Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Optimaliseren bij grafieken.

Onder de parabool y = 4x – x²wordt een rechthoek ABCD getekend waarvan de zijden evenwijdig zijn aan de x-as en de y-as en waarvan de oorsprong een hoekpunt is. De hoekpunten C en D liggen op de parabool./ Stel dat de x-coördinaat van punt A gelijk is aan p. Zie de figuur hiernaast.

Voor de oppervlakte O van de rechthoek geldt dan:

O = 2p³ – 12p² + 16p

Toon dat aan.

Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte van rechthoek ABCD.

6,16

Bereken algebraïsch de maximale omtrek van rechthoek ABCD.

Gegeven zijn de functies f(x) = x² – 4x + 6 en g(x) = -x² + 8x – 20

Een verticale lijn x = p (met p > 1) snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in punt B.

We bekijken de driehoek OAB (O is uiteraard de oorsprong)

Hieronder zie je drie mogelijkheden.

Voor de oppervlakte A van driehoek OAB blijkt te gelden: A = p³ – 7p² + 13p

Toon dat aan.

Bereken algebraïsch de minimale oppervlakte van driehoek OAB.

2,90

Onderzoek of de oppervlakte van driehoek OAB minimaal is voor de waarde van p waarvoor lijnstuk AB minimaal is.

Hiernaast zie je voor 0 < x < 2 de grafieken van f(x) = 4x - 2x²
en g(x) = x³ - 4x² + 4x

Tussen beide grafieken wordt een aantal verticale lijnstukken getekend.

Bereken algebraïsch de maximale lengte van zo'n lijnstuk.

³²/₂₇

Tussen de twee parabolen:

y = x² - 4x - 5 en y = -0,5(x²- 4x - 5)

wordt een rechthoek getekend met de zijden evenwijdig aan de coördinaatassen.

Wat is de grootst mogelijke oppervlakte die zo'n rechthoek kan hebben?

31,18

Gegeven is de parabool y = -x² + 6x met daarop de punten A en C. Hierbij is y_A = y_B. Zie de figuur hiernaast.

Stel x_A = p en druk de oppervlakte van driehoek OAB uit in p.

Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte die driehoek OAB kan hebben.

10,39

Hiernaast zie je de parabool y = 2x² - 4x + 3
Punt S is een punt op de x-as met x-coördinaat gelijk aan p
Daarbij is 0 < p < 4
Punt Q is het punt (4,0)

QSR is een driehoek met een rechte hoek bij S.
Voor de oppervlakte van driehoek QRS geldt dan:

O = -p³ + 6p² - 9,5p + 6

Toon dat aan.

Bereken algebraïsch voor welke p de oppervlakte van QRS maximaal is.

p = 2,91

Gegeven is de functie f(x) = 0,3x³ - 2x² + 4x waarvan je de grafiek hiernaast ziet.

Vanaf een aantal punten P van de grafiek is de lijn OP getekend.

Stel een formule op voor de helling van OP en bereken de minimale helling.

²/₃

Gegeven zijn de parabolen p₁ : y = -x² + 2x + 1 en p₂ : y = -0,5x² + 4
De lijn x = q snijdt p₁ in A en p₂ in B.
Bereken met behulp van differentiëren de minimale lengte van lijnstuk AB.

Gegeven zijn de functies f(x) = x² – 4x + 10 en
g(x) = -2x² + 18x – 36.

Bereken de minimale verticale afstand tussen de grafieken van f en g

5²/₃

De lijn x = p met 0 < p < 3 snijdt de grafieken van f en g in de punten A en B.

Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte van driehoek OAB. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig

14,81

10.

Examenopgave VWO Wiskunde B, 2011.

De functie f is gegeven door f (x) = √(1 − x) .
In de figuur hiernaast zijn op het interval [0, 1] de grafiek van f en de lijn y = x getekend.
De grafiek van f en de lijn y = x snijden elkaar in het punt T.
Op de lijn y = x ligt tussen O(0, 0) en T een punt P(p, p).
De lijn y = p snijdt de grafiek van f in het punt Q.

De rechthoek waarvan PQ een zijde is en waarvan de tegenoverliggende zijde op de x-as ligt, is in de figuur voor een waarde van p grijs gemaakt.

De x-coördinaat van Q is 1− p² .

Toon dit aan.

Bereken exact voor welke p de oppervlakte van de rechthoek maximaal is.

¹/₃

11.

De grafiek van y = x³ wordt 2 eenheden naar rechts geschoven.
Dat geeft een tweede grafiek.

Bereken de minimale verticale afstand tussen deze twee grafieken.