Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven

Beredeneer met de volgende formules of de grafieken stijgen of dalen, en of de grafieken een grenswaarde hebben.

N(t) = 128 - 4 · 1,2^t

Examenopgave VWO A, 2015-I

De Amerikaan Charles Richter gebruikte seismogrammen om de magnitude (kracht) van een beving te kunnen bepalen. In de figuur zie je een voorbeeld van een seismogram. In dit seismogram zie je de gemeten trillingen van de aarde als uitwijkingen in mm. De grootste uitwijking in het seismogram heet de maximale amplitude.

Om de magnitude van een beving te bepalen, gebruikt men de formule van Richter. Hieronder staat een vereenvoudigde versie daarvan:

M = log(A) + 3

In deze formule is M de magnitude en A de maximale amplitude in mm.

Uit de formule blijkt, dat als de maximale amplitude A tien keer zo groot wordt, de magnitude met 1 eenheid toeneemt.

Toon met behulp van de rekenregels voor logaritmen aan dat log(10A) + 3 altijd 1 groter is dan log(A) + 3.

De magnitude neemt dus met 1 eenheid toe als de maximale amplitude 10 keer zo groot wordt. Dus de grafiek van M is afnemend stijgend. Dit kun je ook zien aan de afgeleide van M.

Stel een formule op voor ^dM/_dA en toon met behulp daarvan aan dat M toeneemt en dat deze toename steeds kleiner wordt.

Examenopgave VWO A, 2015-II

Het volgende model geeft een benadering voor het aantal lepelaars op de Waddeneilanden:

Hierin is N het aantal lepelaars en t de tijd in jaren met t = 0 op 1 maart 1980.
De grafiek van N is eerst toenemend stijgend en daarna afnemend stijgend.

Toon aan dat de afgeleide van N gelijk is aan

en bereken vervolgens met behulp van deze afgeleide in welk jaar de grafiek van N overgaat van een toenemende stijging naar een afnemende stijging.

Volgens de bovenstaande formule van N(t) nadert het aantal lepelaars op de Waddeneilanden op den duur een grenswaarde.
Bereken deze grenswaarde.

Examenopgave VWO wiskunde A 2016 - I

Geocachen is een activiteit waarbij je verborgen schatten zoekt. Vrijwilligers verstoppen een klein kistje - een zogeheten geocache op een bepaalde plaats - en publiceren de coördinaten van de betreffende plaats op internet. De geocachers kunnen daarna de geocache zoeken met behulp van een gps-systeem. Deze activiteit ontstond in 2000 in de Verenigde Staten en heeft sindsdien een hoge vlucht genomen

Na 2011 was de groei van het aantal geocaches goed te omschrijven met het volgende model:

Hierin is t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 2000 en M het aantal geocaches in miljoenen. M is stijgend, dus het aantal geocaches wordt groter naarmate t groter wordt.

Je kunt met behulp van alleen de formule voor M(t), dus zonder te differentiëren of gebruik te maken van de grafiek, beredeneren dat de stijging van het aantal geocaches op den duur heel klein wordt.

Geef zo’n redenering.

MEER OPGAVEN

Voor het verband tussen tijd t (in dagen sinds 1 januari 1900, dus t = 0 op 1 januari 1900) en het wereldrecord w in meters is door een wiskundige het volgende model opgesteld:

Volgens dit model zal het wereldrecord hink-stap-sprong op den duur naar een grenswaarde naderen.

Beredeneer met behulp van de formule voor w wat deze grenswaarde is.

Een formule voor de afgeleide functie van w is

Toon dit aan.

De afgeleide beschrijft met hoeveel meter het record (theoretisch) per dag stijgt.

Bereken met behulp van de afgeleide in welk jaar het wereldrecord hink-stap-sprong volgens het model het snelst toenam en onderzoek of dit overeenkomt met de werkelijkheid. Je hoeft hierbij geen rekening met schrikkeljaren te houden.

Examenopgave VWO Wiskunde A. 2024-I

Sovon Vogelonderzoek Nedereland vangt regelmatig jonge veldleeuweriken om ze te meten en te wegen. In onderstaande figuur is van 265 gevangen jonge veldleeuweriken het gewicht uitgezet tegen de zogeheten tarsuslengte, dat is de lengte van het onderbeen.

In deze figuur is ook een kromme weergegeven die het verband tussen het gewicht en de tarsuslengte benadert. Deze kromme kan worden beschreven met de formule:

Hierin is G het gewicht in grammen en T de tarsuslengte in millimeters.

Het gewicht van een jonge veldleeuwerik heeft een grenswaarde.

Beredeneer aan de hand van de formule voor G, dus zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden, hoe groot deze grenswaarde is.

Het gewicht van jonge veldleeuweriken neemt in het begin steeds sneller toe naarmate de tarsuslengte toeneemt. Op een bepaald moment is deze toenamesnelheid maximaal.

Bereken met behulp van de formule voor de afgeleide van G de maximale toenamesnelheid van het gewicht. Geef je antwoord in grammen per mm in één decimaal.

Naar de groei van bomen is veel onderzoek gedaan. Dat heeft geleid tot een goed inzicht in het verband tussen de hoogte van een boom en de leeftijd van die boom. In de bosbouw wordt voor veel bomen de te verwachten hoogte berekend met de formule van Chapman-Richards:

h = a(1 - b^t)^c
Hierin is h de hoogte van een boom in meters en t de leeftijd in jaren. De waarden van de getallen a, b en c hangen af van de soort boom. De getallen a, b en c zijn positief. In de volgende tabel zijn deze waarden voor enkele boomsoorten weergegeven.

boom	a	b	c
Japanse lariks	23,743	0,9603	1,22770
zomereik	39,143	0,9867	0,96667
Amerikaanse eik	29,026	0,9790	0,80820
berk	43,281	0,9876	0,95040
grove den	24,426	0,9656	1,59980

Het verband tussen de hoogte en de leeftijd van de zomereik wordt dus gegeven door de formule:

h = 39,143(1 - 0,9867^t)^0,96667

De zomereik wordt op den duur veel groter dan de Amerikaanse eik, maar in de eerste levensjaren groeit de Amerikaanse eik veel sneller.

Toon door berekening aan dat volgens de formule van Chapman-Richards de Amerikaanse eik in het vierde levensjaar ruim 20 cm méér groeit dan de zomereik.

Elke boom groeit, maar die groei gaat steeds langzamer. We kunnen dit naan met behulp van de afgeleide van h. Dat gaan we hier doen voor de zomereik. Voor de snelheid waarmee deze boomsoort groeit, kijken we naar de formule voor de afgeleide:

Aan de vorm van deze afgeleide kun je door redeneren, dus zonder berekeningen uit te voeren, zien dat de zomereik steeds groeit en dat die groei steeds langzamer gaat.

Laat zien (door een redenering) hoe uit de formule van de afgeleide volgt dat de zomereik steeds groeit en dat deze groei steeds langzamer gaat.

Voor de formule voor de zomereik hebben we gebruik gemaakt van de waarden van a, b en c uit de tabel. Maar niet alle zomereiken hebben de waarde 39,143 voor a.
Factoren zoals klimaat en bodemgesteldheid beïnvloeden de waarde van a.
Chapman en Richards gaan er in hun model van uit dat de waarden van b en c uitsluitend afhangen van de boomsoort.
Vaak weet men niet van tevoren welke waarde van a een boom heeft. Om de waarde van a voor een boom te bepalen, laat men de boom eerst een aantal jaren groeien.
Daarna meet men de boom op en berekent men welke waarde van a past bij de groei van die boom. Men gaat ervan uit dat die waarde van a daarna niet meer verandert.

Een zomereik bereikt op de leeftijd van 10 jaar een hoogte van 6,18 meter.

Bereken de waarde van a die hierbij hoort.

Afhankelijk van de waarde van a krijgen we verschillende groeiformules. In de volgende figuur zie je de grafieken van enkele groeiformules van de grove den. De waarde van a staat er steeds bij vermeld

Het ziet ernaar uit dat je aan de waarde van a kunt zien hoe groot de verschillende grove dennen uiteindelijk worden.

Onderzoek aan de hand van de formule of dit inderdaad het geval is voor de grafiek die hoort bij a = 30,1

Als je naar de figuur hierboven kijkt, kun je je afvragen of deze grafieken door de oorsprong (0, 0) gaan als we ze verder naar links zouden doortekenen. Dit is inderdaad het geval.
Sterker nog: dit is het geval voor alle grafieken die horen bij de algemene formule h(t) = a(1 − b^t)^c van Chapman-Richards.

Beredeneer, dus zonder getallenvoorbeelden te gebruiken, dat alle grafieken die horen bij de formule van Chapman-Richards door de oorsprong gaan.