© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
       
1. Als gevolg van een voedselvergiftiging ligt Robert al enkele dagen in het ziekenhuis. Zijn lichaamstemperatuur zal volgens de doktoren het volgende verloop hebben:
 

       
  waarin t de tijd in dagen is, gerekend vanaf het moment dat Robert ziek werd, en T zijn lichaamstemperatuur in °C.
Robert is genezen als zijn temperatuur weer 37°C is
       
  a. Toon met de afgeleide aan dat de lichaamstemperatuur direct na de vergiftiging stijgt.
       
  b. Bereken algebraïsch de maximale temperatuur die wordt bereikt.
       
2.

Gegeven zijn de functies:  f(x) = x/(x2 + 1)  en  g(x) =  1/2x.

De grafiek van g lijkt door de toppen van de grafiek van  f  te gaan

     
  a. Onderzoek algebraïsch of dat inderdaad het geval is
     
  Tussen x = 0 en x = 1 worden een aantal verticale lijnstukken tussen de grafieken van f en g getekend.
Voor de lengte L van zo’n lijnstuk geldt:
 

       
  b. Toon aan dat deze formule juist is  
       
  c. Bereken algebraïsch de maximale waarde van L. Geef je antwoord in twee decimalen
       
3. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 1989.
       
 
  De grafiek van die functie is hieronder getekend.
       
 

       
  a. Bereken de kleinste en de grootste functiewaarde.
       
  b. Los op:  f(x) ≥ 8
       
4. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 1990.
 
 
  In onderstaande figuur is een deel van de grafiek van f getekend.
       
 

       
  a. Bereken het maximum van f(x)
       
  b. Teken het deel van de grafiek van f tussen x = -20 en x = 0. Gebruik hierbij dezelfde schaal als de figuur hierboven.
       
  De raaklijn aan de grafiek van f  in het punt met x-coördinaat 3 snijdt de y-as in A
       
  c. Bereken de y-coördinaat van A.
       
  d. Los op:  f(x) > 3/4
       
  Stel a en b zijn getallen waarvoor geldt:  a • b = 36
       
  e. Bewijs dat  f(a) = f(b)
       
5. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2000.
       
  Voor  p > 0 zijn gegeven de functies:  
 

  Hiernaast is de grafiek van g1 getekend.
     
  a. Onderzoek f1 en teken de grafiek van f1 in de figuur hiernaast. Bepaal hierbij ook de eventuele snijpunten van de grafieken van f1 en g1.
       
  Voor elke p > 0 liggen de toppen van de grafiek van fp zowel op de verticale asymptoten van de grafiek van gp als op de kromme  y = 1/x.
       
  b. Bewijs dit.
       
6. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2004.

Een schip maakt een tocht over een rivier van P naar Q en terug. De afstand tussen P en Q is 42 km. Van P naar Q vaart het schip tegen de stroom in (stroomopwaarts); op de terugreis vaart het met de stroom  mee (stroomafwaarts).
De snelheid van het schip ten opzichte van de wal hangt af van de stroomsnelheid van het water en van de snelheid v van het schip ten opzichte van het water; hierbij is v in km/u. De stroomsnelheid van het water is 8 km/u. Zie de figuur hieronder, waarin de tocht van P naar Q is weergegeven.
       
 

       
  Veronderstel v = 20.
       
  a. Toon aan dat de tocht van P naar Q en terug dan 5 uur duurt.
       
  Het brandstofverbruik B op het deel van de tocht stroomopwaarts hangt af van de vaartijd T (in uren) en van de snelheid v (in km/u) van het schip ten opzichte van het water.
Er geldt B = T • v3.
Voor het deel van de tocht stroomopwaarts geldt:
 

       
  b. Toon deze laatste formule aan.
       
  c. Bereken algebraïsch bij welke waarde van v het brandstofverbruik minimaal is voor het deel van de tocht stroomopwaarts.
     

v = 12
   
7. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2012.
       
  De firma PharmaCie brengt een nieuw medicijn tegen hooikoorts op de markt. Het nieuwe medicijn van PharmaCie wordt in pilvorm verkocht.
Als een patiënt klachten krijgt, neemt hij een pil. De werkzame stof komt dan via de maag en de darm in de bloedbaan terecht. De hoeveelheid werkzame stof in de bloedbaan stijgt eerst en neemt daarna af omdat de stof door het lichaam wordt afgebroken. De concentratie van de werkzame stof in de bloedbaan noemen we C. In de figuur hiernaast zie je een schets van de grafiek van C.
  Een onderzoeker van PharmaCie stelt de volgende formule op die dit verloop redelijk benadert:
 
  Hierin is C1 de concentratie werkzame stof in mg/cm3 en t de tijd in uren na het innemen van de pil.
       
  a. Bereken met behulp van de afgeleide van C1 na hoeveel minuten, gerekend vanaf het moment dat de pil is ingenomen, de concentratie werkzame stof maximaal is.
     

33,7 min.
 

Een andere onderzoeker stelt een geheel andere formule op die er als volgt uit ziet:  
C2(t) = 0,13(1,92-t - 1,92-6t)
 Hierin is C2 de concentratie werkzame stof in mg/cm3 en t weer de tijd in uren na het innemen van de pil.

Hoewel de grafieken van C1 en C2 beide erg op de grafiek in bovenstaande figuur lijken, verschillen de momenten waarop het maximum bereikt wordt wel van elkaar.

Voor de afgeleide van C2 geldt bij benadering:  C'2(t) = 0,0848(-1,92-t + 6 • 1.92-6t)
       
  b. Onderzoek met behulp van de afgeleide C'2 of het maximum van C2 eerder of later dan het maximum van C1 optreedt.
       
8. examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 1994.
       
 
  Toon aan dat de lijn y = 41/2x - 3 de grafiek van f zowel snijdt als raakt.
       
9. Examenvraagstuk VWO, wiskunde B, 2007.

Een podium is 6 meter diep. Midden boven het podium hangt een balk met tl-buizen. De verlichtingssterkte op het podium is het kleinst aan de rand, bijvoorbeeld in punt P. De afstand van P tot de balk is r meter, de hoogte van de balk boven het podium is x meter en de hoek die het kortste verbindingslijnstuk van de balk en punt P met het podium maakt is a radialen. Zie de volgende figuur.
       
 

       
  De verlichtingssterkte op het podium in punt P noemen we V (in lux). V is omgekeerd evenredig met r en evenredig met sina. Dus  V = c • 1/r • sina,  waarbij  de evenredigheidsconstante c afhangt van het lichtvermogen van de tl-buizen.
Voor deze balk met tl-buizen geldt: c = 650 (lux•m)
Er geldt: 
 

       
  a. Toon aan dat deze formule juist is.  
       
  De balk met tl-buizen kan omhoog gehesen worden: de hoogte kan variëren van 2,0 tot 5,0 meter.

De verlichtingssterkte op het podium in punt P moet minimaal 100 lux zijn.
       
  b. Bereken langs algebraïsche weg op welke hoogtes de balk mag hangen.
     

  2 ≤ x ≤ 4,5 

  c. Er is een hoogte van de balk waarbij V maximaal is. Bereken deze hoogte langs algebraïsche weg.
     

  3 m 

       
10. Gegeven is de functie fp door:
   

       
  a. Voor welke p ligt het buigpunt van de grafiek van f op de lijn   y = x ?
     

  1280,25 

  b. De grafiek van  g(x) = a/x raakt aan de grafiek van f4(x).
Bereken a en de coördinaten van het raakpunt.
     

  a = 2, x= 1 

  c. T is het maximum van fp(x)
Voor welke p is de afstand van T tot de oorsprong minimaal?
Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
     

  2,62 

       
11..
       
  De lijn met vergelijking  y = p(x - 3)  heeft 3 snijpunten met de grafiek van f. 
Bereken voor welke waarden van p dat het geval is.
     

  0 < p < 4 

       
12. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2017-I
       
  Veel moderne auto’s tonen op het bedieningspaneel een schatting van het aantal kilometers dat je nog kunt rijden zonder te tanken.
Dit noem je de actieradius.

Een automobilist zag bijvoorbeeld de informatie van de figuur hiernaast op zijn bedieningspaneel. Hier is ‘Tot. afstand’ de totale afstand die de auto tot dat moment heeft gereden.

  De actieradius wordt berekend op basis van:
- de nog aanwezige hoeveelheid benzine in de tank;
- het rijgedrag tot op dat moment.		  
       
  Toen dezelfde automobilist wat zuiniger ging rijden, kreeg hij de informatie van de figuur hiernaast te zien.
Zoals je ziet, heeft hij 20 km gereden. Toch is zijn actieradius niet met 20 km afgenomen, maar slechts met 17 km. Hij is dus inderdaad iets zuiniger gaan rijden en hij heeft zodoende 3 kilometer ‘gewonnen’.

       
  De automobilist neemt zich voor om op zekere dag zijn benzinetank volledig te vullen en dan zo zuinig mogelijk te gaan rijden. De afstand in km die hij rijdt vanaf het moment dat hij getankt heeft, noemen we x.
De automobilist houdt de eerste 200 km bij wat er gebeurt met de actieradius A (in km) op zijn bedieningspaneel. Zie de tabel.
 
x 0 50 100 150 200
A(x) 625 582 539 496 452
       
  Tussen x = 0 en x = 100 neemt de actieradius met minder dan 100 km af.
De automobilist ‘wint’ dus kilometers op dit traject.
       
  a. Bereken hoeveel kilometer hij op dit traject wint door zuinig te rijden.
     

  14 km 

  De automobilist maakt een wiskundig model bij de tabel. Hij stelt de volgende formule op:
       
 

       
 

Op het moment dat hij begint te rijden met de volle tank, dus als x = 0 , is de actieradius veel kleiner dan de afstand die hij in werkelijkheid zal rijden met deze tankinhoud.

Op het moment dat de tank leeg is, is de actieradius gelijk aan 0.
       
  b. Bereken hoeveel km de automobilist volgens het model met een volle tank in werkelijkheid méér kan rijden dan het bedieningspaneel bij vertrek aangaf.
     

  69,44 km 

  Dat de automobilist inderdaad kilometers wint, kun je ook nagaan door het verloop te bekijken van de som S(x) van het aantal werkelijk gereden kilometers en de actieradius. Als de automobilist kilometers wint, zal S(x) namelijk stijgend zijn.
De formule voor S(x) is:   S(x) = x + A(x)
       
  c. Bepaal de afgeleide van S(x) en laat met behulp van een schets van de afgeleide zien dat de automobilist op het traject van x = 0 tot x = 500 voortdurend kilometers wint.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)