© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
De herbouwkosten zijn de kosten waarvoor een woning na afbraak opnieuw gebouwd kan worden. De herbouwkosten zijn voornamelijk afhankelijk van het vloeroppervlak, dat is het totale oppervlak van alle verdiepingen met een stahoogte van ten minste 1,5 meter.

In de regelgeving hanteert men de volgende formule voor hoekwoningen:
       
 

Hhoek = e-0,02359V + 8,36 + 1375   met  30 ≤  V  ≤ 250.
       
  Hierin zijn Hhoek de herbouwkosten voor een hoekwoning in euro’s per m2 vloeroppervlak en is V het vloeroppervlak van de woning in m2.

De formule Hhoek = e-0,02359V + 8,36  + 1375 is te herleiden tot de vorm  Hhoek = b · gV + 1375
       
  a. Geef deze herleiding. Geef de waarde van b in gehelen en de waarde van g in vier decimalen.
       
  De formule die men voor tussenwoningen gebruikt, is: 
       
 

Htussen = e-0,02398V + 8,144 + 1144   met  30 ≤  V  ≤ 250.
       
  Hierin zijn Htussen de herbouwkosten voor een tussenwoning in euro’s per m2 vloeroppervlak en is V weer het vloeroppervlak van de woning in m2.

In elk model gaat men ervan uit dat de herbouwkosten per m2 afnemen naarmate het vloeroppervlak groter is. De mate waarin de herbouwkosten per m2 afnemen, verschilt per model.
       
  b. Stel de afgeleiden van Hhoek en Htussen op en onderzoek met behulp van een schets van beide afgeleiden bij welke van deze twee woningtypen de mate van afname het grootst is. Licht je antwoord toe.
       
Karima volgt een duikcursus voor beginners. In het theorieboekje wordt uitgelegd dat er onder water een grotere druk heerst dan boven water. Aan de oppervlakte is de druk 1 bar. Omdat een duiker op grotere diepte lucht inademt onder een hogere druk verbruikt hij zijn luchtvoorraad sneller en is de maximale duiktijd korter.

Voor een situatie met een fles van 10 liter met een begindruk van 180 bar, een einddruk van 60 bar geldt voor de maximale duiktijd de volgende formule:
       
 

       
  Daarin is d  de duikdiepte in meters en T de maximale duiktijd in minuten.
Onderzoek met behulp van de afgeleide van T of de maximaal toegestane duiktijd in deze situatie toenemend of afnemend daalt bij grotere duikdiepte.
       
Softwarebedrijven maken nieuwe software maar moeten ook aandacht besteden aan het geven van support aan hun klanten. Het geven van deze support kost bij veel softwarebedrijven steeds meer tijd. Als een softwarebedrijf vervolgens geen nieuw personeel wil aannemen, gaat de toenemende tijd die besteed wordt aan support ten koste van de tijd voor het ontwikkelen van nieuwe software.

Als er door de toename van de support elke maand 3% minder tijd besteed kan worden aan het ontwikkelen van nieuwe software dan in de maand daarvoor, dan kun je het percentage werktijd P dat aan support wordt besteed, met de volgende formule berekenen:
P = 100 • (1 - 0,9712t )
Hierin is t de tijd in jaren vanaf de lancering van de nieuwe software.

Met behulp van de afgeleide van P kan de verandering van het percentage dat aan support wordt besteed, worden bepaald. Die afgeleide is van de vorm P ' = k • 0,9712t.
Afgerond op één decimaal geldt: k = 36,6 .
       
  a. Bereken k met behulp van differentiėren. Geef je antwoord in twee decimalen.
       
  Het percentage werktijd dat aan support wordt besteed heeft een grenswaarde (van 100%). Dat percentage stijgt afnemend naar die grenswaarde.
       
  b. Beredeneer aan de hand van de afgeleide van P dat het percentage werktijd dat aan support wordt besteed inderdaad steeds minder sterk toeneemt.
       
Het vetpercentage van een vogel is de hoeveelheid lichaamsvet als percentage van het totale gewicht van de vogel.
In het najaar neemt dit vetpercentage elk jaar toe.
Met behulp van trendlijnen van zowel lichaamsgewicht als vethoeveelheid leidden onderzoekers het volgende verband af:
       
 

       
 

Hierin is Pnajaar het vetpercentage van de vogel in het najaar en t de tijd in dagen na het begin van de gewichtstoename.

Met behulp van de afgeleide van Pnajaar kan men onderzoeken of het vetpercentage Pnajaar afnemend stijgend is.

Stel de formule van de afgeleide van Pnajaar op en onderzoek daarmee of Pnajaar afnemend stijgend is.
       
MEER OPGAVEN
       
5. Bij helder weer geldt: naarmate je hoger staat, kun je verder kijken. Maar is het ook zo dat je tweemaal zo ver kunt kijken als je tweemaal zo hoog staat? Dat onderzoeken we in deze opgave.

Daarvoor maken we een model: we beschouwen de aarde als een gladde bol. Zie de figuur.

De ogen van een waarnemer staan in punt A en de waarnemer kan tot punt H kijken: zó ver reikt zijn horizon. Punt M is het middelpunt van de aarde. Lijnstuk MH is een straal van de aarde; MH = 6371 km. De lengte van lijnstuk MA is 6371 km plus de hoogte van A boven de grond. De hoogte van A boven de grond noemen we x (in kilometers).

  Driehoek AHM is rechthoekig. Met de stelling van Pythagoras AH 2 + HM 2 = AM 2  kunnen we nu de afstand AH (in kilometers) uitdrukken in x:
       
 

       
  a. Toon aan dat de formule voor AH juist is.
       
  Dat je verder kunt kijken als je hoger staat, betekent dat AH toeneemt als x toeneemt.
Uit de formule blijkt dat dit het geval is.
       
  b. Beredeneer aan de hand van de formule van AH dat AH toeneemt als x toeneemt.
       
  Ook door te differentiėren kun je aantonen dat AH toeneemt als x toeneemt.
       
  c. Bepaal de afgeleide dAH/dx en beredeneer aan de hand van de formule van deze afgeleide, dus zonder een schets of tekening van de grafiek van de afgeleide te maken, dat AH toeneemt als x toeneemt.
       
  Henk beweert dat, als je tweemaal zo hoog staat, je ook altijd tweemaal zo ver kunt kijken.
       
  d. Onderzoek met behulp van de formule voor AH of Henk gelijk heeft.
       
6. Elk jaar vindt in Friesland het skūtsjesilen plaats. Dit zijn zeilwedstrijden met oude vrachtschepen, skūtsjes genaamd. Er zijn twee organisaties die deze wedstrijden organiseren: de SKS en de IFKS.
       
 

       
  Voor het IFKS-kampioenschap worden andere regels gehanteerd voor het maximaal toegestane zeiloppervlak. Hier wordt gebruikgemaakt van de volgende formule:

S = (3,2525 - 0,05L) • L • B      (formule IFKS)

Hierin is S het maximaal toegestane zeiloppervlak in m2, L de lengte van het skūtsje en B de breedte (L en B in meters)Een skūtsje heeft altijd een lengte L tussen de 12 en 20 meter. Bij een vaste breedte van het skūtsje geldt: hoe langer het skūtsje, des te groter het maximaal toegestane zeiloppervlak. Dit is echter niet meteen duidelijk te zien in formule IFKS. Om dit aan te tonen kun je een vaste waarde voor B kiezen en daarna laten zien dat de afgeleide dS/dL van formule IFKS positief is.

Kies een vaste waarde voor B, stel hiermee de afgeleide dS/dL op en toon aan, zonder een schets te maken, dat voor een skūtsje de afgeleide van formule IFKS positief is.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)