© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
Onderzoek of de volgende tabellen een normale verdeling beschrijven.
       
 
meting <35 35-42 42-49 49-56 56-63 63-70 >70
frequentie 9 128 514 611 215 22 1
       
 
meting 0-8 8-16 16-24 24-32 32-40 40-48 48-56 56-64 64-72
frequentie 6 9 45 540 1200 600 300 180 120
       
De volgende tabel beschrijft een normale verdeling.
       
 
meting 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100
frequentie (%) 2,2 4,9 10,1 16,5 20,5 19,5 14,0 7,7 4,6
       
  Bereken van deze verdeling het gemiddelde en de standaardafwijking. Doe dat op twee manieren:
       
  a. Met de functie STAT-CALC van je rekenmachine.
       
  b. Met normaal-waarschijnlijkheidspapier
       
Het gewicht van de eieren die de kippen op een kippenfarm leggen is normaal verdeeld.
8% van de eieren is lichter dan 58 gram en 21% is zwaarder dan 69 gram.
Bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking van deze eieren.
       
De vleugelspanwijdte van de volwassen zeearend is normaal verdeeld met een standaardafwijking van 15 cm..
9% van de vogels blijkt een spanwijdte van meer dan 250 cm te hebben.
Hoeveel procent zal dan een spanwijdte van minder dan 200 cm hebben?
Onderzoek dat met behulp van normaal-waarschijnlijkheidspapier.
       
De voedselgigant MACDONALDS heeft iets nieuws: de "Supermegamac". Deze hamburger is nog groter dan alle voorgaande, en verder geen flauwekul meer met groenvoer erop. Gewoon vlees, vlees en nog meer vlees met als enig toevoegsel een lekkere vette lading mayonaise. De consumentenman vertrouwt het zaakje niet, en controleert de supermegamacs nauwgezet. Uit de totale dagvoorraad van de MACDONALDS-vestiging in de Herestraat heeft men 250 supermegamacs onderzocht. Het aantal coli-bacteriën in deze macs is gemeten, en dat aantal blijkt normaal verdeeld te zijn. Daarom worden de resultaten van deze proef op normaal-waarschijnlijkheidspapier weergegeven. Het blijkt een rechte lijn door (510,4) en (690,97) te worden.
       
  a. Teken die lijn en geef met deze figuur een schatting van het aantal macs dat tussen de 525 en 660 bacteriën bevatte. Geef ook een schatting voor de standaardafwijking van het aantal bacteriën.
       
  Neem aan dat elke dag geldt: het aantal bacteriën in de voorraad van die dag is normaal verdeeld met een standaardafwijking van 50. Het gemiddeld aantal (μ) hangt van een aantal factoren af, en is onbekend. Omdat MACDONALDS beweert dat zijn hamburgers van goede kwaliteit zijn, wil men dat hoogstens 7% van de hamburgers uit een dagvoorraad meer dan 500 bacteriën bevat.
       
  b. Bereken de grootste waarde van μ waarvoor dit nog het geval is.
     
MEER OPGAVEN
       
6. Een nieuw onderdeel op de volgende winterspelen zal de 4 × 500 meter estafette schaatsen zijn. Nederland zal vertegenwoordigd worden door de sprinters  Bos, Wennemars, van Velde en Nijenhuis. De persoonlijke tijden van deze schaatsers zijn normaal verdeeld. De gegevens staan in onderstaande tabel. Neem voor de rest van deze opgave aan dat deze gegevens kloppen.
       
 
schaatser gemiddelde standaardafwijking
Bos 35,65 0,4
Wennemars 34,78 0,3
Van Velde 34,98 0,5
Nijenhuis 35,70 0,2
       
  De figuur hiernaast geeft de tijden van Wennemars, van Velde en Nijenhuis op normaal waarschijnlijkheidspapier.

Leg uit welke lijn bij welke schaatser hoort.

Neem de figuur over en schets de lijn die bij Bos hoort erbij in.

 
       
7. examenvraagstuk VWO wiskunde A, 1987.

In 1787 en 1788 schreven Alexander Hamilton en James Madison de zogenaamde The Federalist Papers, om de inwoners van New York te overreden de Constitutie te ratificeren. Beide schrijvers ondertekenden met "Publius".
Van 48 van deze teksten is bekend dat zij van Hamilton zijn en van 50 dat zijn van Madison zijn. Om ook van de overige teksten de auteur te achterhalen, heeft men van diverse woorden geteld hoe vaak ze in een tekst van Hamilton voorkomen en hoe vaak in een tekst van Madison. Voor elk van die teksten heeft men daarna de frequentie per 1000 woorden berekend.
Dit heeft men onder andere gedaan voor het woordje "by".
Het resultaat is weergegeven in onderstaande histogrammen.
         
 

         
  Verwerk deze gegeven, zowel voor Hamilton als voor Madison, op normaal-waarschijnlijkheidspapier. Neem aan dat men mag concluderen dat de frequenties normaal verdeeld zijn. Geef dan in beide gevallen het gemiddelde en de standaardafwijking.
         
8. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1987.

Onderstaande tabel is afkomstig  uit het Statistisch Zakboek 1983 van het Centraal Bureau voor de Statistiek.

         
 
Dienstplichtigen naar lichaamslengte
  17,5 jarigen
1982
Lengte in cm
<160
160 - 164
165 - 169
170 - 174
175 - 179
180 - 184
185 - 189
190 - 194
195 - 199
200 en meer		 percentage dienstplichtigen
0,2
0,9
4,1
12,9
25,1
28,5
18,7
7,4
1,8
0,4
aantal dienstplichtigen (abs.): 105.897
gemiddelde lengte (cm): 180,7
Bron: Inspectie Geneeskundige Dienst Koninklijke Landmacht
         
  a. Toon met normaal-waarschijnlijkheidspapier aan dat de lichaamslengten vrijwel normaal verdeeld zijn; controleer of het vermelde gemiddelde juist is en bepaal de standaardafwijking.
         
  Voor de marechaussee geldt een minimumlengte van 170 cm en voor de luchtmacht een maximumlengte van 193 cm
         
  b. Bereken het percentage van de dienstplichtigen van wie de lengte zowel geen belemmering is voor dienst bij de marechaussee als bij de luchtmacht (in gehele procenten nauwkeurig)
         
9. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1984.

De researchafdeling van een fabriek heeft een nieuw type batterij ontwikkeld, dat bijzonder geschikt is voor het aandrijven van speelgoedmotortjes. In de fabriek wordt de eerste dagen de productie nauwgezet gecontroleerd. Daarbij let men vooral op de levensduur van de batterijen bij aanhoudende belasting. Uit de totale productie van de eerste dag heeft men aselect 250 batterijen genomen en aan een duurproef onderworpen. Het aantal 'lege' batterijen is geregistreerd na perioden van steeds 30 minuten. De ervaring leert dat de levensduur van de batterijen uit een dagproductie vrijwel normaal verdeeld is. Daarom zijn de resultaten van de duurproef op het normaal-waarschijnlijkheidspapier hieronder weergegeven.

         
 

         
  a. Geef met behulp van deze figuur een schatting van het percentage batterijen van de gehele dagproductie waarvoor de levensduur tussen 8,75 en 11 uur lag. Licht het antwoord toe.
         
  Neem aan dat voor elke productiedag geldt: de levensduur van die dag geproduceerde batterijen is normaal verdeeld met een standaarddeviatie van 50 minuten. Het gemiddelde (μ) in minuten is afhankelijk van een aantal factoren in het fabricatieproces.

Omdat de fabrikant in reclameboodschappen beweert dat zijn batterijen erg lang meegaan, wil hij ervoor zorgen dat hoogstens 7% van de batterijen uit de dagproductie een levensduur heeft van minder dan 8,5 uur.
         
  b. Bereken in minuten nauwkeurig de kleinste waarde van μ waarvoor dit nog het geval is.
         
10. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2002.
         
  Vogels die hun voedsel in bomen en struiken zoeken doen dat vaak bij voorkeur op een specifieke hoogte.
Gedurende een winter zijn in een bos voedselzoekende vogels geobserveerd. In de tabel hieronder staat de verdeling over verschillende hoogtes van 400 waarnemingen bij pimpelmezen.
         
 
hoogte in meters <1,5 1,5 - 3 3 - 5 5 - 7 7 - 10 10 - 15 >15
aantal waarnemingen 24 26 51 72 122 92 13
         
  Toon aan dat de waargenomen hoogtes bij benadering normaal verdeeld zijn; maak gebruik van normaal waarschijnlijkheidspapier. Lees uit je tekening af hoe groot het gemiddelde en de standaardafwijking van deze verdeling zijn. Geef beide antwoorden in dm nauwkeurig. Licht je werkwijze toe.
         
         
11. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2008.

Een tennisballenfabrikant produceert drie types tennisballen: Yellow, Silver en Gold. Van elk type is de diameter (bij benadering) normaal verdeeld. De fabrikant geeft de diameter van een tennisbal altijd op in inches. De fabrikant heeft bij 400 tennisballen van het type Yellow de diameters laten opmeten. Het resultaat daarvan zie je in tabel 1.
         
 
400 waarnemingen bij tennisballen van het type Yellow
diameter in inches <2,4 2,4 - <2,5 2,5- <2,6 2,6- <2,7 2,7- <2,8 ³2,8
aantal waarnemingen 1 4 98 232 63 2
         
  a. Zet de gegevens uit op normaal waarschijnlijkheidspapier en toon daarmee aan dat de waargenomen diameters van Yellow inderdaad bij benadering normaal verdeeld zijn.
         
  Uit de tekening die je bij de vorige vraag hebt gemaakt kun je aflezen hoe groot het gemiddelde en de standaardafwijking van de diameter van een bal van het type Yellow is.
         
  b. Bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking van de diameter van een bal van het type Yellow. Licht je werkwijze toe.
         
  Bij officiële wedstrijden mag een tennisbal niet te groot en ook niet te klein zijn. In de spelregels staat daarover het volgende:
         
 

Bij alle proeven ter bepaling van de omvang moet een omvangmeter gebruikt worden. De omvangmeter bestaat uit een metalen plaat. In de plaat zitten twee cirkelvormige openingen met een diameter van respectievelijk 2,575 inch en 2,700 inch. De bal mag niet door zijn eigen gewicht door de kleine opening vallen, maar moet wel door zijn eigen gewicht door de grootste opening vallen.
         
  Van het type Gold is de diameter (bij benadering) normaal verdeeld met een gemiddelde van 2,620 inch en een standaardafwijking van 0,048 inch. De tennisballenfabrikant krijgt de opdracht 1200 tennisballen van het type Gold te leveren die gebruikt kunnen worden bij officiële wedstrijden.
         
  c. Bereken hoeveel tennisballen de fabrikant naar verwachting moet produceren om aan deze opdracht te voldoen.
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)