© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Twee parabolen p1 en p2 hebben een gemeenschappelijk brandpunt F.
De top van p2 ligt op de richtlijn van p1.
De richtlijnen r1 en r2 van de parabolen zijn evenwijdig.

Zie de figuur hiernaast.

Een lijn door F evenwijdig aan de richtlijnen snijdt de parabolen in P en Q.
Toon aan dat P het midden van FQ is.
 

       
2. Twee parabolen met een gemeenschappelijk brandpunt F snijden elkaar in P en in Q.
Hun richtlijnen snijden elkaar in S.

Toon aan dat S dan op de lijn PQ ligt.
       
3. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2013.

Gegeven zijn een lijn k en twee punten M en N die aan dezelfde kant van k liggen. Zie de volgende figuur.
       
 

       
 

We zoeken het brandpunt van een parabool die door M en N gaat en waarvan k de richtlijn is.

Een geschikte werkwijze is:
- Teken de loodrechte projecties R en S van achtereenvolgens M en N op k.
- Teken de cirkel met middelpunt M en straal MR en de cirkel met middelpunt N en straal NS.

We nemen aan dat MN < MR + NS . Dan hebben de cirkels twee snijpunten F en G. Zowel F als G is brandpunt van een parabool door M en N met richtlijn k.
Zie onderstaande figuur. In deze figuur zijn ook de bijbehorende parabolen getekend.
       
 

       
  a. Bewijs dat de punten M en N inderdaad liggen op de parabool met brandpunt F  en richtlijn k
       
  Het punt M ligt op een afstand van 2 cm van k. Zie de volgende figuur.
       
 

       
  Rechts van M ligt een punt N waarvoor geldt:
- de afstand van N tot de lijn k is 4 cm, en
- er is precies één parabool die door M en N gaat en waarvan k de richtlijn is.
       
  b. Teken in de figuur hierboven de positie van N. Licht je antwoord toe.
       
4. De normaal (lijn loodrecht erop) op een parabool in P snijdt de as van de parabool in Q.
Toon aan dat altijd geldt dat  PF = QF  (F is uiteraard het brandpunt)
       
5. Gegeven is een cirkel met middelpunt M en straal r en een raaklijn k aan die cirkel in punt R.

Teken de meetkundige plaats van alle punten die gelijke afstand tot de cirkel als tot lijn k hebben.

       
6. examenvraagstuk VWO wiskunde B, 2015

In de  figuur hier onder zijn twee halve lijnen k en l vanuit punt A getekend. De hoek tussen k en l is scherp. Tussen deze halve lijnen ligt een punt F. Ook is de parabool getekend die brandpunt F en richtlijn k heeft. Door F kunnen twee cirkels worden getekend die zowel k als l raken. Een van deze cirkels is getekend.
       
 

       
  Teken in de figuur het middelpunt N van de andere cirkel. Licht je werkwijze toe.
       
7. examenvraagstuk VWO wiskunde B, 2015

Een parabool heeft brandpunt F en richtlijn l. Op de parabool ligt een punt P. Punt P'  is de loodrechte projectie van P op l. Cirkel c heeft middelpunt F en gaat door P. De lijn door F evenwijdig aan PP' snijdt c in punt Q. Lijn m gaat door Q en is evenwijdig met l.
Punt P ligt zo op de parabool dat m de middelloodlijn van lijnstuk PP' is. Zie de figuur.
       
 

       
  Bewijs dat PQ = FP
       
8. Vanuit een voetpunt V van een parabool worden de twee raaklijnen aan die parabool getekend.

Toon aan dat de lijn door die twee raakpunten P en Q ook door het brandpunt F gaat.
       
9. Op parabool p  met richtlijn r  en brandpunt F ligt een punt P.

Er is een tweede parabool q te tekenen die dezelfde richtlijn heeft als p en waarvan P het brandpunt is.

Teken de snijpunten van de parabolen p en q.
Doe dat zonder de parabool q te tekenen.

       
10. Een lijn k snijdt een cirkel met middelpunt M en straal r in de punten A en B.

Teken de meetkundige plaats van de punten die even ver van cirkelboog AB als van lijn k afliggen.

TIP: Gebruik een parabool met brandpunt M waar punt A op ligt, en die richtlijn evenwijdig aan k heeft.

       
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)