|
|||||
| 1. | Noem de toppen van de
parabolen T1 en T2. d(P, r1) = PF (parabooleigenschap) d(Q, r2) = QF (parabooleigenschap) dan is PQ = QF - PF = d(Q, r2) - d(P, r1) = d(Q, r2) - d(Q, r1) = d(r1, r2) FP = d(F, r1) (parabooleigenschap) maar ook d(F, r1) = d(r1, r2) (parabooleigenschap p2) dus FP = d(r1, r2) Dus is PQ = FP |
 |
|||
| 2. | d(P, r1)
= d(P, F) en ook d(P, r2) = d(P, F)
dus is d(P, r1) = d(P, r2)
dus P ligt op de bissectrice van r1 en r2 op dezelfde manier ligt ook Q op de bissectrice van r1 en r2 S ligt (uiteraard) ook op die bissectrice. Dus liggen P, Q en S alle drie op de bissectrice, dus liggen ze op één lijn. opmerking: er zit nog één zwak punt in dit bewijs.... zie jij wat? |
||||
 |
|||||
| 3. | a. | MF =
MR = d(M, k) (beiden op de cirkel) dus
ligt M op een parabool met brandpunt F en richtlijn k NF = NS = d(N, k) (beiden op de cirkel) dus ligt N op een parabool met brandpunt F en richtlijn k. |
|||
| b. | Als er maar één zo'n
parabool is, dan moeten de cirkels zoals die in de figuur bij vraag a) zijn getekend elkaar raken (dan hebben ze maar één
snijpunt) Dan geldt dat MFN een rechte lijn is. Dus is de afstand MN = MF + NF = 2 + 4 = 6 Teken daarom een cirkel met middelpunt M en straal 6. Daar moet N op liggen. Verder ligt N ook op een lijn evenwijdig aan k op afstand 4 van k immers de afstand van N tot k is 4. Dat geeft de volgende tekening: |
||||
|
|
|||||
| 4. |
|
||||
| Hier staat weer de
bekende gelijkbenige driehoek PFV met middelloodlijn PM Omdat de normaal loodrecht op de raaklijn staat is hij evenwijdig aan FV. Dan is ∠FPQ = ∠VFP = groen (Z-hoeken) En ∠PFQ = ∠FPV = twee roden (Z-hoeken want PV en QF zijn evenwijdig) Maar dan zijn de driehoeken PFV en FPQ gelijkvormig (twee gelijke hoeken) Dus ∠PQF is ook groen, en PQF is ook gelijkbenig en PF = QF |
|||||
| 5. | Teken lijn l
op afstand r van k Voor de punten op de groene parabool (richtlijn l, brandpunt M geldt dan dat de afstand tot de cirkel gelijk is aan de afstand tot k Dat geldt bovendien voor de halve lijn van M naar R en verder. |
 |
|||
| 6. | Het middelpunt van de cirkel moet op de
parabool liggen, want heeft gelijke afstanden tot F en k
(beiden de straal van de cirkel) Het middelpunt van de cirkel moet op de bissectrice van hoek A liggen, want heeft gelijke afstanden tot k en l (raaklijnen). Het middelpunt N is dus het snijpunt van de parabool met de bissectrice van hoek A. |
||||
|
|
|||||
| 7. | PF =
PP' (want P ligt op de parabool) PF = FQ (straal cirkel) Dus FQ = PP' ∠FQP = ∠QPP' (Z-hoeken) Dus de driehoeken FQP en P'PQ zijn congruent (ZHZ) Dan is dus P'Q = FP Maar de middelloodlijn m van PP' is de verzameling van alle punten die even ver van P als van P' af liggen, dus ook geldt PQ = P'Q, want Q ligt op die middelloodlijn. Dus is PQ = FP |
||||
|
|
|||||
| 8. | Stel
∠SWP = a en
∠WPS = b dus a + b
= 90 Dan is ∠WVS = b (hoekensom WSP) Dan is ∠WFP = b (FW gelijkbenig) De driehoeken FSV en WSV zijn gelijkvormig (ZZR) Dus ∠VFS = a Dus is ∠VFP = a + b = 90º Maar volgens dezelfde redenering is ∠VFQ aan de andere kant dat ook Beide hoeken 90º betekent dat QFP een rechte lijn is. |
 |
|||
| 9. | Voor de snijpunten S
geldt dat de afstand tot de richtlijn gelijk is aan de afstand tot P,
maar dat is ook gelijk aan de afstand tot F. Dus SF = SP Dan ligt S op de middelloodlijn van PF Snij daarom die middelloodlijn met p. Dat geeft de snijpunten S1 en S2 hiernaast. |
 |
|||
| 10. | Lijn l op
afstand r van lijn k is de richtlijn van de parabool. Zie hiernaast: de parabool is blauw gekleurd. Voor het deel van de parabool tussen AB en k geldt dat de afstand tot de cirkelboog gelijk is aan de afstand tot k. Neem een willekeurig punt P met voetpunt P'. MQ = P'R = r (cirkel) MP = PP' (parabool) Dus RP = PQ |
 |
|||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
