Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Begin in punt A en teken een halve cirkelboog naar punt P met diameter 1.
Vanaf punt P weer een halve cirkelboog met diameter ¹/₂ naar Q
Dan met diameter ¹/₄ naar Q
Enzovoorts, steeds is de volgende diameter gelijk aan de helft van de vorige.

Als we zo oneindig lang doorgaan, hoe ver zal het eindpunt van deze spiraal dan van A afliggen?

²/₃

Met 0 < r < 1 is S = 1 + r + r² + r³ + .....
Toon aan dat 1 + r² + r⁴ + r⁶ + .... dan gelijk is aan ^S/_{(1
+ r)}

De rij v_n is gegeven door v_n = u_n - u_n_{- 1}

S is de som van de termen 0 tot en met n van rij u_n.

Doe dat door S te vermenigvuldigen met pⁿ

T is de som van de termen 1 tot en met n van rij v_n.

We hebben een oneindige meetkundige rij met reden ongelijk aan nul.
Stelling:

"Als één term van de rij gelijk is aan de som van alle volgende, dan geldt dat voor élke term van de rij".

Toon dit aan, en geef de reden r van deze rij.

r = 0,5

Gegeven is de rij 1, 2r, 3r², 4r³ , 5r⁴, ....
Deze rij is niet meetkundig en niet rekenkundig, maar toch kun je een formule voor de somrij maken.
De som van de eerste n termen van deze rij is gelijk aan S_n = 1 + 2r + 3r² + 4r³ + 5r⁴ + ... + nrⁿ^{- 1}

Schrijf ook rS_n op en trek die van S_n af.

Een deel van je antwoord is nu de som van een meetkundige rij. Gebruik dat feit om een formule voor S_n op te stellen.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2001.

Van een strook papier van 14 cm lengte zit de rechterrand los en is de linkerrand vastgeplakt op de ondergrond. De strook wordt linksom dubbelgevouwen (stap 1 in de figuur hiernaast); hierbij verdeelt de vouwlijn de strook in twee gelijke delen. Het bovenste deel wordt rechtsom dubbelgevouwen (stap 2 in de figuur hiernaast). Daarna wordt het bovenste deel hiervan weer linksom dubbelgevouwen (stap 3 in de figuur). Dit proces kan in theorie eindeloos herhaald worden. We willen de limiet van de plaats van de losse rand weten.
De plaats van de losse rand na n keer vouwen noemen we u_n.
De rij u₀, u₁, u₂, .... is gegeven door:

Bereken u₃ en u₄.

Voor de verschilrij v_kgeldt: v_k = u_k - u_{k - 1} (k = 1,2,3,4,...)

Bewijs dat voor k = 2,3,4,... geldt v_k = -0,5 • v_{k -1}

De termen van de rij u_n zijn te vinden met behulp van de rij v_k:
u₁ = u₀ + v₁
u₂ = u₀ + v₁ + v₂
u₃ = u₀ + v₁ + v₂ + v₃
.
.
.
u_n = u₀ + v₁ + ... + v_n

Toon aan dat voor n = 1,2,3,... geldt: u_n = 14 + 9¹/₃•((-¹/₂)ⁿ - 1)

Bereken exact de limiet van de plaats van de losse rand

4²/₃

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2007.

We maken een figuur die uit oneindig veel gelijkzijdige driehoeken bestaat. We beginnen met een gelijkzijdige driehoek met zijde 3 cm. Rechtsboven plakken we er een gelijkzijdige driehoek aan met zijde 2,7 cm. Zo plakken we er steeds rechtsboven een gelijkzijdige driehoek aan, de ene keer met de top naar beneden, de andere keer met de top naar boven. De zijden van de nieuw te plakken driehoek zijn 0,9 keer zo groot als de zijden van de vorige driehoek die werd geplakt.
In onderstaande figuur zie je de figuur in opbouw: na zeven keer plakken. Na elke keer plakken komt de figuur dichter bij de finishlijn.
We plakken oneindig vaak.

Onderzoek met behulp van een berekening of de figuur op den duur de finishlijn overschrijdt.

JA: 14,21

Een oud raadsel:

"Twee vrienden die in den Haarlemmerhout wandelden, gingen een merkwaardige weddenschap aan. Een der vrienden beweerde naar Zandvoort en terug te kunnen wandelen, en dan nog terug te zijn voor de ander er in geslaagd zou zijn 100 kiezelsteentjes, die in een rechte lijn met tusschenruimten van 2 meter zijn neergelegd, op te rapen en één voor één te deponeeren in een bij het beginpunt geplaatste mand".

Zou dat inderdaad lukken? De afstand van Haarlemmerhout naar Zandvoort is ongeveer 9 km......

Van een meetkundige rij met positieve termen is de som van alle termen kleiner dan 2 en de som van de kwadraten van de termen groter dan 2.
Welke waarden kan de reden van die rij hebben?

0 < r < ¹/₃