Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven

Beredeneer met de volgende formules of de grafieken stijgen of dalen, en of de grafieken een grenswaarde hebben.

N(t) = 128 - 4 · 1,2^t

Examenopgave VWO A, 2015-I

De Amerikaan Charles Richter gebruikte seismogrammen om de magnitude (kracht) van een beving te kunnen bepalen. In de figuur zie je een voorbeeld van een seismogram. In dit seismogram zie je de gemeten trillingen van de aarde als uitwijkingen in mm. De grootste uitwijking in het seismogram heet de maximale amplitude.

Om de magnitude van een beving te bepalen, gebruikt men de formule van Richter. Hieronder staat een vereenvoudigde versie daarvan:

M = log(A) + 3

In deze formule is M de magnitude en A de maximale amplitude in mm.

Uit de formule blijkt, dat als de maximale amplitude A tien keer zo groot wordt, de magnitude met 1 eenheid toeneemt.

Toon met behulp van de rekenregels voor logaritmen aan dat log(10A) + 3 altijd 1 groter is dan log(A) + 3.

De magnitude neemt dus met 1 eenheid toe als de maximale amplitude 10 keer zo groot wordt. Dus de grafiek van M is afnemend stijgend. Dit kun je ook zien aan de afgeleide van M.

Stel een formule op voor ^dM/_dA en toon met behulp daarvan aan dat M toeneemt en dat deze toename steeds kleiner wordt.

Examenopgave VWO A, 2015-II

Het volgende model geeft een benadering voor het aantal lepelaars op de Waddeneilanden:

Hierin is N het aantal lepelaars en t de tijd in jaren met t = 0 op 1 maart 1980.
De grafiek van N is eerst toenemend stijgend en daarna afnemend stijgend.

Toon aan dat de afgeleide van N gelijk is aan

en bereken vervolgens met behulp van deze afgeleide in welk jaar de grafiek van N overgaat van een toenemende stijging naar een afnemende stijging.

Volgens de bovenstaande formule van N(t) nadert het aantal lepelaars op de Waddeneilanden op den duur een grenswaarde.
Bereken deze grenswaarde.

Examenopgave VWO wiskunde A 2016 - I

Geocachen is een activiteit waarbij je verborgen schatten zoekt. Vrijwilligers verstoppen een klein kistje - een zogeheten geocache op een bepaalde plaats - en publiceren de coördinaten van de betreffende plaats op internet. De geocachers kunnen daarna de geocache zoeken met behulp van een gps-systeem. Deze activiteit ontstond in 2000 in de Verenigde Staten en heeft sindsdien een hoge vlucht genomen

Na 2011 was de groei van het aantal geocaches goed te omschrijven met het volgende model:

Hierin is t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 2000 en M het aantal geocaches in miljoenen. M is stijgend, dus het aantal geocaches wordt groter naarmate t groter wordt.

Je kunt met behulp van alleen de formule voor M(t), dus zonder te differentiëren of gebruik te maken van de grafiek, beredeneren dat de stijging van het aantal geocaches op den duur heel klein wordt.

Geef zo’n redenering.

MEER OPGAVEN

Voor het verband tussen tijd t (in dagen sinds 1 januari 1900, dus t = 0 op 1 januari 1900) en het wereldrecord w in meters is door een wiskundige het volgende model opgesteld:

Volgens dit model zal het wereldrecord hink-stap-sprong op den duur naar een grenswaarde naderen.

Beredeneer met behulp van de formule voor w wat deze grenswaarde is.

Een formule voor de afgeleide functie van w is

Toon dit aan.

De afgeleide beschrijft met hoeveel meter het record (theoretisch) per dag stijgt.

Bereken met behulp van de afgeleide in welk jaar het wereldrecord hink-stap-sprong volgens het model het snelst toenam en onderzoek of dit overeenkomt met de werkelijkheid. Je hoeft hierbij geen rekening met schrikkeljaren te houden.