© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
Bereken de halveringstijd bij de volgende groeifactoren (allen per uur) :
       
  a. g = 0,75  
       
  b. g = 0,1  
       
  c. g = 0,998  
       
a. Wat is de groeifactor per uur van een exponentieel proces met halveringstijd 5 uur ?
       
  b. Wat is de groeifactor per jaar van een exponentieel proces met verdubbelingstijd 12,8 jaar?
       
Het radioactieve isotoop Plutonium (P-239) heeft een halveringstijd van maar liefst 24400 jaar.
       
  a. Hoe lang duurt het dan totdat de straling van P-239 teruggebracht is tot 10% van de beginhoeveelheid?
Rond je antwoord af op duizenden jaren
       
  b. Hoeveel procent neemt de activiteit van P-239 af in 100 jaar?
       
Bij de bouw van een bunker is een betonsoort gebruikt die voor gammastraling een halveringsdikte van 60 mm heeft. Hoe dik moet dit beton zijn opdat hoogstens 1% van de straling wordt doorgelaten?
       
MEER OPGAVEN
       
5. Wat moet je met de groeifactor van een exponentieel proces doen om de halveringstijd te verdubbelen?
       
6. In de ochtend van 26 april 1986 veroorzaakten twee explosies in eenheid 4 van Tsjernobyl de volledige vernietiging van de kernreactor. De ontploffingen stuwden grote wolken radioactieve gassen en brokstukken 7 à 9 kilometer de atmosfeer in.

Er kwam een hele cocktail van radionucliden vrij, maar van radiologische betekenis zijn vooral de fissieproducten jodium-131, cesium-134 en cesium-137. Jodium-131 heeft een korte halfwaardetijd, slechts acht dagen, en een grote radiologische impact op korte termijn vanwege zijn invloed op de schildklier. Cesium-134 (halfwaardetijd 2 jaar) en cesium-137 (halfwaardetijd 30 jaar) hebben zwaardere radiologische gevolgen op middellange en lange termijn.
       
 

       
  Nu blijven er slechts relatief kleine hoeveelheden cesium-134 over, maar tijdens de eerste twee decennia na 1986, vormde het een grote bijdrage aan de stralingsdosis.
       
  a. Op sommige plaatsen in de Oekraïne bleek het hooi kort na de kernramp tien keer de toegestane hoeveelheid jodium-131 te bevatten.
Hoeveel dagen moest het hooi bewaard worden voordat het weer aan de koeien gevoerd kon worden?
       
  b. In Duitsland bereikten de cesium-137 niveaus in wilde everzwijnen in 1995 een gemiddelde waarde van 6.800 Bq/kg, meer dan tien keer de Europese limiet van 600 Bq/kg.
Hoe hoog waren de cesium-137 niveaus in deze zwijnen direct na de explosie? Rond je antwoord af op tientallen Bq/kg.
       
7. Medische artikelen, zoals injectiespuiten en naalden, mogen na gebruik niet zomaar weggegooid worden. Ze moeten eerst worden gesteriliseerd. Een ziekenhuis gebruikt hiervoor een Kobalt-60 bron van gammastraling. De bron wordt bewaard in een kluis die bekleed is met lood omdat lood de gammastraling redelijk goed tegenhoudt.
Voor de intensiteit van deze gammastraling in het lood geldt:  
I(d) = I0 • 2-d/1.39 
Daarin is I0 de stralingssterkte in het begin (uitgedrukt in Becquerel: Bq), en I(d) de stralingssterkte als de straling d millimeter in het materiaal heeft afgelegd.
       
  a. Bereken na hoeveel millimeter de stralingssterkte is gehalveerd.
       
  Bij deze formule hoort een groeifactor van g ≈ 0,61
       
  b. Bereken met de gegeven formule g in vier decimalen nauwkeurig.
       
  c. Hoeveel procent van de beginstraling komt door de loden wand heen als men 6 mm lood gebruikt?
       
  Het ziekenhuis gebruikt een Kobalt-60 bron die op t = 0 een sterkte van I0 = 5 • 1016 Bq heeft.
Kobalt heeft een halfwaardetijd van 5,27 jaar.
De bron moet worden vervangen als de sterkte minder dan 3 • 1016 Bq is geworden.
       
  d. Na hoeveel tijd is dat?
       
8. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2012

Om een scan van de botten te maken, wordt een patiënt ingespoten met de radioactieve stof Technetium-99m (Tc-99m). Tc-99m heeft een halveringstijd van 6 uur. Dat wil zeggen dat telkens na 6 uur de helft van de radioactieve stof verdwenen is. Deze halveringstijd is lang genoeg om het medische onderzoek uit te voeren en kort genoeg om de patiënt na het onderzoek niet in het ziekenhuis te hoeven houden.
       
  a. Bereken hoeveel procent van de radioactieve stof Tc-99m 24 uur na toediening nog in het lichaam van de patiënt aanwezig is.
       
 

Vanwege de korte halveringstijd is het voor een ziekenhuis onmogelijk om Tc-99m in voorraad te hebben. In het ziekenhuis wordt hiervoor eenmaal per week een technetiumkoe afgeleverd. Zie de foto.
Deze ‘koe’ is eigenlijk een container met Molybdeen-99 (Mo-99). Tc-99m ontstaat bij het radioactieve verval van Mo-99, dat een veel langere halveringstijd heeft. Uit de koe kan een week lang op elk gewenst moment Tc-99m worden ‘gemolken’. Dit is voldoende voor vele tientallen patiënten.

Een container wordt gevuld met Mo-99. Het exponentiële radioactieve verval van Mo-99 is dusdanig dat na precies 7 dagen nog 17,3% van de stof over is.
Op grond van dit gegeven kun je vaststellen dat de hoeveelheid Mo-99 ieder uur met ongeveer 1,04% afneemt.

       
  b. Laat met een berekening zien dat dit klopt.
       
  c. Bereken met behulp van de genoemde 1,04% na hoeveel uur de hoeveelheid Mo-99 in de container gehalveerd is.
       
9. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2013.

 Olie is een belangrijke grondstof. In onderstaande figuur is af te lezen hoeveel olie er wereldwijd in totaal is verbruikt sinds er in 1859 voor het eerst een oliebron geslagen werd. Zo valt bijvoorbeeld af te lezen dat het totaal van 1000 miljard vaten in de loop van 2002 gepasseerd werd.
       
 

       
  In de grafiek van deze figuur zijn vanaf 1948 de perioden aangegeven waarin de totale hoeveelheid verbruikte olie verdubbelde. Tussen 1948 en 1981 duurde het telkens ongeveer 11 jaar tot de totale hoeveelheid verbruikte olie was verdubbeld. Dit betekent dat tussen 1948 en 1981 de totale hoeveelheid verbruikte olie bij benadering exponentieel groeide.
       
  a. Bereken het jaarlijkse groeipercentage dat hoort bij een verdubbelingstijd van 11 jaar. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.
       
  Vanaf 1981 groeide de totale hoeveelheid verbruikte olie bij benadering nog steeds exponentieel, maar met een andere groeifactor. In de grafiek is te zien dat de totale hoeveelheid verbruikte olie verdubbelde van 500 miljard tot 1000 miljard vaten in de periode van 1981 tot 2002. Een verdubbelingstijd van 21 jaar komt overeen met een groei van ongeveer 3,4% per jaar.
       
  b. Bereken op algebraïsche wijze het jaar waarin volgens dit exponentiële model de totale hoeveelheid verbruikte olie de grens van 750 miljard vaten passeerde
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)