© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
Gegeven is de functie  f(x) = 27x3 - 108x2 .
We zijn geïnteresseerd in de oppervlakte tussen de grafiek van f en de x-as voor x tussen 0 en 5.
Bereken die oppervlakte algebraïsch.
       
a. De grafieken van f(x) = x2 - 5 en  g(x) = -2x - 2 sluiten samen een vlakdeel in (zie figuur linksonder).
Bereken algebraïsch de oppervlakte van dat vlakdeel.
       
  b. De grafieken van  f(x) = 2√x - 2  en  g(x) = 4 - √x sluiten, samen met de y-as een vlakdeel in (zie figuur midden onder).
Bereken algebraïsch de oppervlakte van dat vlakdeel.
       
  c. De grafieken  van f(x) = 6x2 - 2x - x3 - 4  en  g(x) = 2x2 - 14x - 4 sluiten samen twee vlakdelen in (zie figuur rechtsonder).
Bereken algebraïsch de oppervlakte van deze beide vlakdelen.
       
 
       
.Er zijn drie vlakdelen die geheel worden ingesloten door de grafieken van y = 2x2 - 4  en   y = 8 - x2  en  y = 2x
Bereken de oppervlakte van elk van die vlakdelen.
       
Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2002

Gegeven is de functie:  f(x) = √(x - 1)

De lijn k raakt de grafiek van f in het punt P(10,3). Zie de figuur hieronder.
       
 

       
  a. Stel met behulp van differentiëren een vergelijking op van k.
       
  De grafiek van f, de lijn k en de x-as sluiten een vlakdeel in.
       
  b. Bereken exact de oppervlakte van dit vlakdeel.
       
     
MEER OPGAVEN
       
5. De Lorentzkromme.
De Lorentzkromme is een grafiek uit de economie Hij geeft de verdeling van inkomens van een bepaalde groep weer.  Zet alle mensen op volgorde van laag naar hoog inkomen. Op de x-as zet je nu hoeveel procent van de mensen je hebt gehad, en op de y-as hoeveel procent van het totaalinkomen die mensen hebben. 
  Hiernaast zie je een typische Lorentzcurve. Er is bijvoorbeeld in af te lezen dat  de 30% minst verdienende mensen samen slechts 15% van het inkomen verdienen.

De blauwe lijn hoort bij de meest gelijke inkomensverdeling: als iedereen precies evenveel verdient. De meest ongelijke verdeling zou je vinden als één persoon alles verdient, en dat zou de x-as van 0 tot 100 zijn plus een stip bij (100, 100)

Als getal om de inkomensongelijkheid van een groep weer te geven gebruiken economen de zogenaamde Gini-coëfficiënt.
Dat is de oppervlakte tussen beide grafieken gedeeld door de oppervlakte onder de blauwe lijn (en die is 5000).

  Voor de Lorentzkromme van een land geldt ongeveer  f(x) = 0,02512x1,8
Bereken de Gini-coëfficient van dat land.
       
6. Twee cirkels met straal 3 doorsnijden elkaar zó dat het middelpunt van elke cirkel op de andere ligt. De vraag is: hoe groot is de doorsnede?

De vergelijking van een cirkel met middelpunt de oorsprong en straal 3 is
y2 + x2 = 9  ofwel  y = ±√(9 - x2).
Voor de bovenste helft van de cirkel geldt het plusteken, voor de onderste helft het minteken.

  Kies als oorsprong punt N.  Dan is de cirkel met middelpunt M over afstand 3 omhoog geschoven.
       
  a. Geef vergelijkingen voor de bovenste helft van de cirkel met middelpunt N en de onderste helft van de cirkel met middelpunt M.
       
  b. Bereken de x-coördinaten van de snijpunten van beide cirkels.
       
  c. Benader de oppervlakte tussen beide cirkels in twee decimalen nauwkeurig.
       
7. Gegeven zijn de functies:   f(x) = x2 - 4x  en  g(x) = -2x + 3  en  h(x) = x

De grafieken van deze drie functies sluiten samen drie vlakdelen in.
Bereken van ieder van die vlakdelen de oppervlakte. Doe dat algebraïsch.
       
8. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2004

Gegeven zijn de functies:  f(x) = x2  en  g(x) = √x, beide met domein [0,→〉.
In de figuur hieronder zijn de grafieken van f  en  g  en ook de lijn y = 6 - x getekend.
Het gebied, ingesloten door de grafiek van f, de grafiek van g, en de lijn y = 6 - x, is in de figuur grijs gekleurd.
       
 

       
  Bereken algebraïsch de exacte oppervlakte van dit gebied.
       
9. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2011.

De functies f en g zijn gegeven door f (x) = 1/x  
en g(x) = 1/x2    met x > 0 .
De grafieken van f en g snijden elkaar in het punt (1, 1).

Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafieken van f en g en de lijn y = 4 Zie de figuur hiernaast.

Bereken exact de oppervlakte van V.
Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

       
10. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2014.

In de figuur zie je de grafiek van
f(x) = x4 - 6x2 - 8x + 5 . Deze grafiek heeft buigpunten voor  x = -1 en x = 1. De lijn door deze buigpunten heeft vergelijking y = -8x.
Deze lijn en de grafiek van f  begrenzen drie vlakdelen V1 , V2 en V3 die om en om onder en boven de lijn liggen.

De lijn met vergelijking  y = -8x snijdt de grafiek van f niet alleen in de twee buigpunten, maar ook in twee andere punten.

       
  a. Bereken exact de x-coördinaten van de twee andere snijpunten.
       
  De vlakdelen V1 en V3 hebben gelijke oppervlakte, namelijk 31/5.
       
  b. Bewijs dat de gezamenlijke oppervlakte van V1 en V3 gelijk is aan de oppervlakte van V2.
       
11. Gegeven is met domein  [0, →〉  de functie  f(x) = 1 + x - 2√x
       
  a. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel V in gesloten door de grafiek van f en de lijn y = 1.
       
  b. Het punt P met xP < 1 ligt op de grafiek van f.
De raaklijn in P aan de grafiek van f snijdt de x-as in punt A en de y-as in punt B.
Toon aan dat  geldt dat OA + OB = 1
       
12. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2021-II.

De functies f en g zijn gegeven door   f(x) = 2√x  en g(x) = √(2x).
Op de grafiek van f  ligt het punt P(4, 4).
Punt R ligt op de grafiek van g recht onder punt P.
De raaklijnen in P en R snijden elkaar in het punt S (-4, 0). Zie onderstaande figuur.
       
 

       
  Het lijnstuk PR en de grafieken van f en g sluiten een vlakdeel in. Dit vlakdeel is in de figuur grijs gemaakt.
Bereken exact de verhouding tussen de oppervlakte van dit vlakdeel en de oppervlakte van driehoek PRS.
       
13. Gegeven is de functie f(x) = e-x . 
Op de grafiek van  f  liggen de punten A en B met x-coördinaten  xA = 0  en xB = 1.  Zie de figuur hiernaast.

Het vlakdeel begrensd door het lijnstuk AB en de grafiek van  f  noemen we V.

       
  a. Bereken exact de oppervlakte van V.  
       
  Op de grafiek van  f  ligt een punt C waarin de raaklijn aan de grafiek van f evenwijdig is aan het lijnstuk AB
       
  b. Bereken de x-coördinaat van C. Rond af op twee decimalen.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)