© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
1. Aan een groot aantal automobilisten is gevraagd wat ze vonden van het verhogen van de maximumsnelheid naar 130 km/uur. De gegevens staan in de volgende tabel:
       
 
  man vrouw
voor 86 50
tegen 34 10
geen mening 47 24
       
  a. Bereken de kans dat een willekeurig gekozen persoon een vrouw is die tegen verhoging van de maximumsnelheid is.
     

0,0398
  b. Welke kans is groter: de kans dat een mannelijke automobilist vóór verhoging van de maximumsnelheid is, of de kans dat iemand die vóór verhoging van de maximumsnelheid is een man is?
     

de eerste (0,63)
     
2. Drie caissières  A, B en C werken in een supermarkt.
A is de meest ervaren caissière en verwerkt 50% van de producten die gekocht worden.  B verwerkt 35% en C (die nog maar net begonnen is) verwerkt 15%.
Natuurlijk gaat niet alles foutloos. A heeft 6% foute aanslagen,  B 5% en C 8%.
       
  a. Bekijk vier willekeurige aanslagen. Hoe groot is de kans dat er precies 2 fout van zijn?
     

0,0188
  b. Als een product fout is aangeslagen, hoe groot is dan de kans dat dat door caissière A is gebeurd?
     

0,5042
       
3. Een leugendetector werkt natuurlijk niet 100% foutloos.
Een bepaald soort leugendetector blijkt 90% van de leugenaars te ontmaskeren, 10% ontsnapt.
Maar ook van de mensen die wél de waarheid spreken zegt de detector toch in 4% van de gevallen dat zij liegen.

Van een dorp is 2% van de mensen leugenaar.
De detector zegt van een willekeurig gekozen persoon uit dat dorp dat hij de waarheid spreekt. Hoe groot is de kans dat dat inderdaad het geval is?
     

0,9979
       
4. Examenvraagstuk.

Osteoporose, of botontkalking, is een kwaal die vooral bij oudere mensen voorkomt en verergert naarmate men ouder wordt. Bij het ouder worden maakt het lichaam minder bot aan dan er afgebroken wordt. Het gevolg is dat botten poreuzer worden en de kans op botbreuk dus toeneemt.
In deze opgave beperken we ons tot de risicogroep: personen van 55 jaar en ouder. Onderzoek wijst uit dat 1 op de 4 vrouwen aan osteoporose lijdt. Bij de mannen is dat 1 op de 12.
       
  a. Bereken de kans dat bij een controle onder 100 aselect gekozen vrouwen bij precies 30 van hen osteoporose wordt geconstateerd.
     

0,0458
  b. Bereken de kans dat bij een controle onder vijf mannen en vijf vrouwen in totaal bij 2 van hen osteoporose wordt aangetroffen.
     

0,2997
  c. In 1988 bestond de risicogroep voor 55,6% uit vrouwen. Bereken hoeveel procent van de osteoporosepatiënten uit de risicogroep dan vrouw was.
     

78,98%
       
5. Het Aase-Syndroom is een zeldzame ziekte waar slechts 1 op de 100000 mensen aan lijden.
Bij een patiënt wordt tijdens een onderzoek geconstateerd dat zij aan dit syndroom lijdt. De betrouwbaarheid van de gebruikte test is echter 98%. Dat wil zeggen dat de test bij 98% van de lijders aan het syndroom dat inderdaad constateert, maar ook dat bij 2% van de mensen die NIET aan het syndroom lijden toch wordt vastgesteld dat dat wel zo is.
Als deze test zegt dat je het Aase-Syndroom hebt, hoe groot is dan de kans dat dat inderdaad zo is?
     

0,00049
       
6. Als iemand langere tijd last heeft van veel hoesten gepaard met kortademigheid, dan zou het kunnen dat er een tumor in de longen zit. Vooral als de patiënt bloed gaat ophoesten zal een huisarts meestal besluiten een CT-scan te laten maken.  Van de mensen die bloed ophoesten blijkt in praktijk 34% een longtumor te hebben. Nou zijn er twee vormen:  een goedaardige tumor (24% van de tumorgevallen)  en een kwaadaardige tumor (10% van de tumorgevallen).

Zo'n CT-scan is niet 100% betrouwbaar.
  Op de eerste plaats kan de scan niet bepalen van welke soort (goedaardig of kwaadaardig) de tumor is.
Maar ook zegt de scan bij 5% van de patiënten dat er sprake is van een tumor terwijl dat niet zo is.
Verder blijkt  12% van de goedaardige tumoren niet te worden gevonden door de test, en 8% van de kwaadaardige tumoren.
       
  a. Bereken de kans dat bij een patiënt die bloed ophoest de CT-scan een tumor vaststelt.
     

0,3362
  b. Als de CT-scan zegt dat een patiënt geen tumor heeft, hoe groot is dan de kans dat hij tóch een kwaadaardige tumor heeft?
     

0,0121
       
7. Venus Williams  is een tennisster die toernooien over de hele wereld speelt. Bij tennis begint elk punt met een opslag. Als die fout is mag de speelster het nog een tweede keer proberen. Als die weer fout is verliest zij het punt.
Venus slaat van haar eerste opslagen 75% goed, en als zo'n eerste opslag goed is heeft ze kans  80% om het punt te winnen.
Van haar tweede opslagen slaat ze 90% goed, maar daarvan wint ze slechts in 35% van de gevallen het punt.
       
  a. Hoe groot is de kans dat Venus een punt wint als ze opslaat?
     

0,67875
  b. Als Venus een punt heeft gewonnen, hoe groot is dan de kans dat daarbij haar eerste opslag goed was?
     

0,4669
       
8.

In de Postcode Loterijshow  "Eén tegen Honderd" moet één kandidaat een aantal vragen beantwoorden. Zo lang hij ze goed heeft gaat hij door. In het begin zijn er honderd tegenspelers in het publiek die de vragen ook moeten beantwoorden. Ook iedereen in het publiek die de vragen goed heeft gaat door.
De kandidaat is winnaar als hij als enige nog over is gebleven.

De kandidaat krijgt steeds eerst het onderwerp van de vraag te zien en mag dan kiezen uit een "moeilijke vraag" of een "makkelijke vraag".

Het blijkt dat in 80% van de gevallen wordt gekozen voor een makkelijke vraag.
Van de moeilijke vragen wordt namelijk slechts 15% goed beantwoord en van de makkelijke vragen 75%. Deze kansen gelden zowel voor de kandidaten als voor de tegenspelers.
       
  a. Een kandidaat kiest als eerste vraag een "makkelijke vraag"
Hoe groot is de kans dat minstens 12 tegenspelers deze vraag fout beantwoorden?
     

0,9996
  b. Op een gegeven moment blijkt dat de kandidaat de vraag fout heeft beantwoord.
Hoe groot is de kans dat het een makkelijke vraag was?
     

0,5405
  c. Een andere kandidaat heeft op een bepaald moment nog maar 3 tegenspelers over.
Hij besluit verder alleen nog maar voor makkelijke vragen te kiezen.
Hoe groot is de kans dat hij na precies 2 makkelijke vragen winnaar is geworden?
     

0,0383
       
9. Spamfilters zijn programma’s die binnenkomende emailberichten bekijken en proberen in te schatten of het spamberichten betreft. Zo’n spamfilter moet eerst getraind worden. Het krijgt als voorbereiding bijvoorbeeld duizend spamberichten  te analyseren en ook duizend normale emailberichten.
Stel dat het woordje “seks” voorkomt in 960 van de 1000 spamberichten en in 80 van de 1000 niet-spamberichten.
Verder is gemeten dat 68% van alle emailberichten tegenwoordig spamberichten zijn
       
  a. Hoe groot is dan de kans dat het woordje “seks”  in een willekeurig emailbericht voorkomt?
     

0,6784
  b. Ik zie een willekeurig emailbericht met het woordje “seks”erin. Hoe groot is de kans dat het een spambericht is?
     

0,9623
       
10. Dankzij vele wetenschappelijke rapporten is intussen bewezen dat vierdeklassers VWO erg vaak spieken bij hun schoolonderzoeken

Vooral de jongens, die zijn het ergst…..
Uit landelijke onderzoeken blijkt dat van de jongens uit de vierde klas VWO  66 % spiekt, en van de meisjes uit de vierde klas VWO 42%.

In Nederland is in 2011 van de vierdeklassers VWO 55% jongen en 45% meisje

     
  a. Hoe groot is de kans dat een willekeurige VWO-4 leerling spiekt?
     

0,5520
  b. Een willekeurige 4-VWO leerling geeft toe gespiekt te hebben. Hoe groot is de kans dat het een meisje is?
     

0,3424
 

Op een school bestaat de vierde klas in 2011 uit  10 jongens en 8 meisjes.
Ik ga willekeurig 2 van hen met een verborgen camera volgen. Dat kunnen dus 2 meisjes zijn, of  2 jongens of een jongen en een meisje. Ga ervan uit dat ik ze zeker betrap als ze spieken
       
  c. Hoe groot is de kans dat ik beiden betrap op spieken?
     

0,3053
       
11.

Van alle Nederlanders is 58% blond, 34% is bruin en 8% heeft rood haar. De haarkleur blijkt nogal een grote invloed op het IQ van een persoon te hebben.
Van de blonde mensen heeft 29% een IQ van minstens 100 (en dus 61% lager dan 100). Van de mensen met bruin haar heeft 88% een IQ van minstens 100, en van de mensen met rood haar is dat  41%
       
  a. Hoe groot is de kans dat een willekeurige Nederlander een IQ van minstens 100 heeft?
     

0,5002
  b. Ik kom een Nederlander tegen die zegt dat zij een IQ van minstens 100 heeft.
Hoe groot is de kans dat zij blond is?
     

0,3363
12. Bereken de kans dat een jongen uit een gezin van n kinderen precies één zuster heeft.
       
13. Van een gezin van drie kinderen weten we dat er minder dan 2 jongens zijn.
Hoe groot is de kans dat het drie meisjes zijn?
     

0,25
14. Van een groot aantal leerlingen in een onderzoek blijkt 40% een VMBO-diploma te hebben, 50%  een HAVO-diploma,  en  10% een VWO-diploma.
Een jaar na het krijgen van hun diploma blijkt 10% van de VMBO-gediplomeerden nog werkeloos te zijn, 5% van de HAVO-gediplomeerden, en 2% van de VWO-gediplomeerden.

Een willekeurige deelnemer uit het onderzoek blijkt werkeloos te zijn.
Hoe groot is de kans dat hij/zij een HAVO-diploma heeft?
     

0,3731
15. In een bepaald gebied is het 40% van de dagen zonnig, en 60% regenachtig.
Een barometerfabrikant test de voorspellingen van zijn barometers en ontdekt dat de meters niet altijd de goede voorspelling doen.  In 10% van de regenachtige dagen voorspellen de meters toch "zonnig", en in 30% van de zonnige dagen voorspelden de meters toch  "regenachtig".
       
  a. Als een meter voor morgen "regenachtig" voorspelt, hoe groot is dan de kans dat het inderdaad regenachtig zal zijn?
     

0,8182
  b. Hoe groot is de kans dat op een willekeurige dag de voorspelling van een meter klopt?
     

0,82
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)