© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
Als je van de functie f(x) = x2 + 2x een tabel met functiewaarden maakt krijg je zoiets:
       
 
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 3 8 15 24 35 48 63
       
  Als je x ziet als n en f(x) als un dan kun je een recursievergelijking opstellen. Dat lukt omdat er regelmaat in de verschillen tussen de f(x) waarden zit.
Stel zo'n recursievergelijking op.
       
In een rij getallen is elk volgende getal gelijk aan het gemiddelde van de twee vorigen.
Geef een recursieformule voor deze rij als hij begint met  u1 = 10  en  u2 = 50   en bereken u6
       
Hieronder zie je een plaatje van de zeshoeksgetallen
       
 

       
  De getallen onder de zeshoeken geven het aantal strippen aan.
Noem het aantal stippen van de eerste zeshoek u1.
Geef een recursieformule voor het aantal stippen van de nde zeshoek.
Bedenk daarbij dat de verschillen van de rij un regelmaat vertonen.
       
De volgende rij getallen is gebaseerd op een lineaire recursievergelijking van de  vorm   un = aun - 1 + bun - 2

1 - 3 - 13 - 59 - 269 - 1227 - ...

Bereken a en b
       
MEER OPGAVEN
       
5. Hieronder zie je een serie figuren met vierkanten.
         
 

         
  In de eerste figuur zie je 1 vierkant. In de tweede figuur zie je 5 vierkanten! Vier kleine en één grote van 2 bij 2.
         
  a. Tel het aantal vierkanten in de derde en vierde figuur
       
  b. Geef een recursieformule voor het aantal vierkanten in figuur nummer n.
Het eerste vierkant hoort dus bij u1
   
6. In de 14e eeuw ontdekte de Indiase wiskundige Madhava een manier om de waarde van π te benaderen met behulp van een rij.
De aanpak van Madhava zag er als volgt uit:
       
 
  enzovoort.

Stel de recursieve formule op voor de somrij Sn met n = 2, 3, 4, ... en S1 = √12 van de aanpak van Madhava.
   
7. Als je een aantal lijnen tekent, dan kun je daarmee een vlak in een aantal vlakdelen verdelen.
Een interessante vraag daarbij is natuurlijk:  Hoeveel vlakdelen zijn er maximaal te maken met n rechte lijnen?
         
  a. Onderzoek dit probleem door een aantal gevallen uit te proberen.
         
  Als je een vlak in un delen hebt verdeeld door n lijnen te tekenen, dan heeft een volgende lijn die je tekent maximaal n nieuwe snijpunten.
         
  b. Leg duidelijk uit waarom daaruit volgt dat un+1 = un + n
         
  c. Wat is het maximale aantal vlakdelen als je 10 lijnen tekent?
   
8. Hieronder staan een aantal kaartenhuizen getekend.
Het eerste huis kost 2 kaarten, het tweede kost 7 kaarten, het derde kost 15 kaarten enz.

Geef een recursievergelijking.
         
 

       
9. Hieronder zie je een spiraal van gelijkzijdige driehoeken (genummerd in de figuur).
Noem de lengte van de zijden van de kleinste driehoekjes in het midden gelijk aan 1.
       
 

       
  a. Schrijf de rij getallen van de lengte van de zijden van de achtereenvolgende driehoeken op.
   
  Als je je bedenkt dat elke driehoek grenst aan twee kleinere driehoeken, zoals de rode lijnen van de driehoeken nr. 12 en nr. 10  hiernaast  dan kun je een recursievergelijking voor de rij vinden.

  b. Geef zo'n recursievergelijking.
  Als je je bedenkt dat de hele figuur op een driehoek na een parallellogram is, zoals met de rode lijn hiernaast erbij, dan kun je nog een andere recursievergelijking voor de rij vinden, immers die rode lijn is de zijde van de volgende driehoek in de rij

     
  c. Geef zo'n tweede recursievergelijking.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)