Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Soms moet je in de supermarkt erg lang wachten voor de kassa. Ik koos vroeger altijd de verkeerde rij, maar nu niet meer! Ik heb er een studie van gemaakt, en ontdekte dat de tijd die klanten nodig hebben bij de kassa afhankelijk, is van hun leeftijd. Bij oude mensen is de benodigde kassatijd normaal verdeeld met een gemiddelde van 3,12 minuten en een standaardafwijking van 0,6 minuten. Bij jonge mensen is die tijd ook normaal verdeeld maar met een gemiddelde van 2,40 minuten en een standaardafwijking van 0,2 minuten.

Ik ben zelf uiteraard nog één van de jonge mensen.
Hoe groot is de kans dat de kassatijd bij mij tussen de 2,3 en 2,6 minuten duurt?

0,5328

Op een dag kom ik aan met mijn volle winkelkarretje en ik zie dat kassa 1 en kassa 2 open zijn. Voor kassa 1 staat een rij van 3 oude en 2 jonge mensen en voor kassa 2 staan 6 jonge mensen. Ik wil beslist niet langer dan 15 minuten in de rij staan.

Welke kassa kan ik dan het beste kiezen?

kassa 2: 0,89

De supermarkt heeft nu voor het eerst ook een automatische kassa: je kunt zelf je artikelen scannen en met een pinpasje afrekenen. Er blijken alleen jonge mensen van deze kassa gebruik te maken, maar de tijd is niet meer normaal verdeeld zoals boven aan deze opgave. Het blijkt dat de kassatijd alleen nog maar afhangt van het aantal artikelen dat men heeft. Er is een basistijd van 1 minuut (voor afrekenen en inpakken e.d.) en verder een extra tijd van 6 seconden per artikel.
Voor de totale tijd in seconden geldt dus T = 60 + 6A (T = tijd, A = aantal artikelen).

Op een dag is het aantal artikelen bij deze automatische kassa normaal verdeeld met een gemiddelde van 16 en een standaardafwijking van 5.

Welke van de volgende klokvormen zal bij de kassatijd in seconden van de automatische kassa op die dag gelden? Geef een duidelijke uitleg.

0,00187

Druivenplukker is een mooi vakantiebaantje. Je plukt overdag een aantal kilo's druiven, en krijgt per kilo een bepaald bedrag. Het aantal kilo's dat een druivenplukker per dag plukt is normaal verdeeld met een gemiddelde van 24 kg en een standaarddeviatie van 3 kg.

Hoe groot is de kans dat een willekeurige plukker per dag hoogstens 28 kg plukt?

0,9088

Een bedrijf neemt een aantal plukkers aan, en de statisticus berekent dat de standaarddeviatie van hun totaal gezamenlijke geplukte gewicht per dag gelijk zal zijn aan 12,7 kg. Hoeveel plukkers zijn er aangenomen?

Jan is een gemiddelde plukker, dus voor hem geldt de normale verdeling. Hij krijgt per geplukte kilo €0,50. Hij wil zoveel dagen werken dat hij in totaal minstens €310 verdient. Hoe groot is de kans dat dat meer dan 25 dagen gaat duren?

0,0912

Twee verspringers houden een wedstrijd tegen elkaar.

Springer A springt op dit moment gemiddeld 8,60 meter met een standaardafwijking van 10 cm.
Springer B springt op dit moment gemiddeld 8,50 meter met een standaardafwijking van 20 cm.

Hoe groot is de kans dat bij één sprong A verder springt dan B?

Jolanda gaat elke zaterdag shoppen in Groningen en geeft dan meestal redelijk wat geld uit. De hoeveelheid geld is normaal verdeeld met een gemiddelde van €80,- en een standaarddeviatie van €12,-

Hoe groot is de kans dat ze tussen de 70 en 86 euro uitgeeft?

Hoe groot is de kans dat ze op drie achtereenvolgende zaterdagen in totaal meer dan €260 uitgeeft?

Hoe groot is de kans dat ze op drie achtereenvolgende zaterdagen elke dag meer dan €85 uitgeeft?

examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1986.

In een fabriek worden pakken met cakemeel gevuld. Op zo'n pak wordt vermeld: "Inhoud 500 gram".
Veronderstel dat de inhoud per pak normaal verdeeld is met een gemiddelde van 500 gram en met een standaarddeviatie van 4 gram.

Bereken in één decimaal nauwkeurig het percentage van de pakken die minder dan 495 gram cakemeel bevatten.

Volgens de fabrikant betekent de vermelding "Inhoud 500 gram" dat slechts 25% van de pakken minder dan 500 gram inhoud heeft. Als een pak een inhoud van minder dan 500 gram heeft, spreekt men van ondergewicht. Veronderstel bij de volgende drie vragen dat de fabrikant gelijk heeft en dat de standaarddeviatie van de normaal verdeelde inhoud 4 gram bedraagt.

Bereken in één decimaal nauwkeurig de gemiddelde inhoud per pak.

In een rek van een kruidenierswinkel staan 20 pakken cakemeel afkomstig van bovengenoemde fabriek. Daarvan hebben er 5 een ondergewicht. Een klant neemt aselect 3 pakken uit het rek.
Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat geen van deze 3 pakken een ondergewicht heeft.

Een banketbakker koopt 16 pakken rechtstreeks van de fabriek.
Bereken in drie decimalen de kans dat hij minder dan 8000 gram cakemeel heeft gekocht.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2006

De firma Sanove fabriceert stukken zeep. De stukken zeep worden machinaal gemaakt. De machine is zo ingesteld dat het gewicht van de stukken zeep normaal verdeeld is met een gemiddelde van 93 gram en een standaardafwijking van 1,4 gram. Volgens de norm die Sanove hanteert, mag het gewicht van hoogstens 2% van de stukken zeep minder zijn dan 90 gram.

Ga met een berekening na of Sanove met de genoemde instellingen voldoet aan de norm.

Het kan gebeuren dat de machine niet goed functioneert. Dan hebben te veel stukken zeep niet het gewenste gewicht. De afdeling Quality Control (QC) van Sanove gebruikt verschillende manieren om dit te controleren. Enkele van deze manieren komen hier aan de orde.

Wanneer het gemiddelde gewicht van de stukken zeep te laag is, mag de zeep niet verkocht worden. De afdeling QC neemt daarom elk uur uit de productie van dat uur aselect vijf stukken zeep. De productie van dat uur wordt afgekeurd wanneer het totale gewicht van de vijf stukken zeep minder is dan 460 gram.
Neem aan dat de machine in orde is, dus stukken zeep maakt waarvan het gewicht normaal verdeeld is met een gemiddelde van 93 gram en een standaardafwijking van 1,4 gram.
Dan is het toch mogelijk dat van een zeker uur de productie wordt afgekeurd.

Bereken de kans dat dit gebeurt.

0,055

De vijf aselect gekozen stukken zeep worden door QC ook nog op een andere manier gecontroleerd. Hierbij wordt gelet op stukken zeep die veel te licht of veel te zwaar zijn. Als van de stukken zeep er minstens één is waarvan het gewicht meer dan drie keer de standaardafwijking afwijkt van het gemiddelde, wordt de machine opnieuw ingesteld.

Bereken de kans dat QC de goed ingestelde machine om deze reden opnieuw laat instellen.

0,0134

Bij Albert Hein kosten de frisdranken gemiddeld €0,90 per liter met een standaarddeviatie van €0,12.
Bij C1000 kosten de frisdranken gemiddeld €0,80 per liter met een standaarddeviatie van €0,08

Ik koop bij beide winkels een winkelkarretje vol met 20 willekeurig gekozen liters frisdrank.
Hoe groot is de kans dat de inhoud van het karretje bij Albert Hein minstens €3,00 duurder is dan bij C1000?

Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2009

De reistijd van bussen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 60 minuten. Het kan natuurlijk voorkomen dat een rit wat langer of wat korter duurt. Men vindt dit acceptabel zo lang niet meer dan 10% van de ritten langer duurt dan 65 minuten.

Bereken de maximale standaardafwijking van de reistijd van een bus waarbij aan deze eis voldaan is.

3,9 minuten

Veronderstel dat de reistijden van de bussen onafhankelijk zijn en alle een standaardafwijking van 3,4 minuten hebben.
We bekijken twee opeenvolgende bussen.

Bereken de kans dat de eerste bus meer dan 65 minuten over de rit doet en de tweede bus minder dan 55 minuten.

0,005

Bereken de kans dat een bus minstens 8 minuten korter over de rit doet dan zijn voorganger.

0,05

Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2010.

In de volgende tabel staan de gegevens voor lichaamslengte in mm, voor mannen en voor vrouwen. De lengtes zijn normaal verdeeld.

	man gemiddeld	man standaard- afwijking	vrouw gemiddeld	vrouw standaard- afwijking
lichaamslengte in mm	1817	83	1668	67

Vaak maakt men voor een gemengde groep toch gebruik van één normale verdeling. Dit is dan een vrij ruwe benadering. Het gemiddelde en de standaardafwijking van deze normale verdeling berekent men met behulp van de volgende formules:

Hierin is:

s_gde standaardafwijking van de gemengde groep
s_m en s_vde standaardafwijking van de mannen respectievelijk de vrouwen
a_m het aandeel mannen in de groep en a_v het aandeel vrouwen. Er geldt dus altijd a_m + a_v = 1.

Een groep bestaat uit 40% mannen en 60% vrouwen, dus a_m = 0,40 en a_v = 0,60. Men kan op twee manieren berekenen hoeveel procent van deze groep langer is dan 185 cm:

met behulp van één normale verdeling voor de gemengde groep en de hierboven gegeven formules voor het gemiddelde en de standaardafwijking;

zonder gebruik te maken van deze formules, met behulp van de aparte gegevens voor mannen en vrouwen.

Bereken op beide manieren hoeveel procent van deze groep langer is dan 185 cm.

11,9 en 14,0

10.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2014.

Pringles worden in Nederland onder andere verkocht in kokers van 88 stuks. Op de verpakking staat dat er 165 gram in zit. De chips wegen per stuk natuurlijk niet allemaal precies hetzelfde. We nemen aan dat het gewicht van een Pringles-chip normaal verdeeld is met een gemiddeld gewicht van 1,89 gram en een standaardafwijking van 0,06 gram.

Deze chips moeten volgens de producent een bepaald minimumgewicht hebben. Toch kan het gebeuren dat geproduceerde chips lichter zijn dan het minimumgewicht. Dat te lichte deel vormt 0,2% van het geproduceerde totaal.

Bereken het minimumgewicht dat een chip volgens de producent moet hebben.

1,72 gram

Ook van het merk Lay’s worden chips in kokers gedaan. Op de foto zijn kokers uit Shanghai te zien waarin 92 stuks zitten en waarbij op de verpakking een inhoud van 180 gram staat.
Het gewicht van een Lay’s-chip is ook normaal verdeeld. Een Lay’s-chip weegt gemiddeld 1,97 gram met een standaardafwijking van 0,08 gram.
Ongeveer 35% van de Lay’s-chips weegt meer dan 2 gram. Iemand beweert dat het percentage Pringles-chips die meer dan 2 gram wegen meer dan tien keer zo klein is als het percentage Lay’s-chips die meer dan 2 gram wegen.

Onderzoek met een berekening of deze bewering juist is.

Zowel bij een koker Pringles als bij een koker Lay’s kan het gebeuren dat de inhoud minder weegt dan het aantal gram dat op de verpakking staat.

Bereken van welk merk de kans daarop het kleinst is.

Pringles