© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven
       
Ik maak een wandeltocht waarbij ik een berg beklim. Tijdens de klim merk je duidelijk dat de luchtdruk afneemt als de hoogte toeneemt. De lucht wordt "ijler" zegt men dan.
Aan het begin van mijn wandeling is de lucht druk 760,  en als ik 900 meter geklommen ben is de luchtdruk afgenomen naar 680.
       
  a. Bereken de luchtdruk als ik 500 meter geklommen ben als de luchtdruk lineair toeneemt.
       
  b. Bereken de luchtdruk als ik 500 meter geklommen ben als de luchtdruk exponentieel toeneemt.
       

Een trend die gemeenten in Nederland waarnemen, is dat ze steeds vaker niet vooraf op de hoogte worden gesteld door de organisatie van een demonstratie. Voor een demonstratie hoeft niet van tevoren om toestemming te worden gevraagd, middels een vergunning. Wel leggen de meeste gemeenten de verplichting op om demonstraties vooraf te melden, een zogenoemde kennisgeving.
Dat een kennisgeving steeds vaker ontbreekt, ziet de gemeente Eindhoven terug in cijfers die ze hierover bijhouden. In 2019 vonden 2,5 procent van de demonstraties plaats zonder dat de gemeente op de hoogte was gesteld, in 2020 liep dat al op naar 8,1 procent.
In onderstaande tabel zie je de aantallen, daarbij is  2009 als t = 1 genomen.

       
 
jaar  (t = 0 in 2009) 1 3 5 7 9 11 13 15 17
percentage demonstraties zonder kennisgeving (P) 2,5 4,3 5,5 6,5 7,3 8,1 8,8 9,4 10.0
       
  a. Leg duidelijk uit hoe je kunt zien dat hier GEEN sprake is van een exponentieel verband.
       
  De gemeente gaat uit van een machtsverband  P = a • tb   
Als dat inderdaad zo is, dan kun je direct zien dat moet gelden a = 2,5
       
  b. Leg duidelijk uit hoe je dat kunt zien.
       
  De gemeente vindt aan de hand van bovenstaande tabel dat b = 0,49.
       
  c. Leg met een berekening uit hoe je dat getal zelf zou kunnen vinden.
       
  d. In welk jaar zal  P voor het eerst meer zijn dan 15%  als deze ontwikkeling zo doorgaat?
       
Bij het wielrennen zie je soms dat wielen van fietsen dicht zijn. Op het normale wiel met spaken is dan een plastic schijf aangebracht.
Op een racefiets met dichte wielen kun je harder fietsen dan op een racefiets met open wielen: de luchtwrijving is bij een dicht wiel minder dan bij een open wiel. Dat is onderzocht op de volgende manier:

Men laat een dicht wiel draaien. Door de luchtwrijving gaat het wiel steeds langzamer draaien. Met behulp van een fietscomputer wordt de snelheid van het wiel gemeten.
Het dichte wiel heeft een beginsnelheid van 20 km/uur en na 3 minuten draaien een snelheid van 8,7 km/uur

Neem aan dat de snelheid afneemt volgens een exponentieel verband en dat dit zo zal doorgaan.
       
  a. Na hoeveel minuten draaien heeft het wiel dan een snelheid van  5 km/uur?
       
  Een tweede model stelt dat de draaisnelheid van het wiel niet exponentieel, maar lineair afneemt.
       
  b. Na hoeveel minuten draaien heeft het wiel dan volgens dit lineaire model een snelheid van  5 km/uur?
 
     
MEER OPGAVEN
       
4. Als je hete koffie in een thermosfles bewaart, dan neemt de temperatuur van de koffie langzaam af, en uiteindelijk zal de temperatuur van de koffie toch gelijk worden aan de temperatuur van de omgeving.
We bekijken in deze opgave het verschil (in °C) tussen de koffietemperatuur en de omgevingstemperatuur en dat noemen we V.   V zal dus uiteindelijk nul worden.
Het is erg interessant hoe V afhangt van t  (de tijd in minuten met t = 0 op het moment van het vullen van de fles).
In een testsituatie blijkt het temperatuursverschil van de koffie na 8 minuten gelijk te zijn aan   61°  en na   15 minuten gelijk te zijn aan  50°.

Model 1.

Een erg eenvoudig model gaat ervan uit dat V steeds met dezelfde hoeveelheid afneemt.
       
  a. Stel voor dit eerste model een  formule op voor V(t).  Bereken vervolgens daarmee hoe lang het zal duren totdat de koffie de temperatuur van de omgeving zal hebben.  Rond de getallen in deze opgave af op twee decimalen.
       
  Model 2.
 

Een tweede model gaat ervan uit dat V elke minuut hetzelfde percentage afneemt.
       
  b. Stel ook in dit geval een formule voor V(t) op, en bereken daarmee hoe lang het zal duren totdat de temperatuur van de koffie nog maar de helft van de begintemperatuur is.
       
  Model 3.
 

De fabrikant van deze thermosfles hanteert zelf de formule  V(t) = 1500a/(t + 25)

Daarbij is a een constante die van het gebruikte type fles afhangt.
Voor deze fles geldt afgerond  dat  a = 1,3
       
  c. Bereken de waarde van a voor deze fles in twee decimalen nauwkeurig.

Bereken vervolgens van welke begintemperatuur van de koffie deze fabrikant uitgaat.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)