© h.hofstede (hhofstede@hogeland.nl)

   
1. Als je veel energie verbruikt is het misschien voordelig om zonnecollectoren op je dak te laten plaatsen.
De aanschaf en het installeren van zulke panelen kost €30.000,-  maar je kunt erop rekenen dat ze 25 jaar meegaan..
Als je eenmaal zonnepanelen hebt, dan kost het je nog maar €0,17 per kWh energie, terwijl zonder panelen de prijs ongeveer gelijk is aan  €0,42 per kWh.

Stel dat een gezin per jaar x kWh energie verbruikt.
       
  a. Stel dan twee formules op:  eentje voor de jaarlijkse kosten zonder zonnepanelen, en een andere voor de jaarlijkse kosten met zonnepanelen.
       
  b. Bereken vanaf welk energieverbruik het financieel winstgevend is om zonnepanelen te laten plaatsen.
     

4800 kWh
  c. Een gezin gebruikt per jaar 3600 kWh aan energie. Hoeveel zouden de installatiekosten minder moeten zijn als het voor hen uit moet kunnen om zonnepanelen te nemen?
     

€7500
       
2. In Nederland drukt men de temperatuur meestal uit in graden Celsius. In Engelstalige landen gebruikt men nog vaak de Fahrenheit-schaal, terwijl men in de wetenschap meestal de Kelvin-schaal gebruikt. Het verband tussen deze twee 'vreemde' schalen en de Celsius-schaal wordt gegeven door:
       
 
F = 1,8·C + 32
K = C + 273
       
  a. Hoeveel graden Celsius is het als het 68 °F is?  
     

20
  b. Bij welke temperatuur (in graden Celsius) geeft de Fahrenheit schaal dezelfde waarde als de Kelvin-schaal?
     

301,25
  c. Bij welke temperatuur (in graden Celsius) geeft de Fahrenheit schaal dezelfde waarde als de Celsius-schaal?
     

-40
  d. Stel een formule op die het aantal graden Fahrenheit uitdrukt in het aantal graden Kelvin.
     

F=1,8K-459,4
       
3.

De Noordpoolkap smelt de laatste tijd in een recordtempo. Dat blijkt uit metingen van het US national Snow and Ice Data Centre (NSIDC).  Het zee-ijs is de jongste tien dagen verdwenen met een snelheid van 1.500.000 m² per dag. Het staat nu volgens de wetenschappers vast dat tegen 2030 - over nog geen 20 jaar dus - al het zee-ijs aan de Noordpool nog maar ongeveer 10.000 km2 oppervlakte zal hebben.
       
  a. Stel een formule op voor de hoeveelheid ijs (H in km2) als functie van de tijd (t in jaren met t = 0 in 2011)  
     

H=-547,5t+20402,5
  b. Bereken wanneer de hoeveelheid ijs gelijk zal zijn aan 18.000 km2
     

april 2005
   
4. De secretaris van een voetbalvereniging houdt al jaren nauwkeurig bij hoeveel leden de vereniging heeft.  Er zijn twee soorten leden:  jeugdleden en seniorleden.
Beide aantallen zijn in de loop der jaren gegroeid.
  Voor de jeugdleden geldt  J = 120 + 14t  en voor de seniorleden geldt  S =  240 + 8t
Daarin is t de tijd in jaren met t = 0 in 1980.
       
  a. Hoe kun je zonder een berekening te maken direct aan deze formules zien welk van beide ledensoorten het snelst groeit?
     

J want 14 > 8
  b. Bereken in welk jaar er evenveel jeugdleden als seniorleden zullen zijn als deze groei zo doorgaat.
   

2000
  c. Bereken in welk jaar het totaal aantal leden voor het eerst meer dan 1800 zal zijn als deze groei zo doorgaat.
     

2045
   
5. Klaas wil vanavond  naar een feest in de stad.  Er zijn twee feesten waaruit hij wil kiezen.
Bij het eerste feest is de entreeprijs gelijk aan €5,-  en daar kost een glas bier €1,60
Bij het tweede feest is de entreeprijs gelijk aan  €6,50  en daar kost een glas bier  €1,50.
Stel dat Klaas op een feest van plan is x glazen bier te gaan drinken.
       
  a. Stel een formule op voor de totale kosten KI voor feest I en ook een formule voor de totale kosten KII voor feest II, en schets de grafieken die daarbij horen
       
  b. Leg uit waarom je in de vorige vraag eigenlijk geen lijnen als grafieken mag tekenen.
       
  Zijn  vriend Kees heeft ook de keuze uit twee feesten. Voor hem gelden (als hij x glazen bier drinkt) de formules:
KI = 7,2 + 1,25x  en  KII = 5,8 + 1,30x
       
  c. Bereken algebraïsch bij hoeveel glazen bier het goedkoper is voor Kees om naar feest I te gaan
     

meer dan 28
       
6. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2004
       
  Gegeven zijn de twee functies:

f(x) = 0,5x + 2   en   g(x) = 8 - x

De grafiek van f snijdt de y-as in punt A.
De grafiek van g snijdt de y-as in punt B.
De twee grafieken snijden elkaar in punt C.
     
  a. Bereken de oppervlakte van driehoek ABC.
   

12
  Lijn l is evenwijdig aan de y-as
Lijn l snijdt de grafiek van f in punt S en de grafiek van g in punt T. Er geldt  ST = 18
       
  b. Bereken de mogelijke coördinaten van S en T.
     

(-8, -2)(-8, 16)
of (16,10)(16,-8)
       
7. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2007

Het bedrijf PrintLease verhuurt twee types kopieermachines, de H570T en de H320L. De huurprijs bestaat uit twee delen, de vaste kosten en de kosten per gemaakte kopie. In de volgende tabel is te zien hoe de maandelijkse huurprijs wordt berekend.
       
 
Maandelijkse kosten verhuur kopieermachines
Kosten per maand in euro's H570T H320L
vaste kosten 340 375
kosten per kopie tot en met het aantal van 12000 0,0095 0,01
voor elke kopie boven het aantal van 12000 0,0095 0,0058
       
  In deze tabel kun je zien dat de prijs voor elke kopie boven de 12000 kopieën bij de H320L goedkoper is dan bij de H570T. PrintLease wil op de website aan de klanten laten weten bij welk aantal kopieën per maand het huren van de H320L voordeliger is dan de H570T.
Onderzoek bij welke aantallen kopieën dit het geval is.
     

vanaf 23082
     
8. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2008

Veel mensen beleggen in aandelen. Daarvoor geven ze een opdracht aan een zogenoemde ‘broker’. Die regelt bij een opdracht de aankoop (of de verkoop) van de door de klant gewenste aandelen. Voor het uitvoeren van een opdracht brengt de broker kosten in rekening. Broker Haag hanteert voor een opdracht een tarief volgens de volgende formule: K = 0,0045 • w + 4
Hierbij is K de kosten in euro en w de totale waarde van de aandelen in euro op het moment van aankoop of verkoop. De klant moet echter altijd ten minste €12,- voor een opdracht betalen. Een klant koopt via Haag 150 aandelen ABN die per stuk €19,18 kosten. Een tijd later is de waarde van deze aandelen gestegen naar € 21,44 per stuk. De klant neemt het besluit alle aandelen via Haag te verkopen. Voor de berekening van zijn winst houdt de klant rekening met de kosten van aankoop en verkoop.
       
  a. Bereken hoeveel winst de klant heeft behaald op de aandelen ABN.
     

303,58
  Handelaar Van der Meulen is ook een broker. Hij hanteert als tarief: K = 0,004 • w + 7
Hierbij is K weer de kosten in euro en w de totale waarde van de aandelen in euro op het moment van aankoop of verkoop. De klant betaalt bij Van der Meulen per opdracht nooit meer dan €46,-.

Als de totale waarde van de aandelen hoog genoeg is, nemen de kosten die Van der Meulen in rekening brengt, niet verder meer toe.
       
  b. Bereken hoe groot de totale waarde van de aandelen dan ten minste moet zijn.
     

9750
  Als een klant een aandelenopdracht wil plaatsen waarvan de totale waarde behoorlijk groot is, kan hij dat beter doen bij Van der Meulen dan bij Haag. Immers, bij Van der Meulen is hij nooit meer kwijt dan €46,-. In veel andere gevallen is Haag echter goedkoper. In de figuur hieronder is een grafiek getekend van het verband tussen de totale waarde van de aandelen en de kosten daarvan bij aankoop bij Van der Meulen.
       
 

       
  c. Onderzoek bij welke totale aandelenwaarden de klant met zijn opdracht goedkoper uit is bij Haag dan bij Van der Meulen. Gebruik hierbij de figuur hierboven.
     

6000-9333
9. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2013

 Een jaar of veertig geleden was een vrouwelijke huisarts nog een uitzondering. Maar tegenwoordig zijn er heel wat vrouwelijke huisartsen en dat aantal neemt nog steeds toe, zie de figuur. We nemen aan dat de stijging lineair verloopt.
       
 

       
 

Op 1 januari 1990 waren er 1078 vrouwelijke huisartsen en op 1 januari 2008 bleek dit aantal gestegen tot 2980. Het aantal vrouwelijke huisartsen HV na t jaar, met t = 0 op 1 januari 1990, is te schrijven als
HV = a • t +  1078
 De waarde van a is ongeveer 106.
       
  a. Bereken met behulp van bovenstaande gegevens de waarde van a in één decimaal nauwkeurig.
     

105,7
 

Ook het totaal aantal huisartsen HT neemt vanaf 1 januari 1990 toe. Hiervoor geldt de formule

HT = 107 • t + 6703, met t in jaren en t = 0 op 1 januari 1990.

Als de stijging van het totaal aantal huisartsen en van het aantal vrouwelijke huisartsen zich op dezelfde manier voortzet als in de formules voor HT en HV is beschreven, komt er een moment dat er evenveel vrouwelijke als mannelijke huisartsen zullen zijn.
       
  b. Onderzoek in welk jaar dat zal zijn.
     

2033
10. In de afgelopen jaren steeg de consumptie van frisdrank en bier fors. Het gemiddeld per jaar per hoofd van de bevolking gedronken aantal liters is voor twee jaren vermeld in de volgende tabel:
       
 
jaar bier fris
1982
1998		 42,3
50,7		 34,2
46,3
       
  We nemen in deze opgave aan dat deze hoeveelheden lineair in de tijd toenemen.
       
  a. Bereken dan het gemiddeld aantal liters bier per persoon per jaar in 1994
       
  b. Bereken in welk jaar er evenveel bier als frisdrank wordt gedronken.
       
  De totale hoeveelheid bier en frisdrank samen is ook lineair toegenomen.
       
  c. Leg duidelijk waarom dat altijd zo is, ongeacht welke getallen er in de tabel staan.
       
     

© h.hofstede (hhofstede@hogeland.nl)