1. examenvraagstuk VWO, 1984.
       
  Met domein R+ ∪ {0} is gegeven de functie  f:  x →  x2 - 4x√x + 4x
  De raaklijn in O aan de grafiek van f wordt over een afstand a naar rechts geschoven (a > 0)
De lijn die je dan krijgt is wéér raaklijn aan de grafiek van f.
Bereken a.
       
2. Examenvraagstuk HAVO, Wiskunde B, 2001

Een wiskundige heeft met behulp van een functie een mal voor een vaas geproduceerd.
Zie figuur 2.
In figuur 3 is in een assenstelsel een verticale dwarsdoorsnede van de binnenkant van de vaas getekend. Hierbij is de dwarsdoorsnede over een hoek van 90° gedraaid ten opzichte van figuur 2. De binnenkant van de vaas is symmetrisch ten opzichte van de x-as.
De lijnstukken AB en CD zijn middellijnen van de cirkelvormige onder- en bovenkant van de vaas.
       
 

       
  Het gedeelte AC van de doorsnede in figuur 3 is de grafiek van een functie f met functievoorschrift:
f(x) = 0,0028x3 - 0,12x2 + 1,3x + 5
met x en f(x) in centimeter
In de vaas van figuur 2 wordt water gegoten tot de waterspiegel 20 cm hoog staat. Een bloem met een rechte stengel wordt zo in de vaas geplaatst dat de stengel de binnenrand raakt in punt C. De dikte van de stengel mag hier worden verwaarloosd.

Onderzoek of de voet van de stengel dan onder water staat.
       
3. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2003
       
  Op het interval [0,1] is de functie h gegeven door:
h(x) = 1 - x10.
De grafiek van h snijdt de x-as in A(1,0) en de y-as in C(0,1).
De raaklijn aan de grafiek van h in het punt A snijdt de lijn y = 1 in het punt S. Zie de figuur hiernaast.

Bereken de coördinaten van S.

     

(0.9 , 1)
       
4. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2009
       
  De functie f is gegeven door f (x) = √(4x − 5).
De lijn k heeft als vergelijking y = 4x + b.
Voor een bepaalde waarde van b raakt lijn k de grafiek van f. In  de volgende figuur zijn deze lijn k en de grafiek van f te zien.
 

       
  Bereken met behulp van differentiëren deze waarde van b
     

4,75
       
5. Twee raaklijnen aan de parabool  y = 1 - x2  snijden elkaar in op y-as in punt P.

Driehoek PQR is een gelijkzijdige driehoek.

Bereken de coördinaten van P.

     

(0, 1.5)
       
6. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2003

Gegeven zijn de functies:

 

       
  De raaklijnen aan de grafieken van f en g met richtingscoëfficiënt 1 en richtingscoëfficiënt -1 sluiten een vierkant in. Zie de figuur hieronder.
       
 

       
  Bereken de lengte van de diagonaal van dit vierkant.
     

  2 

       
7. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2005
       
  Voor n = 1, 2, 3, ...  bekijken we het vierkant OQnPnRn waarvan twee zijden langs de coördinaatassen vallen en waarvan het punt Pn(n, n) een hoekpunt is.
De grafiek van de functie  y = 1/nx2 gaat door O en door Pn. In de figuur hiernaast is dat voor n = 1,  n = 2, n = 3 en n = 4 getekend.

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van y = 1/nx2 in het punt Pn is onafhankelijk van n

Toon dit aan.

       
8. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2006
       
  Van een vierkant OABC met zijde 4 ligt A op de positieve x-as en C op de positieve y-as.
Verder is gegeven de functie  f(x) = 1/x

De grafiek van f  snijdt de zijde AB van het vierkant in het punt P en de zijde BC in het punt Q. Zie de figuur hiernaast.
De raaklijn aan de grafiek van f in het punt met x-coördinaat 2 gaat door het punt A.
     
  a. Toon dit aan.
     
  Voor de zijde van het vierkant kan ook een andere waarde dan 4 gekozen worden. Noem de zijde a. Dan is het mogelijk a zodanig te kiezen dat lijn AC raakt aan de grafiek van f
       
  b. Bereken deze waarde van a exact.
     

  a = 2 

       
9. Examenvraagstuk HAVO, Wiskunde B, 2011.
       
  Niet iedereen in een land heeft een even hoog inkomen. Om inzicht te krijgen inde verdeling van de inkomens in een land worden lorenzcurves gebruikt.
Bij een lorenzcurve wordt de bevolking gerangschikt van lage inkomens naar hoge inkomens.
In de figuur staat een voorbeeld van de lorenzcurve van een land. Deze curve is de grafiek van I als functie van B. Hierin is I het percentage van het totale inkomen van dit land en B het percentage van de bevolking, waarbij de bevolking van lage inkomens naar hoge inkomens is
gerangschikt

Uit de figuur valt bijvoorbeeld af te lezen dat de minst verdienende 30% van de bevolking van dit land tezamen bijna 10% van het totale inkomen van dit land heeft.

       
  De formule die bij de lorenzcurve in de figuur hoort, is I = 0,25B + 0,000075B3
waarbij 0  ≤  I  ≤ 100 en 0  ≤  B  ≤ 100 .

Als in dit land iedereen een even hoog inkomen zou hebben, dan zou de lorenzcurve het lijnstuk zijn met beginpunt (0, 0) en eindpunt (100, 100). Het punt op de lorenzcurve waar de raaklijn aan de curve evenwijdig is aan het lijnstuk met beginpunt (0, 0) en eindpunt (100, 100), is de grens tussen een bovengemiddeld en een benedengemiddeld inkomen.
       
  a. Bereken met behulp van differentiëren hoeveel procent van de bevolking van dit land een bovengemiddeld inkomen heeft.
     

  42,46% 

  In het algemeen is de formule die bij een Lorenzcurve hoort van de vorm I = a • B +1001− p •(1− a) • Bp .
Hierbij is 0 ≤ a ≤ 1 en p ≥ 1.

De grafiek bij deze formule gaat voor alle waarden van a en p door de punten (0, 0)  en (100, 100).
       
  b. Toon dit aan  
       
  c. Kies p = 3 . Bij deze keuze is er een waarde van a waarvoor de formule een lorenzcurve geeft van een land waarin de minst verdienende 50% van de bevolking tezamen 17% van het totale inkomen van het land heeft. Bereken deze waarde van a.
     

  0,12 

10. Examenvraagstuk HAVO, Wiskunde B, 2013.

 
  De functie f is gegeven door f (x) = -3 + √(2x + 6).  De grafiek van f snijdt de x-as in het punt A(11/2, 0). Verder zijn gegeven de punten  B(3, 0) en C(3, 3). Zie de figuur hiernaast.

De raaklijn in A aan de grafiek van f snijdt de lijn BC in het punt S.

Toon algebraïsch aan dat S het midden van BC is.

       
11. Van een functie f is bekend dat  f(2) = 8.
De grafiek van de afgeleide functie f ' staat hiernaast.

     
  a. Geef een schatting voor f(2,03)
     
  b. Is je schatting te hoog of te laag?  Leg uit!
       
12. Bekijk de grafieken van  y = -2 - x2  en  y = 2 + x2
Er zijn twee raaklijnen te vinden die aan beide grafieken raken.

Zie de figuur hiernaast.

Stel dat de positieve x-coördinaat van een raakpunt gelijk is aan  p
Dan is de helling van de lijn tussen de raakpunten gelijk aan
(2 + p²)/p

     
  a. Toon dat aan
     
  b. Bereken de coördinaten van de raakpunten.
       
13. examenvraagstuk VWO, wiskunde B, 1998

Gegeven is de functie  f(x) = 2/x

Punt P (p, q) is een punt van de grafiek van f

Toon aan dat de lijn door de punten  (2p, 0) en (0, 2q) de grafiek van  f  in P raakt.
       
14. examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2016-I
       
  De functie f is gegeven door    f (x) = 12/(x - 3) + 4.
Lijn l raakt in de oorsprong aan de grafiek van f .

Op de grafiek van f  ligt punt B met x-coördinaat 2. Punt A ligt op de y-as en heeft dezelfde y-coördinaat als B. Punt C ligt op de x-as en heeft dezelfde x-coördinaat als B.

Lijn l snijdt zijde BC van rechthoek OABC in punt D.

Lijn l verdeelt rechthoek OABC in twee delen: driehoek ODC en trapezium OABD.

Bereken exact hoeveel keer zo groot de oppervlakte van trapezium OABD is in vergelijking met de oppervlakte van driehoek ODC.

     

 5 keer
15. examenvraagstuk VWO wiskunde B, 2016-I
       
 

Gegeven zijn de twee parabolen met vergelijkingen
 y = x2 + 3 en y = −x2 −1.

Er zijn twee lijnen die aan beide parabolen raken. Deze twee raaklijnen snijden elkaar in het punt dat midden tussen de toppen van de beide parabolen ligt. Zie de figuur.

Stel met behulp van exacte berekeningen van beide raaklijnen een vergelijking op.

       
16. Examenvraagstuk  VWO Wiskunde B, 2016-II
       
  Voor elke waarde van p is de functie fp  gegeven door:   fp (x) = (x - p)2 + 2p
 We bekijken de functies f0 en fp (met p ≠ 0 ).

Verder is gegeven de lijn k met vergelijking y = 2x −1.
Voor elke waarde van p raakt de lijn k aan de grafiek van fp in het punt  met coördinaten (p + 1; 2p + 1).
       
  a. Toon dat aan.  
       
 

De lijn k raakt de grafiek van f0 in Q en de grafiek van fp in Rp .
De grafieken van f0 en fp snijden elkaar in Sp . Zie de volgende figuur.
       
 

       
       
  b. Toon aan dat de x-coördinaat van Sp het gemiddelde is van de x-coördinaten van Q en Rp .
       
17. examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2018-I

De functie f is gegeven door:  f(x) = 1/(2x - 3) - x - 1
De lijn k raakt de grafiek van f in het punt A(1, -3) . Zie de figuur.
       
 

       
  a. Bewijs dat lijn k door de oorsprong gaat.  
       
  De lijn l met vergelijking  y = -11/9 • x  raakt de rechtertak van de grafiek van f in het punt B. Zie onderstaande figuur.
       
 

       
  b. Bewijs dat lijn l snijdt de linkertak van de grafiek van f niet snijdt.
       
18. examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2018-II

De functie f  is gegeven door:  f(x) = 3/(16x4)
Op de grafiek van f  ligt het punt A(1, 3/16)
De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt A. Lijn l snijdt de y-as in punt B. Zie de figuur.
       
 

       
  Bereken exact de y-coördinaat van B.
     

 15/16
19. examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2019-I
       
 

De functie f  is gegeven door   f(x) = -3 + 3√x .
Het punt A(4, 3) ligt op de grafiek van f.
Verder is de lijn l met vergelijking  y = 3/4 • x gegeven.
Bewijs dat lijn l de grafiek van f  raakt in A.
       
20. examenvraagstuk VWO wiskunde B, 2019-I
       
 

Voor p ≥ 1 is de functie fp gegeven door:    fp (x) = p + √(x - p)

In onderstaande  figuur is voor enkele waarden van p de grafiek van fp weergegeven en ook lijn k
met vergelijking y = x + 1/4
       
 

       
  Lijn k raakt de grafiek van fp voor elke waarde van p ≥ 1.
       
  a. Bewijs dit.  
       
 

Voor p ≥ 1 heeft de grafiek van fp een randpunt, ook wel beginpunt genoemd. De randpunten van de grafieken in de figuur zijn met een stip aangegeven.

Er geldt voor elke p ≥ 1: het randpunt van de grafiek van fp  ligt op de grafiek van fp - 1 .
       
  b. Bewijs dat inderdaad voor p ≥ 1 geldt: het randpunt van de grafiek van fp ligt op de grafiek van fp - 1 .
       
21. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2022-II

De functie f wordt gegeven door f(x) = -2 + √(8 + x).
Het punt A is het snijpunt van de grafiek van f met de x-as.
De lijn k raakt de grafiek van f  in het punt A. Zie de volgende figuur.
       
 

       
  Een vergelijking van k is  y = 1/4x + 1.
       
  a. Bewijs dit.  
       
  Het punt B is het randpunt van de grafiek van f.
Lijn l is de lijn door B en de oorsprong O. Zie de volgende figuur.
       
 

       
  Lijnen k en l zijn evenwijdig.
       
  b. Bewijs dit.
       
22. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2022-I
       
  De functie f is gegeven door  f(x) = x2 - 2x√x + x  met x ≥ 0 .
In de figuur is de grafiek van f met haar raaklijn k in de oorsprong weergegeven.

Er is een waarde van a, met a ≠ 0, waarbij een verschuiving van de raaklijn k van  a  naar rechts
weer een raaklijn aan de grafiek van f geeft.

Bereken exact deze waarde van a.

     

 27/16