Nieuwe pagina 1

Van ijzerdraad wordt een regelmatige vierzijdige piramide gemaakt De totale lengte van het ijzerdraad is 120 cm.
Als de bodem een vierkant van x bij x is, dan geldt voor de inhoud:
I = ¹/₃x² • √(¹/₂x² - 60x + 900)

Toon dat aan.

Onderzoek met je GR wat de maximale inhoud van zo'n piramide is.

821,3

Midden in een regelmatige vierzijdige piramide met grondvlak 8 bij 8 en hoogte 12 wordt een balk gezet die er "precies in past".
Als de balk grondvlak x bij x heeft, dan geldt voor de inhoud ervan:
I = 12x² - 1¹/₂x³

Toon dat aan.

Bereken hoeveel procent van de inhoud van de piramide maximaal door zo'n balk in beslag genomen kan worden.

44,44%

Als de figuur in de piramide niet een balk is maar een cilinder, dan geldt voor de inhoud: I = 12πr² - 3πr³ waarbij r de straal van het grondvlak is.

Toon dat aan.

Beantwoord vraag b) ook voor de cilinder.

34,91%

Hiernaast zie je een afbeelding van een schuurtje dat je achterin je tuin kunt laten zetten.
De lengte is 1,5 keer de breedte.
De opstaande wanden kosten €150,- per m² (inclusief de deur en de ramen)
Het dak is van een duurder materiaal en kost €250 per m²
De kosten van de vloer zijn te verwaarlozen.

Stel dat je graag wilt dat de inhoud van je schuurtje minstens 60 m³ is.

Wat is dan het goedkoopste schuurtje dat je kunt laten maken?

13158

Hiernaast staat een houten kistje met een vierkant grondvlak en een inhoud van 8000 cm³ .
De bodem en de zijkanten zijn van hout en kosten €0,005 per cm²
Het deksel is van glas en kost €0,008 per cm²

Voor de totale materiaalkosten van zo'n kistje geldt dan:
K = ¹⁶⁰/_x + 0,013x²

Toon dat aan

Bereken algebraïsch hoeveel het goedkoopst mogelijke kistje (onder deze voorwaarden) kost.

13,10

10.

Hiernaast zie je een glazen potje met een metalen deksel, en een inhoud van precies 1 liter.
Het glas kost €0,02 per cm²en het metaal kost €0,05 per cm²
Het deksel heeft een opstaande rand die 2 cm breed is.

Je kunt de dikte van het potje verwaarlozen, dus doe maar alsof het deksel dezelfde straal heeft als het grondvlak van het potje.

Dan geldt bij straal r cm van het grondvlak voor de totale materiaalkosten van het potje: K = 0,07πr² + ⁴⁰/_r + 0,2πr

Toon dat aan.

Bepaal de minimale kosten.

€16,03

11.

Je wilt graag een cilindervormig blikje met een inhoud van 1 liter (1000 cm³) maken. Het materiaal (blik) kost €0,004 per cm² .
Maar om het geheel aan elkaar te solderen zijn er drie naden nodig: twee langs de omtrek van bovenvlak en ondervlak, eentje langs de hoogte h. Een naad kost €0,008 per cm.

Stel een formule op voor de totale kosten van zo'n blikje en bepaal met je GR de minimale kosten.

€2,83

12.

In de Verenigde Staten moet men bij het versturen van een postpakket rekening houden met het volgende voorschrift:

De som van de lengte en de omtrek loodrecht op die lengte mag niet meer zijn dan 250 cm.

Voor een balk geldt dat bij maximale inhoud, de doorsnede dan een vierkant moet zijn.

Leg uit waarom dat zo is.

Bereken de maximale inhoud van een balkvormig postpakket.

144676 cm³

Bereken de maximale inhoud van een cilindervormig postpakket.

184207 cm³

13.

In een gelijkbenige driehoek ABC met basis AB = 12 en hoogte 10 wordt een rechthoek PQRS getekend.
Noem AQ = x
Dan geldt voor de oppervlakte van de rechthoek:
O = 20x - 3¹/₃x²

Toon dat aan.

Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte van PQRS.

Hoe groot zou de hoogte van de driehoek moeten zijn als de rechthoek met maximale oppervlakte een vierkant is?

14.

Een boer heeft een rechthoekig stuk grond van 300 bij 400 meter. Hij wil daar graag op een deel maïs op verbouwen en op een deel koolzaad. De rest mag leeg blijven voor zijn kinderen om op te spelen. Hij wil beide bebouwde stukken precies vierkant van vorm hebben, en aan elkaar aansluiten. Hieronder zie je drie mogelijkheden.

We stellen de afmetingen van het veld maïs gelijk aan x bij x. Omdat de boer de onderrand van zijn gebied helemaal vol wil bouwen moet dan gelden 10 < x < 40.
Zijn kinderen rekenen snel uit dat voor de oppervlakte van het leeg gebleven gebied geldt O = 800x - 2x² - 40000

Toon dat aan.

Welk advies zullen de kinderen hun vader geven om zoveel mogelijk speelruimte te krijgen?

15.

Ik wil graag een bijkeukentje aan mijn huis laten bouwen.
De inhoud ervan moet 30 m³ worden.
Ik kan kiezen uit de twee ontwerpen hiernaast: het bovenste ontwerp heeft de vorm van een balk, het onderste is prismavormig. Van beide ontwerpen is de bodem vierkant. Het dak van het prismavormige ontwerp staat onder een hoek van 45°

De aannemer vertelt mij dat opstaande wanden €50,- per m² kosten, en het dak €80,- per m² en de vloer €30,- per m².
(De wand tegen het huis aan is gratis; daar hoef je alleen een opening in te maken).

Voor de kosten van de twee ontwerpen gelden de volgende formules:

K = ⁴⁵⁰⁰/_x + 110x²

K = ⁴⁵⁰⁰/_x - 5x² + 80x²√2

Toon deze formules aan

Bereken voor beide gevallen de minimale kosten voor zo'n bijkeuken.

16.

Hiernaast staat een kastje voor aan de muur. Het kastje heeft zes vakjes.
De voor- en achterkant zijn open.
Het kastje is gemaakt door een plank van 50 cm breed in stukken te zagen, en is dan ook 50 cm diep.

De plank waar het kastje uit gemaakt is was 600 cm lang.

Bereken in dat geval de maximale inhoud van dit kastje.

375000 cm³

17.

Van een cirkelvormig stuk plastic folie met een straal van 6 meter wordt een cilindervormig badje gemaakt door de rand omhoog te vouwen.

Bereken de maximale inhoud van zo'n badje.

32π

18.

Karel's geluk op een dag is evenredig met de functie G = w² • s
Daarin is w het aantal glazen wijn dat hij die dag heeft gedronken, en s het aantal sigaren dat hij die dag rookt.
Een glas wijn kost echter €3,- en een sigaar €2,-.
Hij heeft op een dag slechts € 90,- beschikbaar.

Hoe moet hij zijn geld tussen wijn en sigaren verdelen om zo gelukkig mogelijk te worden?

20w + 20s

19.

Twee rechthoekige stukken land moeten worden afgezet met gaas. De stukken land zijn aan één kant begrensd door een sloot dus daar hoeft geen afrastering te komen. De oppervlakte van het totale stuk ABCD blijkt maximaal te worden voor x = 100.

Bereken de totale lengte van het gaas.

600

20.

Examenopgave VWO Wiskunde A, 1995.

Bij het inrichten van polders verdeelt men deze in rechthoekige stukken land, zogenaamde kavels. Daarbij stelde men zich de vraag: "Wat zijn de gunstigste afmetingen voor een kavel?"
Grote kavels vergen minder investeringen en onderhoudskosten voor wegen en sloten. Echter, een grote kavelbreedte levert hoge kosten voor drainage op.
Onder bepaalde aannames kwamen de ontwerpers tot het volgende verband tussen de lengte (L) en de breedte (B) en de totale kosten per hectare (K) van een kavel:

K in euro, L en B in hectometers (1 hectometer = 1hm = 100m)
Voor een kavel met oppervlakte van 30 hectare (= 30 hm² ) geldt dan: K = ²¹²⁷¹/_L + 232,6L

Toon dat aan.

Bereken algebraïsch bij welke afmetingen een kavel van 30 hectare zo goedkoop mogelijk is.

3,14 × 9,56

21.

Hiernaast zie je een goot die is gemaakt van een zinken plaat die een breedte van 80 cm heeft.

De hoeken die de opstaande zijden met de bodem maken zijn 120°.
De voor-en achterkant staan loodrecht op de bodem.
Noem de breedte van de bodem b.

Voor de oppervlakte O van de dwarsdoorsnede geldt dan:

O = √3(-0,1875b² + 10b + 400)

Toon dat aan

Bereken de maximale oppervlakte van de dwarsdoorsnede van deze goot.

523,76

22.

Uit een boomstam met cirkelvormige doorsnede (straal r = 9 cm) wordt een houten balk gezaagd. Een doorsnede staat in de figuur hiernaast. Men zaagt de niet-gearceerde stukken weg.

Voor de draagkracht (D) per meter van een balk met hoogte y en breedte x blijkt te gelden: D = 3xy².

(D in kg/m en x en y in cm)

Hoe moet men de afmetingen x en y kiezen om een balk met een zo groot mogelijke draagkracht te krijgen?

6,87 × 16,63

23.

Een stuk ijzerdraad van twee meter lang wordt in twee stukken geknipt.
Van het ene stuk wordt een vierkant gemaakt, van het andere stuk een gelijkzijdige driehoek.
Wat is de maximale oppervlakte van dat vierkant en die driehoek samen?

24.

Examenopgave VWO Wiskunde A, 2001.

Een gemeente wil uitbreiden door het bouwen van een nieuwe wijk en doet onderzoek naar de kosten van het plan daarvoor. Er zijn twee soorten kosten voor de gemeente:

•

de kosten van aankoop van de grond. In deze situatie bedragen de kosten 170000 gulden per hectare (1 hectare = 10000 m²)

•

de kosten van het bouwrijp maken. Dit betreft kosten voor de aanleg van bijvoorbeeld wegen, rioleringen en groenvoorzieningen. Deze kosten zijn hoger naarmate het aantal woningen dat per hectare gebouwd zal worden groter is.

Voor de kosten (B) per hectare van het bouwrijp maken in duizenden guldens geldt: B = 0,4 · x^1,8 . Hierbij is x het aantal woningen per hectare
De totale kosten per woning die de gemeente maakt noemen we K. Voor het verband tussen K en x kan de volgende formule worden afgeleid: K = 0,4 · x^0,8 + ¹⁷⁰/_x
Hierbij is K in duizenden guldens.

Toon dat aan.

De gemeente wil dat de kavelgrootte (dat wil zeggen de grondoppervlakte) voor alle woningen hetzelfde is. Bovendien wil men dat de totale kosten die de gemeente per woning maakt minimaal zijn. Dit is het geval bij ongeveer 32,7 woningen per ha.

Stel een formule op voor de afgeleide van K en toon met behulp daarvan aan dat de totale kosten inderdaad minimaal zijn bij ongeveer 32,7 woningen per ha.

25.

Examenopgave HAVO, wiskunde A, 2007.

Een fabrikant maakt radiatoren voor de verwarming van de badkamer. Hiernaast zie je zo’n radiator. De radiator bestaat uit twee rechtopstaande stalen buizen met een lengte van h cm en tien stalen dwarsbuizen die elk b cm lang zijn. We laten de dikte van de buizen in deze opgave buiten beschouwing. De hoogte van de radiator is dus h cm en de breedte b cm.

Voor één radiator wordt altijd in totaal 900 cm aan buizen gebruikt. De breedte van een radiator is 50 cm.

Bereken van deze radiator de hoogte in centimeter.

200 cm

De totale lengte van de twaalf buizen van één radiator moet dus 900 cm zijn. Een hogere radiator wordt dan smaller, en een lagere radiator wordt breder. Hoogte h en breedte b zijn dus afhankelijk van elkaar. Er is een lineair verband tussen h en b.

Stel een formule op waarin h uitgedrukt is in b.

In de figuur rechtsboven is het grijze gebied de verwarmingsoppervlakte van de radiator. Dat is dus de oppervlakte van de gehele rechthoek. De verwarmingsoppervlakte V in cm² wordt gegeven door de formule:

V = -5b² + 450b met b de breedte van de radiator in cm

Toon deze formule aan en bereken vervolgens algebraïsch de maximale verwarmingsoppervlakte V.

10125 cm²

26.

Examenvraagstuk HAVO, wiskunde B, 2006.

Als een verpakking van frisdrank bij dezelfde inhoud een grotere oppervlakte heeft, zal de frisdrank erin sneller opwarmen. Hiervoor is de warmte-uitwisselingsfactor F van belang.
Er geldt: F = ^A/_V waarbij A de totale oppervlakte van de verpakking is in cm² en V het volume in cm³.

Voor een groot koffiezetapparaat moet een cilindervormige tank worden ontworpen met een inhoud van 8 liter (1 liter = 1000 cm³). Noem de straal van het grondvlak van deze tank r en de hoogte van deze tank h (r en h in cm).
De hoogte h van de tank kun je uitdrukken in de straal r. Er geldt:

Voor de warmte-uitwisselingsfactor van een cilindervormige tank met een inhoud van 8 liter heeft men de volgende formule gevonden:

Toon deze formule aan.

"De afmetingen van de tank moeten zodanig zijn dat de koffie er zo lang mogelijk warm in blijft. Dat wordt bereikt als de warmte-uitwisselingsfactor F van de tank zo klein mogelijk is".
Bereken met behulp van differentiëren de straal van een tank die aan deze eis voldoet.
Rond de getallen in je antwoord af op één decimaal.

27.

Examenvraagstuk VWO, wiskunde B, 2006.

Een geodriehoek is een gelijkbenige rechthoekige driehoek. We plaatsen twee geodriehoeken met een lange zijde van 16 cm in een rechthoekig assenstelsel met eenheid 1 cm op de manier die in de figuur hieronder (verkleind) is getekend.
De top A van de linker driehoek heeft de coördinaten (0,8)
De top B van de rechter driehoek heeft de coördinaten (8,0).

De linker driehoek begint op tijdstip t = 0 naar rechts te schuiven over de rechter driehoek met een snelheid van 1 cm/s. Daarbij wordt een gedeelte van de rechter driehoek door de linker driehoek bedekt. De tijd t wordt gemeten in seconden.

In de figuur hieronder is de situatie voor een zeker tijdstip t getekend.
Punt A heeft dan de coördinaten (t, 8). Het bedekte gebied is grijs gekleurd.
De afstand in cm tussen A en B op tijdstip t noemen we a(t).
Er geldt: a(t) = √(128 - 16t + t²)

Toon dit aan.

Het bedekte gebied op een tijdstip t tussen 0 en 16 is een rechthoek. De oppervlakte in cm² van deze rechthoek noemen we G(t). De zijden van de rechthoek zijn ook rechthoekszijden van gelijkbenige rechthoekige driehoeken met lange zijden t en 16 - t. Er geldt: G(t) = -¹/₂t² + 8t

Toon dit aan.

De oppervlakte G van het bedekte gebied neemt eerst toe en later af. De afstand a tussen A en B neemt eerst af en later toe. Leid met behulp van differentiëren uit de formules voor G(t) en a(t) af dat G en a op hetzelfde tijdstip hun uiterste waarde bereiken.

28.

Deze opgave gaat over dozen die op een bepaalde manier uit een rechthoekig stuk karton worden gemaakt. Denk aan een pizzadoos. Zie onderstaande figuur. Neem een stuk karton met een breedte van b cm. Wil je een doos maken die x cm hoog wordt, dan moet je voor de lengte van het stuk karton 2b − x cm nemen. Op zes plaatsen worden vierkantjes van x bij x cm losgesneden en omgevouwen. De stippellijnen zijn vouwlijnen; de doorgetrokken lijnen zijn snijlijnen. Bodem en deksel zijn allebei vierkant.

Voor de inhoud I(x) van zo'n doos, in cm³, geldt de formule:
I(x) =4x³ - 4bx² + b²x (0 < x < ¹^/2b)

Toon de juistheid van deze formule aan.

Voor elke positieve waarde van b heeft de inhoud I(x) een maximale waarde voor x = ¹/₆b .

Toon aan dat deze waarde van x juist is.

29.

Examenvraagstuk VWO, wiskunde B, 2010.

De punten A(1, 1) en B(3, ¹/₃ ) liggen op de grafiek van y = ¹/_x
We bekijken de rechthoek waarvan A en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as).

Een punt P( p,¹/_p) ligt op de grafiek van y = ¹/_x, tussen A en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven.

Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ¹/₂ .

2 of 1,5

De som van de oppervlakten van de grijze stukken rechtsboven en linksonder is ⁴/₃(-p + 4 - ³/_p)
Er is een waarde van p waarvoor deze som van de oppervlakten maximaal is.
Bereken exact deze waarde van p.

√3

30.

Examenvraagstuk VWO, wiskunde B, 2012.

In een rechthoek van 20 bij 30 liggen drie vierkanten: A linksonder, B rechtsonder en C rechtsboven. Van elk vierkant valt een van de hoekpunten samen met een van de hoekpunten van de rechthoek. A en B liggen tegen elkaar aan, en B en C ook. Het deel van de rechthoek dat niet bedekt is door de vierkanten noemen we D. Zie de figuur.

Als de lengte van de zijde van vierkant A gekozen is, liggen de afmetingen van de delen B, C en D vast.
Er is een waarde van x waarvoor de oppervlakte van D maximaal is.
Bereken exact deze waarde van x.

13¹/₃

31.

Examenvraagstuk HAVO, wiskunde B, 2013.

In deze opgave wordt een balkvormige doos in een rechthoekig vel papier ingepakt. De hoogte van de doos noemen we h, de breedte b en de lengte l. Zie foto 1. Alle maten zijn in centimeter. Er geldt h £ b £ l .

Het papier wordt eerst strak in de lengterichting om de doos gevouwen. Het papier is zo lang dat twee randen ervan precies tegen elkaar aan komen. Zie foto 2. De lengte van het papier in centimeter is dus 2l + 2h.
Vervolgens wordt het papier aan de voor- en achterkant strak tegen de doos aan gevouwen. Het papier is zo breed dat de randen van het papier precies tegen elkaar aan komen. Zie de foto 3. De breedte van het papier in centimeter is dus b + h . De oppervlakte van het papier in cm² noemen we O.

.a.

Druk O uit in b, l en h. Werk de haakjes weg.

We vragen ons af hoe groot de maximale inhoud van een balkvormige doos is als we deze op de beschreven manier in een stuk cadeaupapier van 120 cm bij 50 cm verpakken.
Als de doos op deze manier wordt ingepakt, geldt: 2l + 2h =120 en b + h = 50 .
Met behulp van bovenstaande gegevens is de inhoud I in cm³ uit te drukken in de breedte b.
Er geldt: I = b • (b + 10)(50 - b)

Toon dit aan.

Bereken met behulp van differentiëren de maximale inhoud van een balkvormige doos die met dit stuk papier ingepakt kan worden. Geef je antwoord in cm³ nauwkeurig.

≈ 24193 cm³

32.

Examenvraagstuk HAVO, wiskunde B, 2013.

Gegeven is de kubus ABCD.EFGH met ribbe 1. Er zijn kegels die precies om de kubus ABCD.EFGH met ribbe 1
passen. Hiermee bedoelen we dat geldt:
- het grondvlak ABCD van de kubus ligt in het grondvlak van de kegel;
- de hoekpunten E, F, G en H van het bovenvlak van de kubus liggen op de kegelmantel;
- het middelpunt M van de grondcirkel van de kegel ligt recht onder de top T van de kegel.
Zie bijvoorbeeld de volgende twee figuren.

Hiernaast is een verticale doorsnede door A, C en T getekend.
Het punt N is het snijpunt van MT met het bovenvlak van de kubus.
De afstand van de top T van de kegel tot het bovenvlak van de kubus noemen we x.

De lengte van de straal PM van de grondcirkel van de kegel kan uitgedrukt worden in x. Er geldt:

Leid deze formule af met behulp van gelijkvormigheid van driehoeken

Voor de inhoud I van de kegel geldt: I = ¹/₆π • (x + 3 + 3x^-1 + x^-2 )

Leid deze formule af.

Bereken met behulp van differentiëren de kleinst mogelijke inhoud van een kegel die precies om kubus ABCD.EFGH past.

⁹/₈π

33.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2016-II

Veel industriële en medische processen worden gestuurd door een digitale camera die gekoppeld is aan een computer. Hierbij is een gelijkmatige verlichting van het werkoppervlak van groot belang. Voor de belichting gebruikt men vaak een of meer kleine spots.

Zie figuur 1.

Om de belichting goed te kunnen instellen is de hoogte van de spots boven het werkoppervlak variabel. We bekijken eerst de situatie met één spot S.

Zie figuur 2.

De waargenomen verlichtingssterkte E (in lux) in een punt P van een horizontaal oppervlak kan berekend worden met de formule:

Hierin is:

I_spot een constante: de door de spot uitgezonden lichtstroom (in microlumen);

r de afstand (in mm) tot de spot;

α de hoek (in radialen) tussen de lichtstraal en de loodlijn in P op het werkoppervlak

In figuur 2 is d de horizontale afstand in mm van de spot tot P en x de verticale afstand in mm van de spot tot P. Er geldt:

Bewijs dit.

We kiezen d = 10 . Er is een waarde van x waarvoor E maximaal is.

Bereken algebraïsch deze waarde van x. Rond je antwoord af op één decimaal.