Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven

Mijn neef Jacob beweert dat hij helderziend is en gedachten kan lezen. Gelukkig ken ik een goede test daarvoor: de Zener-kaarten. Dat zijn 5 kaarten met een symbool erop:

Jacob heeft een grote stapel met deze kaarten (evenveel van elke soort). Ik schud de stapel, pak een kaart en moet daar van hem heel hard aan denken. Hij zit tegenover mij, kijkt mij doordringend aan en probeert het symbool van mijn kaart te raden. Dan schud ik weer en doe het zelfde nog eens. En dan nog eens...
Na 100 zulke kaarten heeft hij 27 keer het goede symbool geraden. "YES" juicht hij; "Veel meer dan de verwachte 20 keer!!!"
Kunnen we aan de hand van deze gegevens inderdaad concluderen dat de kans dat Jacob goed raadt groter is dan 20%? Neem een significantieniveau van 5%.

De fabrikant van AMSTEL bier houdt een reclame-actie. Onder de doppen van de flesjes zit een letter uit de zin "HET BESTE BIER IS AMSTEL BIER" . Wie de hele zin heeft krijgt een gratis krat bier. De fabrikant beweert dat elk van de 10 letters even vaak voorkomen. Na 62 flesjes te hebben geopend heb ik echter nog maar twee B's. Ik stuur een boze brief met de klacht dat B veel zeldzamer is dan de rest.
Mag ik dat aan de hand van deze 62 flesjes inderdaad concluderen? Neem een significantieniveau van 5%.

Crème Bioforce A. Vogel is een homeopathisch middel tegen huidirritatie. De crème bevat geneeskrachtige planten die van oudsher bij huidaandoeningen worden gebruikt, zoals valkruid, goudsbloem, toverhazelaar, salie en heelkruid.
Het probleem is echter, dat de meeste huidirritatie ook vanzelf wel weer verdwijnt. In 30% van de gevallen geneest huidirritatie spontaan.
Een traditionele huisarts beweert dat de crème helemaal niet helpt, want hij heeft de crème aan 40 patiënten met huidirritatie gegeven, en daarvan geneesden er 15. Dat is amper meer dan de verwachte 30%, want dat zijn 12 patiënten.
Mag de huisarts aan de hand van deze gegevens inderdaad concluderen dat deze crème niet helpt? Neem een significantieniveau van 1%.

Ik ben wiskundeleraar en had vorig jaar een klas van 25 leerlingen, die ik drie uur in de week wiskundeles gaf. Dat ging zo 35 weken per jaar door.
Natuurlijk hield ik goed alle absenten bij, en over het hele vorige jaar heb ik genoteerd dat er 12 keer méér dan drie leerlingen afwezig waren.

Ik lees in een rapport over ziekte en spijbelen dat de kans dat een leerling afwezig is in een les gelijk is aan 6%

Mag ik naar aanleiding van mijn gegevens van het vorige jaar concluderen dat die kans groter is dan
de genoemde 6%? Neem een significantieniveau van 5%.

Een oude volkswijsheid zegt dat veel sinaasappels eten helpt om verkoudheid te voorkomen. We besluiten dat te gaan testen, door een groep van 500 mensen veel sinaasappels te laten eten en een andere groep van 500 mensen helemaal geen sinaasappels. Het blijkt dat in de testperiode van de sinaasappeleters 131 mensen verkouden worden, en van de niet-sinaasappeleters 122 mensen.
Mag je daaruit met een significantieniveau van 5% concluderen dat sinaasappels eten de kans op verkouden worden inderdaad verkleint?

MEER OPGAVEN

Een aanhanger van D'66 beweert dat 60% van de Nederlanders vóór een gekozen burgemeester is. Zijn vrouw beweert dat dat aantal veel lager ligt. Een steekproef onder 50 mensen levert op dat daarvan 22 mensen vóór een gekozen burgemeester zijn.
Wie van beiden krijgt gelijk bij een significantieniveau van 1%?

De monnik Gregor Mendel kruiste in de vorige eeuw verschillende plantensoorten met elkaar om een inzicht te krijgen in de overerving van verschillende eigenschappen. Hij ontdekte bijvoorbeeld dat een bepaalde soort in rode en witte variant voorkwam, waarbij de rode kleur dominant was en de witte reccessief. Dat betekent dat een exemplaar met twee rode genen (RR, Mendel noemde het trouwens factoren) of met een rood en een wit gen (Rw)een rode bloem kreeg, en alleen een bloem met twee witte genen (ww) wordt wit.

Wat gebeurt er dan als je een plant ww kruist met een plant RR?
In het tabelletje hiernaast zie je dat alle nakomelingen Rw zijn, en dus een rode bloem hebben.

Maar het wordt interessanter als je de volgende generatie bekijkt. Dan zijn dus beide ouders Rw en dat geeft het onderste tabelletje hiernaast.

1	w	w
R	Rw	Rw
R	Rw	Rw

Daarin is duidelijk te zien dat van de nakomelingen 75% een rode bloem zal hebben (RR, Rw en wR) en 25% een witte bloem (ww).

Een bioloog twijfelt aan deze theorie en gaat wat experimenteren. Hij kruist een aantal planten met elkaar en vindt in de tweede generatie van de 86 planten er 28 witte bloemen hadden.

2	R	w
R	RR	Rw
w	wR	ww

Mag de bioloog op grond van deze metingen concluderen dat het aantal witte bloemen in de tweede generatie groter is dan 25%? Neem een significantieniveau van 5%.

Hoe zal de verhouding van rode en witte bloemen in de derde generatie zijn?

In een elektronicazaak staat een grote bak met LED's (dat zijn van die kleine lampjes). Ze zijn erg goedkoop, maar er staat een bord boven met:

Sterk Afgeprijsd!!
Maar 40% is defect.
Waag een gokje!!!

Een doe-het-zelver heeft 10 zulke LEDs nodig en besluit voor de zekerheid om er 15 te kopen.

Bereken de kans dat hij minstens 10 goede LEDs heeft.

Een boze klant denkt dat de winkelier de zaak bedriegt, want dat er in werkelijkheid 70% van de LEDs defect is. Hij onderzoekt willekeurig 60 LEDs. Volgens de winkelier zullen gemiddeld daarvan 36 LEDs goed zijn, volgens de boze klant slechts 18. Het gemiddelde daarvan is 27, dus ze besluiten dat de klant gelijk krijgt bij 27 of minder goede LEDs en de winkelier bij 28 of meer goede LEDs.

Hoe groot is de kans dat de winkelier ten onrechte gelijk krijgt?

Hoe groot is de kans dat de klant ten onrechte gelijk krijgt?

Natuurlijk kunnen ze ook een andere grenswaarde G kiezen. Stel dat ze ervoor kiezen dat de klant gelijk krijgt bij G of minder goede LEDs en de winkelier bij meer dan G goede LEDs.
Hoe moeten ze G dan kiezen zodat de antwoorden op de vragen b) en c) zo weinig mogelijk van elkaar verschillen?

Als een bepaalde besmettelijke ziekte teveel voorkomt dan dreigt er een epidemie te ontstaan. De Inspectie van de Volksgezondheid heeft bepaald dat er een algeheel bevolkingsonderzoek moet worden uitgevoerd zodra 4% of meer van de bevolking aan de ziekte lijdt. Degenen die aan de ziekte lijden kunnen dan worden behandeld.

Bij een onderzoek van 2000 mensen blijken er 71 aan de ziekte te lijden.
Rechtvaardigt dit resultaat met een significantieniveau van 10% het nalaten van een bevolkingsonderzoek?

Men tracht voor zo'n onderzoek een test te ontwerpen die goedkoop en snel is. De test moet minstens 85% van de lijders aan de ziekte als zodanig herkennen.
Bij een bepaalde test bleken 58 van de 71 personen met de ziekte ook inderdaad als lijder aan de ziekte herkend te worden.
Is het resultaat voldoende om met een significantieniveau van 15% te concluderen dat de test niet aan de voorwaarde voldoet?

10.

De fabrikant van afwasmiddel Dreft beweert dat minstens 40% van de gezinnen in Nederland Dreft gebruikt.
Maar concurrent Klok beweert dat het minder is. In een test wordt aan 100 gezinnen gevraagd welk afwasmiddel ze gebruiken.

Hoeveel gezinnen moeten Dreft gebruiken zodat de fabrikant van Dreft gelijk krijgt? Neem een onbetrouwbaarheidsdrempel van 5%.

Het blijkt uiteindelijk dat 34 gezinnen in het onderzoek Dreft gebruiken.
Bij welk significantieniveau krijgt Klok dan gelijk?

11.

examenvraagstuk VWO, 1983

Een fabrikant besluit een nieuw merk wasmiddel op de markt te brengen.
Hij biedt een zeer groot aantal pakken ter verkoop aan.
In 70% van dit aantal pakken wasmiddel is per pak precies één bon en in de overige pakken geen bon ingesloten.
Het publiek wordt door advertenties uitgenodigd aan een prijsvraag mee te doen.
Bij het inzenden van de oplossing van deze prijsvraag moeten vijf bonnen worden meegezonden.

Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat een gebruiker in het achtste pak dat hij gekocht heeft zijn vijfde bon aantreft.

Iemand heeft de prijsvraag opgelost en wil de oplossing inzenden. Daarom koopt hij in één keer een aantal pakken wasmiddel.
Hoeveel pakken moet hij tenminste kopen opdat de kans dat hij tenminste vijf bonnen aantreft, groter is dan 99%?

Een consumentenorganisatie meent dat het aantal pakken met een bon minder is dan 70%.
Zij besluit tot een toets waarbij een steekproef van 50 pakken wordt onderzocht.
Het kritieke gebied van de toets wordt zo gekozen dat de kans dat de consumentenorganisatie ten onrechte gelijk krijgt kleiner is dan 3%.
Hoeveel pakken zonder bon moeten er tenminste in de steekproef zitten opdat de consumentenorganisatie gelijk krijgt?

12.	Examenvraagstuk VWO Wiskunde A. 2011 Veel schaatsers vinden het een voordeel om op de 500 meter tijdens de laatste bocht in de buitenbaan te rijden. De snelheid is dan ruim 50 km/uur en in de binnenbaan blijf je moeilijker overeind. Bij een toernooi worden dan ook altijd twee 500 meters verreden: elke schaatser rijdt de laatste bocht een keer in de binnenbaan en een keer in de buitenbaan.
	Een toeschouwer denkt dat het rijden van de laatste bocht in de buitenbaan een grotere kans biedt op winst in de rit dan het rijden van de laatste bocht in de binnenbaan. Tijdens een wereldkampioenschap eindigden 26 van de 40 schaatsers in een snellere tijd op de 500 meter wanneer zij de laatste bocht in de buitenbaan reden dan wanneer zij die in de binnenbaan reden. Bereken of dit resultaat aanleiding geeft om te veronderstellen dat de toeschouwer gelijk heeft. Hanteer een significantieniveau van 5%.

13.	Examenvraagstuk VWO Wiskunde A. 2013 In 2010 werd octopus Paul wereldberoemd omdat zijn ‘voorspellingen’ over de afloop van de wedstrijden van Duitsland tijdens het wereldkampioenschap voetbal in dat jaar allemaal bleken uit te komen. Bij deze voorspellingen moest Paul telkens kiezen uit twee bakken met een mossel. Op de ene bak stond de vlag van Duitsland, op de andere bak de vlag van de tegenstander. Het land van de bak waaruit Paul de mossel opat, zou de wedstrijd gaan winnen. We gaan ervan uit dat er geen wedstrijden in een gelijkspel eindigen. Als je ervan uitgaat dat Paul willekeurig een bak kiest, is de kans dat hij een uitslag correct voorspelt natuurlijk 0,5. Bij het Europees Kampioenschap van 2008 heeft Paul ook al de uitslagen van verschillende wedstrijden voorspeld. In 2008 wist hij vier van de zes keer een correcte voorspelling te geven. Omdat dit aantal groter is dan het verwachte aantal juiste voorspellingen, kan het vermoeden ontstaan dat Paul over voorspellende gaven beschikt. Bereken met een significantieniveau van 10% of het aantal juiste voorspellingen van Paul aanleiding geeft om te zeggen dat hij in 2008 al over voorspellende gaven beschikte.

14.	Examenvraagstuk VWO Wiskunde A. 2014

	Een mooie bijkomstigheid van chips in een koker is dat de chips niet snel breken. In een supermarkt in Amstelveen klagen klanten echter geregeld over het feit dat de Pringles-chips in de kokers gebroken zijn. De supermarktmanager legt de klacht bij de fabrikant neer. De reactie van de fabrikant is dat hoogstens 2% van de kokers gebroken chips zou bevatten en dat de rest door onzorgvuldigheid van transport, winkelpersoneel of de klant zou komen. Een consumentenorganisatie besluit een steekproef van 20 kokers uit een grote verzameling Pringleskokers te nemen net voordat de kokers op transport naar de supermarkt gaan. In 2 van de 20 kokers blijken gebroken chips te zitten. Onderzoek of dit resultaat voldoende aanleiding geeft om de verklaring van de fabrikant in twijfel te trekken. Gebruik een significantieniveau van 5%.

15.	Examenvraagstuk VWO Wiskunde A. 2014 Inmiddels wordt beweerd dat meer dan 40% van alle artikelen van de Nederlandstalige Wikipedia door een computer gegenereerd is. Bij een test in 2014 werden 50 willekeurige artikelen opgevraagd. Daarvan waren er 28 door een computer gegenereerd. Onderzoek met het toetsen van hypothesen met een significantieniveau van 1% of dit voldoende reden geeft om te veronderstellen dat meer dan 40% van de artikelen computerartikelen zijn.

16.	Men vermoedt dat een roulettetafel in een casino niet zuiver is afgesteld, maar dat de kans dat het balletje in het vakje 0 terechtkomt (er zijn 37 vakjes) groter is dan zou moeten. Men kijkt bij 4000 keer spelen hoe vaak het balletje in 0 terechtkomt. Bij hoeveel keer mag men met een significantieniveau van 5% dan inderdaad stellen dat de 0 vaker voorkomt?

17.	Als in een bepaald gebied een bepaalde genetische afwijking teveel voorkomt onder pasgeboren babys, dan zou dat kunnen wijzen op een milieu-oorzaak. De Inspectie van de Volksgezondheid heeft bepaald dat er in zo'n geval een onderzoek moet worden uitgevoerd zodra 1,5% of meer van de pasgeboren baby's de afwijking heeft.

	a.	Bij een onderzoek van 2000 baby's blijken er 22 de afwijking te hebben. Men besluit geen onderzoek te houden. Is dat terecht? Neem een significantieniveau van 10%.

	b.	Er wordt een onderzoek onder 2600 baby's gedaan. Bij welke aantallen gevonden afwijkingen in dit onderzoek mag men concluderen dat 1,5% of meer van alle pasgeboren baby's die afwijking heeft? Neem weer α = 0,10


18.	Van het taalgebruik van de schrijver Edgar Allan Poe zijn allerlei gegevens bekend. Zo is bijvoorbeeld geteld dat 2,5% van alle woorden die hij ooit gebruikte een bijwoord van tijd is (always, sometimes, never, …).

	a.	Op een gegeven moment wordt er een nieuw manuscript ontdekt waarvan wordt vermoed dat het geschreven is door Poe. Het blijkt dat er van de 1110 woorden 20 bijwoorden van tijd zijn. Mag men daaruit met een betrouwbaarheid van 95% veronderstellen dat het manuscript niet van Poe is?

	b.	Een poosje later wordt er alweer een document ontdekt waarvan men wil weten of het van Poe is. Het document bestaat uit 1852 woorden. Bij welke aantallen bijwoorden van tijd zal men concluderen dat het document niet van Poe is? Neem α = 0,10

19.	Een AH-winkeleigenaar weet uit ervaring dat niet teveel van zijn klanten ontevreden moeten zijn over de kassabediening. Als het aantal ontevreden klanten meer dan 7% wordt, dan zal hij tot actie moeten overgaan om de kassaomstandigheden te verbeteren.

	a.	In een wekelijkse enquête in november reageren van de 620 klanten er 52 ontevreden. Moet de winkeleigenaar dan tot actie overgaan of niet? Neem een significantieniveau van 10%

	b.	Als de eigenaar een onderzoek onder maar liefst 2100 mensen zou doen, bij welke aantallen ontevreden mensen zou hij dan (met α = 0,05) tot actie moeten overgaan?

20.	In strenge winters loert er altijd het gevaar dat veel vogels ondervoed raken. Daarom houdt de Nederlandse vogelbescherming steekproeven om te kijken hoeveel procent van de vogels ondervoed. Als dat percentage meer dan 7% is zal actie ondernomen worden door middel van een bijvoederprogramma.

	a.	In een bepaalde week in januari blijken er van de 543 onderzochte vogels 46 ondervoed te zijn. Mag daaruit geconcludeerd worden dat er onder de vogels meer dan 7% ondervoed is? Neem een α van 5%.

	b.	In een week in februari is er een steekproef gedaan van 612 vogels. Bij welke aantallen ondervoede vogels in deze steekproef zal men overgaan tot een bijvoederprogramma? (Neem α = 0,05)

21.	Het is in de sportvisserij van groot belang dat de visstand op peil wordt gehouden. Het bestuur van een vereniging die een visvijver beheert is vooral bang dat de karpers in de vijver zullen uitsterven. Voor een gezonde visstand is het noodzakelijk dat minstens 8% van de vissen in de vijver karper zal zijn. Als dat aantal lager wordt, moeten extra karpers worden uitgezet. Men gaat dat doen als met een zekerheid van 95% of meer kan worden gesteld dat er te weinig karpers aanwezig zijn.

	a.	Bij een viswedstrijd in deze vijver blijkt dat er van de 128 gevangen vissen nog maar 5 karpers zijn. Neem aan dat elke vis evenveel kans heeft om gevangen te worden. Is er naar aanleiding van deze meting reden om extra karpers te gaan uitzetten?

	b.	Een maand later worden er bij een viswedstrijd in deze vijver maar liefst 241 vissen gevangen. Bij welke hoeveelheden gevangen karpers zal men overgaan tot het uitzetten van extra karpers?

22.	De schoolleiding van een school houdt goed bij hoe groot het spijbelpercentage is. Als er teveel wordt gespijbeld dan is er namelijk de kans dat de inspectie gaat ingrijpen. Zodra er meer dan 2,8% van de lessen illegaal wordt verzuimd krijgt de schoolleiding een boete. Wordt het spijbelpercentage groter dan 2,8% dan zijn dus maatregelen noodzakelijk. (Met een "les" wordt bedoeld: een leerling die aan een les deelneemt. Dus in een wiskunde lesuur met een klas van 24 zijn er 24 "lessen") Neem in deze opgave een significantieniveau van 5%

	a.	Bij een onderzoek onder 1280 lessen worden 48 spijbelgevallen gevonden. Is dat voldoende reden om aan te nemen dat er meer dan 2,8% wordt gespijbeld?

	b.	Er wordt een tweede onderzoek gehouden onder 2780 lessen. Bij welke aantallen gevonden spijbelgevallen mag men concluderen dat er meer dan 2,8% wordt gespijbeld?

23.	Bij de Nederlandse Munt worden euromunten gemaakt. De doorsnede van zo'n munt is 23,25 mm. Omdat zo'n munt in allerlei automaten moet passen mag die diameter niet teveel afwijken. Als er meer dan 3% van de munten van een dagproductie teveel afwijkt moet de machine opnieuw worden afgesteld.

	a.	Op een dag blijkt dat er uit een steekproef van 1500 munten er 35 teveel afwijken. Moet men daaruit concluderen dat er in de totale dagproductie meer dan 3% teveel afwijkt? Neem een significantieniveau van 5%

	b.	Op een andere dag is er een steekproef van 1800 munten. Bij hoeveel afwijkende munten zal men (met een significantieniveau van 5%) concluderen dat de machine opnieuw moet worden afgesteld?


© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)