© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven
       
a. De parabool  y = 4x - x2  wordt tussen x = 0 en x = 4 gewenteld om de x-as.
Bereken algebraïsch de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat.
       
  b. De halve cirkel   y = √(16 - x2)  wordt gewenteld om de x-as.
Bereken algebraïsch de inhoud van de bol die zo ontstaat. 
Laat zien dat voor die inhoud geldt  I = 4/3πr3
       
  c. Het deel van de grafiek y = 6 - √x tussen x  = 0 en x = 36  wordt gewenteld om de x-as. Bereken algebraïsch de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat.
       
Het vlakdeel, ingesloten door de grafieken van y = x3 en y = x   met x > 0 wordt gewenteld om de x-as. Bereken algebraïsch de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat.
       

Gegeven zijn de functies:     f(x) = x • √x   en    g(x) = ax

V is het vlakdeel dat ingesloten wordt door de grafieken van f en g.
Als V om de x-as gewenteld wordt, dan is de inhoud van het omwentelingslichaam dat dan ontstaat gelijk aan 211/3π.
Bereken in dat geval het getal a.
       
V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f(x) = 9 - x2, de y-as en de positieve x-as.
De lijn x = a verdeelt V in twee delen V1 en V2.
       
  a. Bereken voor welke a de oppervlakten van V1 en V2 gelijk zijn. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.
       
  b. V1 en V2 wentelen om de x-as. Zo ontstaan de lichamen L1 en L2.
Bereken voor welke a de inhouden van L1 en L2 gelijk zijn. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.
       
Gegeven is de functie  f(x) =  2/(2x + 3)
Het gebied G wordt ingesloten door de x-as en de grafiek van f en de lijnen x = 0,5  
en x = 2,5
       
  a. Bereken exact de oppervlakte van gebied G. Schrijf je antwoord als één logaritme.
       
  b. Bereken door middel van integreren de inhoud van het lichaam L dat ontstaat door gebied G te wentelen rond de x-as.
       
  c. Er zijn twee waarden van p waarvoor de lijn y = -x + p de grafiek van f raakt.
Bereken die twee waarden.  
     
MEER OPGAVEN
       
6. Voor de inhoud van een kegel geldt de formule  I = 1/3 • pr2 • h  (r is de straal van de grondcirkel en h de hoogte).
Maar een kegel kun je als omwentelingslichaam zelf maken door een recht lijnstuk door de oorsprong  tussen x = 0 en x = h te wentelen om de x-as.
Bewijs op deze manier de inhoudsformule hierboven. 
       
Voor de volgende drie opgaven moet je weten dat de vergelijking van een cirkel met straal r en middelpunt de oorsprong is:   y2 = r2 - x2
       
7.

Wij hebben met z'n tweetjes een heerlijk bolletje brood (diameter12) dat we samen moeten delen. Jij stelt voor om het bolletje langs twee verticale cirkels door te snijden in drie "gelijke" stukken (dus AB = BC = CD = 4). Ik zal de beide buitenste stukken krijgen, jijzelf neemt het middenstuk

Wie krijgt het meeste brood?

 

       
8. Een enorm cognacglas bestaat uit een bol met diameter 10 cm. De opening aan de bovenkant is een cirkel met diameter 6 cm.
       
 

       
  Als je het glas helemaal vol zou schenken dan gaat er maar liefst ongeveer 0,51 liter in!
Een goede barkeeper schenkt er echter maar een klein laagje cognac in. Het moet precies zoveel cognac zijn, dat het er nét niet uitloopt als je het glas op zijn kant legt. Zie de tekening rechts.

Bereken met een integraal hoeveel cognac er in een goed-ingeschonken glas zit.
       
9. Een beroemd raadsel gaat als volgt:
       
 

Midden door een bol wordt een cilindervormig gat geboord.
De hoogte van de cilinder na het boren is 10 cm.
Bereken de inhoud van het overblijvende gedeelte van de bol.
       
  Het lijkt erop alsof je te weinig informatie hebt, want de straal van de bol is niet gegeven, en ook de straal van het gat niet.  Maar schijn bedriegt!

De situatie is in de doorsnede hiernaast geschetst. Het felrode deel is wat er van de bol is overgebleven. Je ziet dat er in totaal een cilinder met hoogte 10 (lichtrood) plus twee kapjes (lichtblauw)  van de bol zijn weggehaald.

Los met deze figuur het beroemde raadsel op. 
(Leg daarvoor de bol in een assenstelsel met het gat in de richting van de x-as, en bereken de inhoud van de cilinder en van beide kapjes).

       
10. Gegeven zijn de functies  f(x) = x2 - 6x   en    g(x) = -x3
       
  a. V is het vlakdeel in gesloten door de grafiek van f en de x-as. V wordt gewenteld om de x-as.
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat.
       
  b. Bereken exact de totale gezamenlijke oppervlakte van de twee vlakdelen, ingesloten door de grafieken van f en g.
       
  c. De lijn y = -ax (met a > 0) en de grafiek van g sluiten ook een vlakdeel in,
waarbij x > 0.
Bereken voor welke a de oppervlakte van dit vlakdeel gelijk is aan 9.
       
11. De punten O, A(9,0) en C(0,9) zijn hoekpunten van een vierkant OABC.

 
  De kromme K verdeelt het vierkant in de delen V en W.
     
  a. Bereken in drie decimalen nauwkeurig de oppervlakte van beide delen.
       
  b. Het omwentelingslichaam L1 ontstaat door vlakdeel V om de x-as te wentelen. Bereken de inhoud van L1 in twee decimalen nauwkeurig
       
  c. Het omwentelingslichaam L2 ontstaat door vlakdeel W om de lijn y = 9 te wentelen. Pas een handige translatie toe en bereken de inhoud van L2.
       
  d. De lijn y = x verdeelt vlakdeel V in twee delen. Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat als het rechterdeel wordt gewenteld om de x-as. Geef je antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.
       
12. Het vlakdeel, ingesloten door de grafieken van y = x2 - 2x  en  y = x  wordt gewenteld om de lijn y = 4.
Bereken algebraïsch de inhoud van het omwentelingslichaam dat dan ontstaat.
       
13. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1993.

Gegeven is de functie  f:   x →  x + 3 - 4√x   met domein  [0, →〉
Ten opzichte van een assenstelsel Oxy is K de grafiek van f.
V is het vlakdeel begrensd door K en de lijn y = 3.
Bereken in gehelen nauwkeurig de inhoud van het lichaam dat ontstaat door V te wentelen om de lijn y = 3.
       
14. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1997.
       
  Met domein [-3, →〉 is gegeven de functie 
f:  x →  x√(x + 3) 
en met domein  [-3, →〉 \ {0} de functie

 
  De grafiek van f is in de figuur hiernaast getekend.
       
  a. Bereken het bereik van f.  
       
  b. Bereken de coördinaten van de gemeenschappelijke punten van de grafieken van f en g.
       
  Het gesloten vlakdeel begrensd door de grafieken van f en g wordt gewenteld om de x-as.
       
  c. Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat.
       
15. De functie f is gegeven door
f (x) = √(1 − x) .
In de figuur hiernaast zijn op het interval [0, 1] de grafiek van f en de lijn y = x getekend.
Het gebied V wordt begrensd door de grafiek van f, de y-as, de lijn y = x en de lijn x = 1/2.

Zie de figuur hiernaast

Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat wanneer V om de x-as wordt gewenteld.

       
16.

Op het domein [0, 1] is de functie r gegeven door  
r(x) = 1/10 • √(5 + 15x - 15x2).

W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x = h , met 0 < h ≤1.
Zie de figuur.
Voor het volume V van het omwentelingslichaam dat ontstaat door vlakdeel W om de x-as te wentelen, geldt:
   
       
  a. Toon aan dat deze formule voor V juist is.
       
  Als de grafiek van r om de x-as gewenteld wordt, ontstaat een figuur die lijkt op een regenton. Voor x, h en r nemen we de meter als eenheid, zodat de ton 1 meter hoog is.
V is dus het volume van het water in de ton als het water h meter hoog staat.

     
  b. Bereken de waterhoogte in de ton als deze voor drie vierde deel is gevuld. Rond je antwoord af op een geheel aantal cm.
       
17. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2013.  
       
  De functie f is gegeven door  
f(x) = 1/6√(87x - 3x2 - 2x3)  
In de figuur hiernaast  is de grafiek van f getekend en ook het spiegelbeeld hiervan in de x-as. De twee grafieken vormen samen een figuur die lijkt op een doorsnede van een ei.

Op de x-as en de y-as is de eenheid 1 cm. In de figuur is aangegeven wat bedoeld wordt met de lengte en de breedte van het ei. De lengte van het ei is ongeveer 5,9 cm.
       
  a. Bereken op algebraïsche wijze de lengte van het ei in cm. Rond je antwoord af op twee decimalen.
       
  b. Bereken met behulp van primitiveren de inhoud van het ei. Geef je antwoord in een geheel aantal cm3.
       
18.

De functie f is gegeven door  f(x) = 16/√x

Van vierkant ABCD liggen de hoekpunten A en B op de x-as en het hoekpunt D op de grafiek van f.

Zie de figuur hiernaast.
De x - coördinaat van A is gelijk aan 1

V is het deel van dit vierkant dat zich boven de grafiek bevindt.
Vlakdeel V wordt gewenteld om de x-as.

Bereken exact de inhoud van het bijbehorende omwentelingslichaam.

 

       
19. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2017-I
       
  De functie f wordt gegeven door: 
f(x) = 5/(4x - 6)

De lijn k met vergelijking y = x - 31/2 snijdt de grafiek van f in twee punten, A en B. Zie de figuur.
De coördinaten van punt A zijn (1, -21/2)

     
  a. Bereken exact de coördinaten van punt B.
     
  Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafiek van f , de x-as, de y-as en de lijn k. In de figuur hiernaast is dit vlakdeel grijs gemaakt.
V wordt gewenteld om de x-as. Zo ontstaat een omwentelingslichaam.
       
  b. Bereken exact de inhoud van dit omwentelingslichaam.
       
20. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2019-I

De functie f is gegeven door f (x) = √x.  De grafiek van f is getekend in de figuur linksonder, samen met de lijnen met vergelijkingen x = a en x = b , waarbij 0 < a < b . Midden tussen de punten (a, 0) en (b, 0) ligt het punt (m, 0) .

De grafiek van f, de x-as en de twee verticale lijnen sluiten een gebied in.
Dit gebied, in de figuur linksonder met groen aangegeven, wordt gewenteld om de x-as.
Het omwentelingslichaam is een zogenaamde afgeknotte paraboloïde.
Deze is afgebeeld in de figuur rechtsonder.
       
 

       
  Bij de omwenteling beschrijft elk punt van de grafiek een cirkel.
De oppervlakte van de cirkel die beschreven wordt door het punt (m, m) noemen we A. De cirkelschijf met deze oppervlakte is met donkergroen aangegeven in de rechterfiguur.
       
  In de figuur hiernaast staat de afgeknotte paraboloïde een kwartslag gedraaid. In die figuur is ook de hoogte h van de afgeknotte paraboloïde aangegeven.

Voor de inhoud V van de afgeknotte paraboloïde geldt de formule:
 V = h •  A

Bewijs dit.

       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)