© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2004.

In de akkerbouw is het normaal dat een boer op zijn grond niet elk jaar hetzelfde gewas verbouwt. Om te voorkomen dat ziekteverwekkers in de bodem teveel invloed krijgen, is het beter in de loop van de jaren verschillende gewassen te verbouwen.

Het bedrijf Zaanstra heeft 36 ha akkerland. Op 12 ha ervan worden aardappelen geteeld, op 12 ha suikerbieten en op de overige 12 ha granen. Een jaar later wordt er op de drie stukken land gewisseld van gewas en een jaar later nog een keer. Zo wordt elk gewas eens per drie jaar op elk stuk grond verbouwd.
Per jaar kost het bewerken van één ha aardappelen aan menskracht 19 werkdagen. Voor suikerbieten is dat 20 werkdagen en voor granen 24 werkdagen.

Bij het bedrijf overweegt men nog een gewas te gaan telen en het akkerland dus te verdelen over vier gewassen, elk 9 ha. Dan krijgen ziekteverwekkers nog minder kans en dat verhoogt de kwaliteit van de oogst.
Het bedrijf stelt als voorwaarde dat het totale aantal werkdagen per jaar niet hoger mag worden. Dat betekent dat er voor zo'n vierde gewas ten hoogste 189 werkdagen per jaar beschikbaar zijn.
       
  a. Laat zien dat het getal 189 juist is.  
       
  Voor dit vierde gewas heeft het bedrijf de keuze uit verschillende plantensoorten, waarvan de zaden veel bruikbare oliën en vetten bevatten. In de volgende tabel staan enkele gegevens over deze plantensoorten.
       
 
  akkermoesbloem komkommmerkruid teunisbloem
werkdagen (per ha) 16 22 24
oogst in kg (per ha) 1000 800 800
opbrengst (per kg) € 3,00 € 4,00 € 4,50
       
  Voor het bewaren van de oogst van deze gewassen beschikt het bedrijf over een koelruimte waar men ten hoogste 8400 kg zaden kan opslaan.

We kunnen de conclusie trekken dat het voor Zaanstra niet mogelijk is de 9 ha helemaal te gebruiken voor de teelt van slechts één van de drie plantensoorten akkermoesbloem, komkommerkruid of teunisbloem.
       
  b. Toon dit aan.
       
  We willen nagaan welke verdeling van de beschikbare 9 ha grond over de drie plantensoorten de grootst mogelijke opbrengst oplevert. Het aantal ha dat wordt gebruikt voor akkermoesbloem geven we aan met x, dat voor komkommerkruid met y en dat voor teunisbloem dus met 9 - x - y.
Naast de voorwaarden  x ≥ 0 en y ≥ 0 gelden voor mogelijke oplossingen ook de voorwaarden:
I:     x + y ≤ 9
II:    x ≤ 6
III:   8x + 2y ≥ 27
       
  c. Toon aan dat de voorwaarden II en III volgen uit bovenstaande gegevens.
       
  d. Onderzoek bij welke verdeling van de grond over de drie plantensoorten de jaarlijkse opbrengst voor Zaanstra zo groot mogelijk is.
       
2. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2007.

Een leerfabriek maakt 2 typen leren koffers: de ‘traveller’ en de ‘mondial’. Het maken van de traveller kost 2 manuren en het maken van de mondial 3 manuren. Voor de fabricage van deze koffers kan maximaal 616 manuren per week ingezet worden. Voor elk van beide koffers is 1,5 m2 leer nodig. Wekelijks is hiervoor in totaal 387 m2 leer beschikbaar. Het aantal travellers dat per week geproduceerd wordt, noemen we t. Het aantal mondials dat per week geproduceerd wordt, noemen we m. Naast de beperkende voorwaarden t ≥ 0, m ≥ 0 met t en m geheel, zijn er nog twee beperkende voorwaarden.
       
  a. Leid uit de gegevens deze twee voorwaarden af.
       
  In de figuur hieronder zijn de grenslijnen bij deze twee beperkende voorwaarden getekend. De leerfabriek maakt op de traveller € 44,- winst en op de mondial € 56,-. Voor de wekelijkse winst W geldt dan: W = 44t + 56m.
       
 

       
  b. Onderzoek met behulp van de uitwerkbijlage bij welke aantallen van de twee typen koffers de wekelijkse winst maximaal is en bereken deze winst.
     

158 + 100 koffers
12552 euro
  In de praktijk blijkt dat er twee keer zoveel travellers als mondials worden verkocht. Bij de leerfabriek is men van plan daar op in te spelen. Dat betekent dat er elke week twee keer zoveel travellers als mondials geproduceerd zullen worden. Maar dit heeft gevolgen voor de wekelijkse winst.
       
  c. Onderzoek met behulp van de figuur hierboven  hoe groot de maximale winst in dat geval zal zijn.
     

12384 euro
       
3. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2008.

Tennisclub Racket wil een aantal trainingsballen van het type Silver en Yellow kopen bij de fabrikant. Daarvoor heeft Racket wel een aantal voorwaarden geformuleerd:

− het aantal Silver-ballen moet ten minste gelijk zijn aan 200;
− het aantal Yellow-ballen moet ten minste gelijk zijn aan 200;
− in totaal wil Racket ten minste 600 ballen kopen;
− het aantal Silver-ballen mag ten hoogste gelijk zijn aan het dubbele van het aantal Yellow-ballen.

Als we het aantal Silver-ballen aangeven met x en het aantal Yellow-ballen met y, kunnen we in een xy-assenstelsel het toegestane gebied aangeven dat door deze voorwaarden wordt vastgelegd.

Hieronder zie je drie tekeningen. Daarvan geeft tekening A het juiste gebied aan.
       

       
  a. Leg uit waarom tekeningen B en C niet het toegestane gebied aangeven.
       
  De tennisballenfabrikant heeft een aanbieding voor Racket. De Silver-ballen kosten 1 euro per stuk. De Yellow-ballen kosten 1,20 euro per stuk, maar bij een afname van ten minste 300 stuks kosten de Yellow-ballen 1,10 euro per stuk. Racket wil, uitgaande van de eerdergenoemde voorwaarden en de bovenstaande prijzen, een bestelling bij de fabrikant plaatsen met zo laag mogelijke kosten.
       
  b. Onderzoek met behulp van tekening A welke bestelling Racket het beste kan doen.
     

300 + 300
       
4. In een fabriek worden twee soorten tennisrackets gemaakt:  rackets met een houten frame en rackets met een metalen frame. De winst op een houten racket is  €55,- en de winst op een metalen racket is €20,-
In de fabriek staan een aantal machines. Hierop kan men per dag 150 metalen rackets maken of 30 houten rackets. In de fabriek werken 20 mensen . Met het maken van 2 houten rackets is een medewerker een hele dag bezig, terwijl hij per dag 5 metalen rackets kan maken.

Stel dat men ervoor kiest om m metalen rackets en h houten rackets op een dag te maken, en dat men graag zoveel mogelijk winst wil maken.
       
  a. Stel beperkende voorwaarden en een doelstellingsfunctie op.
       
  b. Teken het toelaatbare gebied, en bereken hoeveel rackets men van elke soort op een dag moet maken.
     

20 en 50
  c. Op een bepaalde dag zijn er een aantal medewerkers afwezig. Voor die dag is de winst maximaal als de verhouding tussen het aantal metalen rackets en het aantal houten rackets gelijk is aan 5 : 14.
Bereken hoeveel medewerkers afwezig waren.
     

vier
       
5. In een meubelwerkplaats worden driezitsbanken en fauteuils gemaakt.  De productie daarvan vindt plaats op twee afdelingen: de constructieafdeling en de afwerkingsafdeling. De standaardwerkweek is 5 dagen van 8 uur.

Het kost een constructiemedewerker één uur om het frame van een bank of een fauteuil te maken. Er werkt een fulltimer en een parttimer (die halve dagen werkt)

Een stoffeerder van de afwerkingsafdeling heeft één uur voor een bank nodig en twee uur voor een fauteuil. Er werken 3 fulltime stoffeerders, maar eentje daarvan heeft de volgende week 2,5 snipperdag opgenomen.

De ge[produceerde meubelen worden in een klein magazijn opgeslagen, waarin maximaal 120 fauteuils passen. Een driezitsbank neemt de plaats van 3 fauteuils in. In het begin van de week is het magazijn nog helemaal leeg. De winst op een bank is €600 en van een fauteuil €450. Neem aan dat de afdelingen niet op elkaar hoeven te wachten.
       
  a. Stel de beperkende voorwaarden voor de komende week op en teken het toelaatbare gebied.
       
  b. Hoeveel banken en hoeveel fauteuils zal men de komende week gaan maken als de winst zo groot mogelijk moet zijn.
     

30 en 30
  c. Bij welke variatie in de winst op een bank zal men gaan besluiten een ander productieschema te volgen?
     

450-1350
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)