© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven

       
Van een graaf is het kwadraat V2  van de verbindingsmatrix gegeven door:
 

       
  Teken een mogelijke graaf die hieraan voldoet.
       
Op het mini-schaakbord hiernaast staat een loper.  Een loper is een schaakstuk dat bij een zet diagonaal verplaatst mag worden, zover je maar wilt. Een loper in A zou bijvoorbeeld naar C of E kunnen.
De loper staat in het begin op veld B.
Iemand doet vier volledig willekeurige (maar wel toegestane) zetten met de loper.

Bereken met matrixvermenigvuldiging hoeveel mogelijke manieren er zijn om in vier zetten van veld B weer naar veld B te gaan.

       
De koning verveelt zich.
Hij heeft alle naburige landen veroverd, en is uitgekeken op al zijn vrouwen.
     
  Hij gaapt eens en kijkt tevreden naar de kaart van zijn bezittingen (zie de figuur). Zijn paleis ligt midden in Calusië. Maar liefst 5 landen en de bijbehorende 7 grensovergangen daartussen zijn in zijn bezit.

Uit verveling begint hij een graaf te tekenen met als knooppunten de landen en als verbindingslijn de relatie "heeft een grens met"
       
  a. Welk van onderstaande grafen zou de graaf van de koning kunnen zijn? Leg uit!
       
   

       
  b. Stel van jouw graaf een verbindingsmatrix M op en bereken M2 .
Leg duidelijk uit wat de getallen op de hoofddiagonaal van M2 voorstellen.
Leg nog duidelijker uit wat de andere getallen van M2 voorstellen.
       
  c. De koning gaat een reis maken. Hij begint in Calusië en kiest steeds als hij in een land is willekeurig een buurland om naar toe te gaan (teruggaan kan dus ook!)
Bereken hoeveel verschillende routes de koning kan volgen om na 4 grenzen te zijn overgetrokken weer in Calusië te zijn. Bereken deze kans met een matrixvermenigvuldiging.
       
Zes teams hebben een halve competitie van een volleybaltoernooi gespeeld, en de resultaten daarvan staan in de matrix hiernaast.
     
  a. Leg uit hoe je kunt zien dat alle wedstrijden gespeeld zijn.
     
  b. Leg uit waarom er niet direct een winnaar kan worden aangewezen.
     
  c. Men besluit daarom  tweestaps-overwinningen ook een half punt te geven. Bereken met behulp van de tweestapsverbindingen wie de winnaar van dit toernooit wordt.
     
MEER OPGAVEN
       
5. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1990.

De dieren in een gebied zijn voor voedsel van elkaar afhankelijk. Soort A eet bijvoorbeeld soort B. Men zegt in dat geval dat de voedselstroom van A naar B gaat. Bij meerdere diersoorten kunnen die voedselstromen een web vormen:  het zogenaamde voedselweb. Voor 8 diersoorten is de informatie over het bijbehorende voedselweb in de matrix W hiernaast gegeven.

Kolom A en rij G bestaan uit louter nullen
       
  a. Wat betekent dit voor deze diersoorten?
       
  Er gaan voedselstromen van G naar B en van B naar A. We noemen dit de keten  G → B →  A
       
  b. Wat is de langste voedselketen die in dit web voorkomt?
         
  Twee dieren zijn elkaars concurrent als ze een gemeenschappelijke prooi hebben.
         
  c. Welke paren concurrenten zijn er?
         
  Er is een giftige stof in het milieu terechtgekomen. Sommige diersoorten nemen dat gif op. Dat wordt in hun lichaam niet afgebroken zodat hun eters het ook binnenkrijgen, en het weer kunnen doorgeven. Ongeacht welke diersoort het gif het eerste binnenkrijgt, uiteindelijk bereikt het gif diersoort A.
         
  d. Toon dat aan.    
         
  Het is mogelijk van dit voedselweb een graaf te tekenen die er uitziet als hiernaast.

       
  e. Geef in deze figuur de soorten A tm H en de richtingen van de voedselstromen aan.
         
  Als je W2, W3, W4 enz. gaat berekenen dan krijg je op een gegeven moment een matrix met alleen nog maar nullen.
         
  f. Leg met de graaf van vraag e) uit waarom dat zo is, en leg ook uit vanaf welke macht er alleen nog maar nullen zullen zijn.
   
6. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1994.
         
  Hieronder zie je een deel van de voedselketen van vogels voor de kust van Long Island (VS). Zo zie je bijvoorbeeld dat een voorn plankton en waterplanten eet. De voorn wordt onder andere door de ijsvogel gegeten.
         
 

         
  Stel dat er sprake is van een verhoging is van de hoeveelheid vergif in de waterplanten. Neem aan dat alleen de aangegeven planten en dieren gegeten worden. Met het voedsel wordt ook het vergif doorgegeven.
         
  a. Mag je een verhoging van de hoeveelheid vergif bij alle genoemde vogels verwachten? Licht je antwoord toe.
         
  Het is mogelijk bovenstaande voedselketen weer te geven met behulp van matrices. De voedselstromen van P naar F zijn in matrix M weergegeven.
         
 

         
  Een 1 in de matrix betekent dat de één als voedsel dient voor de ander en een 0 geeft aan dat de één niet door de ander wordt gegeten. Zo betekent bijvoorbeeld het getal 1 linksboven in de matrix dat P1 door F1 wordt gegeten en het cijfer 0 linksonder dat P1 niet door F5 wordt gegeten.
         
  b. Maak een dergelijke matrix N die de voedselstromen van F naar B weergeeft.
         
  c. Vermenigvuldig matrix N met matrix M.
         
  d. Wat is de betekenis van de getallen in de productmatrix van vraag c?
         
7. examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 1995.
         
  In de archeologie probeert men aan de hand van opgravingen na te gaan hoe vroegere samenlevingsvormen er uit gezien hebben en hoe ze veranderd zijn.
Samenlevingsvormen verschillen van elkaar als bijvoorbeeld economische of godsdienstige kenmerken anders zijn: denk daarbij bijvoorbeeld aan goud als ruilmiddel  in tegenstelling tot het gebruik van papiergeld, veelgodendom tegenover aanbidding van een enkele god.
  De ene samenlevingsvorm kan overgaan in een andere. Murdock heeft voor een aantal samenlevingsvormen onderzoek gedaan naar hun mogelijke opvolgers. In de figuur 1 hiernaast heeft hij zijn resultaten samengevat. Je kunt daar bijvoorbeeld aflezen dat de samenlevingsvorm Matri-Hawaiian kan overgaan in één van de drie samenlevingsvormen: Bi-Eskimo, Patri-Eskimo en Normal-Hawaiian. Van deze drie heeft alleen Patri-Eskimo een mogelijke opvolger die in dit schema voorkomt, namelijk Normal-Eskimo.

Het schema van deze figuur is op te vatten als een matrix: een zwart blokje staat voor 1: er is directe opvolging mogelijk; een wit blokje staat voor 0: er is geen directe opvolging mogelijk.

We bekijken eerst een deel van deze figuur. Dit gedeelte geven we weer in de onderstaande matrix M; naast de matrix is de bijbehorende graaf getekend.
         
 

         
  Als matrix M met zichzelf vermenigvuldigd wordt, ontstaat matrix M2.
         
  a. Schrijf matrix M2 op.
         
  Een samenlevingsvorm A wordt een niet-directe opvolger van samenlevingsvorm B genoemd als A wel in de keten van opvolgers van B zit, maar niet direct op B volgt.
Bijvoorbeeld:  B → ... → A  of    B → ... →  ... → A. Om enig inzicht te krijgen in de niet-directe opvolging van samenlevingsvormen kan men de matrices M2, M3 (= M • M • M). enzovoorts bekijken. De matrix M3 heeft nog slechts op één plaats een getal staan dat niet gelijk is aan 0.
         
  b. Leg uit op welke plaats in de matrix M3 dit getal staat en hoe groot dat getal is.
         
  We gaan terug naar de figuur 1. Figuur 1 is niet in één oogopslag te doorzien. De graaf die bij matrix M is gemaakt biedt een veel duidelijker overzicht van alle mogelijke overgangen tussen de diverse samenlevingsvormen die in M vermeld staan.
De graaf hiernaast is een deel van de complete graaf die bij figuur 1 hoort.

       
  c Breid deze graaf zo uit dat alle samenlevingsvormen en alle mogelijke overgangen die in figuur 1 genoemd worden in deze graaf komen te staan.
   
8. Een klein jongetje probeert zijn gebruik van LEGO-blokjes wat wiskundig op orde te brengen. Hij onderscheid voor het bouwen van allerlei dingen grote blokjes en kleine blokjes en dakblokjes.
Voor het bouwen van een toren zijn  60 kleine blokjes en 20 grote blokjes en 15 dakblokjes nodig.
Voor het bouwen van een muur zijn 15 kleine blokjes en 48 grote blokjes nodig.
Voor het bouwen van een kasteel zijn 4 muren, 3 torens en nog 10 dakblokjes nodig.
       
  a. Zet deze gegevens in een 6 × 6 matrix W (zet bij de kolommen "voor het maken van"" en bij de rijen "is nodig")
       
  b. Bereken W2 en leg uit wat de getallen in de laatste rij van deze matrix voorstellen.
     
9. Iemand maakt een verbindingsmatrix V voor alle 16 roosterpunten van het rooster hiernaast.  Dat wordt dus een 16 ×16 matrix.

Welk getal zal  er op de derde rij en de derde kolom van V6 staan?

       
10. De graaf hiernaast geeft de resultaten van een tennistoernooi. De pijlen geven de relatie  "heeft gewonnen van" weer.

Verzin een methode om via verbindingsmatrices de winnaar van het toernooi aan te wijzen.

Maak daarbij ook gebruik van indirecte overwinningen.

     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)