar) wordt is 62,5%. Op tijdstip t = 0 heeft de vogelliefhebber 200 jonge, 120 volwassen en 100 bejaarde vogeltjes in zijn volière.

	a.	Stel de Lesliematrix op die de bevolkingsopbouw in de volière beschrijft en bereken hiermee de aantallen over 1, 2 en 3 jaar.

	b.	Kun je zonder berekeningen te maken voorspellen hoe de bevolkingsopbouw in de daarna komende jaren zal variëren?

	c.	Hoeveel volwassen vogeltjes zou de vogelliefhebber nu aan zijn groep moeten toevoegen zodat het aantal vogels in zijn volière steeds constant blijft?

	d.	Welke bevolkingsopbouw van in totaal 345 vogeltjes blijft dag in dag uit ongewijzigd?


	Vorig jaar brak er in Nederland een griep uit ten gevolge van het virus V. Het virus V wordt niet ouder dan drie weken. Virus V valt te onderscheiden in 3 categorieën, namelijk: eerste week 'jong', tweede week 'volwassen' en derde week 'oud'. Alle jonge V worden volwassen en de helft van de volwassenen wordt oud. Tien jongen brengen in een week één nieuw jong voort, en één volwassen V brengt in een week 2 jongen voort.

	In het begin zijn er 10000 jongen, 800 volwassenen en geen ouden. Bereken hoeveel virussen V er na 6 weken zijn.

	Een kerstbomenkweker heeft op zijn terrein drie maten sparren staan: kleine, middelgrote en grote. Jaarlijks verkoopt hij van de kleine bomen ¹/₃ deel, en van de overgebleven kleine bomen is de helft een jaar later doorgegroeid tot middelgrote boom. Al zijn bedrijfsgegevens staan in de bomenmatrix B hiernaast.

	a.	Hoeveel middelgrote sparren verkoopt de kweker in een jaar?

	b.	Leg uit waarom B geen Lesliematrix is.

	c.	De kweker heeft nu 2400 kleine sparren, 1800 middelgrote en 500 grote. Maak een matrix S die het aantal sparren aangeeft en bereken B • S. Leg uit wat dit resultaat voorstelt.

	d.	De kweker wil graag een constant bestand van 1200 middelgrote en 500 grote bomen. Verder wil hij elk jaar alleen maar kleine bomen bijplanten en toch zo zijn bomenbestand constant houden . Leg met matrixvermenigvuldigen uit hoeveel kleine sparren de kweker dan moet nemen en hoeveel hij elk jaar moet bijplanten.


	Het aantal grote-roodnek ooievaars in de provincie Groningen neemt de laatste jaren nogal sterk toe. Van deze ooievaars is bekend dat ze maximaal 15 jaar oud kunnen worden. Er zijn drie leeftijdscategorieën te onderscheiden: • jong (0 - < 5 jaar) • volwassen (5 - < 10 jaar) • oud (10 - < 15 jaar) Alleen de volwassen en oude ooievaars zijn vruchtbaar. Metingen aan de aantallen ooievaars leverden de volgende bevolkingspiramides op:



	a.	Stel de Leslie matrix op waarmee je de ooievaar-aantallen om de 5 jaar kunt berekenen.



	b.	Laat met een berekening zien dat er een evenwicht kan optreden. Welk van de onderstaande bevolkingspiramides zou dat evenwicht kunnen beschrijven? Geef een duidelijk uitleg waarom.



	c.	Stel dat de jongen- en volwassenenperioden 5 jaar duren, maar de ouden 10 jaar. Hoe zou je dan je Lesliematrix kunnen veranderen om tóch de bevolkingsopbouw te kunnen berekenen? Leg duidelijk uit!

MEER OPGAVEN

5.	De laatste jaren is er een bijzondere aandacht voor de kangoeroes uit de Australische laagvlakten. De Lesliematrix voor deze speciale diersoort wordt gegeven door:



	Er zijn dus 3 leeftijdsgroepen: Jong (0 - 4), Volwassen (5 - 9) en Oud (10 - 14) Neem eerst a = 1 en b = ³/₄

	a.	Op dit moment zijn er van elke leeftijdsgroep 100 dieren. Bereken de bevolkingsopbouw na 5, 10 en 15 jaar.

	b.	Op den duur blijkt onder deze voorwaarden de bevolkingsopbouw constant te worden, namelijk 400 kangoeroes. Hoe zullen die kangoeroes over de drie leeftijdscategorieën zijn verdeeld?

	Neem nu a = 0 en b = ¹/₂.

	c.	Bereken M³ en leg uit wat je uit de waarde van M³ kunt concluderen.

	d.	Stel dat er op dit moment 30000 kangoeroes zijn. Bereken dan wanneer het aantal kangoeroes minder dan 50 zal zijn geworden.

examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1988.

Van een populatie is het volgende bekend:

leeftijd (maanden)	aantal exemplaren per 1-1-'87	aantal exemplaren per 1-2-'87	aantal nakomelingen per honderd exemplaren tussen 1-1-'87 en 1-2-'87.
0-1 1-2 2-3 3-4 4-5	920 1210 1040 740 60	1300 870 1030 780 75	0 38 46 48 16

Neem aan dat voor elke leeftijdsklasse het geboorte- en het sterftepercentage in de loop van de tijd niet veranderen.

Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat een aselect gekozen exemplaar met een leeftijd van 1-2 maanden over één maand nog leeft.

Stel een populatievoorspellingsmatrix op; bereken de getallen die ongelijk aan nul zijn in twee decimalen nauwkeurig.

Bereken met deze matrix de verwachte populatie per 1-3-'87.

examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1991.

Bij een practicumopdracht heeft een biologiestudent in een experiment de groei onderzocht van een populatie van een speciale vliegensoort. Tijdens het gehele experiment gebruikte hij een mengsel van rijpe vruchten als voedingbodem.
Van de levenscyclus van deze vliegensoort is bekend:

•

vrijwel na precies één week komt uit elk eitje één vlieg.

•

elke vlieg gaat binnen twee weken dood.

•

zowel jonge vliegen (jonger dan één week) als oude vliegen (ouder dan één week) leggen eitjes.

Voor het practicumverslag moet de student op grond van de resultaten een populatievoorspellingsmatrix opstellen.
Uit eerdere onderzoeken is reeds bekend geworden dat de overlevingskansen van de jonge vliegen en de vruchtbaarheidscijfers bij deze soort vrijwel uitsluitend afhangen van de gebruikte voedingsbodem.
Algemeen gaat men uit van de populatievoorspellingsmatrix (V) :

Hierbij is de tijdseenheid gelijk aan één week en hangt de waarde van k af van de gebruikte voedingsbodem.

Leg uit hoe uit de matrix afgeleid kan worden dat k ≤ 0,5

Voor het berekenen van k let de student op de aantallen bij de laatste tellingen (zie onderstaande tabel).

telling	aantal eitjes	aantal vliegen
22 23 24	773 887 944	926 994 1119

Uit deze tabel leidt de student met behulp van de matrix V af dat 773 van de 994 vliegen bij telling 23 tot de categorie 'jong' gerekend moeten worden.

Leg uit hoe deze conclusie getrokken kan worden.

Onderzoek of k zo gekozen kan worden dat de aantallen bij telling 24 bij benadering voorspeld kunnen worden aan de hand van de bijbehorende matrix V en de aantallen bij telling 23.

examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1994.

In de overgangszone tussen het woestijnklimaat en het gematigde klimaat aan de westkust van Noord-Amerika treft men over een oppervlakte van ongeveer 2000 km² een vegetatie aan van groenblijvende struiken. Men spreekt daar over de Chaparral. De brandbaarheid van de planten is sterk afhankelijk van de leeftijd. Vanwege het vele dorre materiaal zijn vooral de oudere planten zeer brandbaar. Brand heeft naast het gevaar voor mens en dier ook een belangrijke nuttige functie: op de plaats van de verbrande struiken komen vrijwel direct jonge en levenskrachtige planten uit de grond. Spontane branden worden daarom niet altijd geblust. De verjonging zorgt er immers voor dat er geen grote, uitgestrekte gebieden ontstaan van dor materiaal die bij brand tot catastrofes zouden kunnen leiden.

Van deze situatie wordt een model gemaakt, waarbij men de volgende uitgangspunten hanteert.

•

De vegetatie wordt op grond van de leeftijd onderverdeeld in vier klassen:
klasse 1:     0 tot 10 jaar.
klasse 2:    10 tot 20 jaar.
klasse 3:    20 tot 30 jaar.
klasse 4:    30 jaar en ouder.

•

Als maat voor de omvang van een klasse neemt men niet het aantal planten maar de oppervlakte van het door die klasse bedekte gebied.

•

Per klasse blijft het percentage, dat elke 10 jaar verbrandt, constant.

•

De totale oppervlakte van het gebied blijft 2000 km².

Bij dit model kan de volgende graaf getekend worden:

met b_i = het gedeelte van klasse i dat verbrandt ( b_i < 1) en
met g_i = het gedeelte van klasse i dat niet verbrandt (g_i < 1).
Bij deze graaf kan een overgangsmatrix M worden opgesteld waarin b_i en g_i voorkomen.

In de volgende tabel staat vermeld hoe groot de oppervlakte is die elke klasse bedekt op het tijdstip t = 0, en op het tijdstip t = 1 (10 jaar later)

oppervlakten in km²
klasse	op t = 0	op t = 1
1 2 3 4	302 284 314 1100	462 300 278 960

Bereken g₁, g₂, b₁ en b₂ in drie decimalen nauwkeurig.

Van de matrix M zijn met de computer de machten M², M³, M⁴, ... uitgerekend. Men constateerde dat de matrices Mⁿ vanaf een zekere waarde van n nauwelijks meer verschillen. Zo zijn, na afronding op twee decimalen, de matrices Mⁿ voor n > 20 allemaal gelijk aan de volgende overgangsmatrix:

Het blijkt dat op elke rij de getallen gelijk zijn.

Welke conclusies kan men uit dit alles trekken voor de samenstelling van de Chaparral-vegetatie?

In de praktijk passen de beheerders van de Chaparral ook nog gecontroleerde bewuste afbranding van gedeeltes van de vegetatie ouder dan 10 jaar toe.
In ons model nemen we ter vereenvoudiging aan dat dit direct na elke periode van 10 jaar in één moment plaats vindt.
Neem aan dat men steeds:
2,5% van klasse 2,
1,3% van klasse 3, en
7,2% van klasse 4 verbrandt.
Dit proces van bewuste afbranding kan weergegeven worden door een vier-bij-vier matrix B, waarin de hierboven genoemde percentages zijn verwerkt.
Met behulp van het matrixproduct B · M kan dan het gezamenlijke proces over 10 jaar van de spontane afbranding, gevolgd door de gecontroleerde, bewuste afbranding, beschreven worden.

Stel matrix B op.

.	examenvraagstuk VWO wiskunde A, 1983

	De verandering in de bevolkingsopbouw van een zekere diersoort (A) wordt gegeven door de Leslie-Matrix:



	a.	Verklaar de betekenis van het getal 0,25 in deze matrix

	b.	Op een zeker tijdstip (t = 0) is de bevolkingsopbouw als volgt: 12000 jonge, 12000 volwassen en 6000 oude dieren. Bereken de bevolkingsopbouw na één jaar en na twee jaar.


© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)