Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Er worden steeds meer medicijnen verkocht. Als een medicijn goed lijkt te werken, stijgt de verkoop extra snel. Zo'n medicijn is Rustical, dat kalmerend werkt.

Het aantal personen per jaar dat Rustical kreeg voorgeschreven wordt sinds 1991 bij benadering gegeven door
A(t) = 3900 • 1,3^t. Hierin is t het aantal jaren vanaf 1991 en A(t) het aantal personen per jaar.

Onderzoek in hoeveel tijd volgens dit model het aantal personen per jaar dat Rustical krijgt voorgeschreven tien keer zo groot wordt. Rond je antwoord af op een geheel aantal jaren.

9 jaar

Het aantal recepten Rustical dat werd voorgeschreven is vanaf 1991 ook bij benadering exponentieel gestegen. In 1996 bedroeg het aantal voorgeschreven recepten voor Rustical 42000 en in 1999 was dit aantal 157000.

Toon door een berekening aan dat het jaarlijkse groeipercentage voor het aantal recepten ongeveer gelijk is aan 55%.

Bereken met hoeveel procent het gemiddeld aantal recepten per patiënt is toegenomen in de periode 1996 - 1999. Rond je antwoord af op een geheel getal.

70%

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2012

In Zuid-Engeland onderzoekt men sinds 1950 de lengte van de bloeiperiode van paddenstoelen.
Na vele duizenden waarnemingen bij 315 verschillende paddenstoelsoorten hebben Britse onderzoekers geconcludeerd dat er sinds 1980 een duidelijke verandering van de gemiddelde lengte van de bloeiperiode zichtbaar is. Zie de volgende figuur.

Van 1950 tot 1980 bleef de lengte van de bloeiperiode ongeveer gelijk. Daarna is deze in de periode van 1980 tot 2005 toegenomen van 30 tot 83 dagen.
In deze opgave nemen we aan dat de lengte van de bloeiperiode sinds 1980 exponentieel toeneemt.

Bereken met de gegevens van 1980 en 2005 het jaarlijkse groeipercentage vanaf 1980 in twee decimalen nauwkeurig.

4,15%

Vanaf 1980 is de lengte van de bloeiperiode bij benadering te beschrijven met de formule:

B = 30 •1,042^t

Hierin is B de lengte van de bloeiperiode in dagen en t de tijd in jaren vanaf 1980.
De lengte van de bloeiperiode is van 1980 tot 2005 ruimschoots verdubbeld.

Bereken in hoeveel jaar de bloeiperiode twee keer zo lang wordt.

16,8 jaar

Bij de lengte van de bloeiperiode, zoals die aangegeven is in de bovenstaande figuur, kun je een toenamediagram tekenen. In de figuur hieronder staan drie toenamediagrammen, waarvan er één goed past bij de bloeiperiode tussen 1950 en 2005.

Geef met een toelichting aan welk toenamediagram het juiste is.

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2012

Om een scan van de botten te maken, wordt een patiënt ingespoten met de radioactieve stof Technetium-99m (Tc-99m). Tc-99m heeft een halveringstijd van 6 uur. Dat wil zeggen dat telkens na 6 uur de helft van de radioactieve stof verdwenen is. Deze halveringstijd is lang genoeg om het medische onderzoek uit te voeren en kort genoeg om de patiënt na het onderzoek niet in het ziekenhuis te hoeven houden.

Bereken hoeveel procent van de radioactieve stof Tc-99m 24 uur na toediening nog in het lichaam van de patiënt aanwezig is.

6,25%

Vanwege de korte halveringstijd is het voor een ziekenhuis onmogelijk om Tc-99m in voorraad te hebben. In het ziekenhuis wordt hiervoor eenmaal per week een technetiumkoe afgeleverd. Zie de foto.
Deze ‘koe’ is eigenlijk een container met Molybdeen-99 (Mo-99). Tc-99m ontstaat bij het radioactieve verval van Mo-99, dat een veel langere halveringstijd heeft. Uit de koe kan een week lang op elk gewenst moment Tc-99m worden ‘gemolken’. Dit is voldoende voor vele tientallen patiënten.

Een container wordt gevuld met Mo-99. Het exponentiële radioactieve verval van Mo-99 is dusdanig dat na precies 7 dagen nog 17,3% van de stof over is.
Op grond van dit gegeven kun je vaststellen dat de hoeveelheid Mo-99 ieder uur met ongeveer 1,04% afneemt.

Laat met een berekening zien dat dit klopt.

Bereken met behulp van de genoemde 1,04% na hoeveel uur de hoeveelheid Mo-99 in de container gehalveerd is.

66,3 uur

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2013.

Olie is een belangrijke grondstof. In onderstaande figuur is af te lezen hoeveel olie er wereldwijd in totaal is verbruikt sinds er in 1859 voor het eerst een oliebron geslagen werd. Zo valt bijvoorbeeld af te lezen dat het totaal van 1000 miljard vaten in de loop van 2002 gepasseerd werd.

In de grafiek van deze figuur zijn vanaf 1948 de perioden aangegeven waarin de totale hoeveelheid verbruikte olie verdubbelde. Tussen 1948 en 1981 duurde het telkens ongeveer 11 jaar tot de totale hoeveelheid verbruikte olie was verdubbeld. Dit betekent dat tussen 1948 en 1981 de totale hoeveelheid verbruikte olie bij benadering exponentieel groeide.

Bereken het jaarlijkse groeipercentage dat hoort bij een verdubbelingstijd van 11 jaar. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

6,5 %

Vanaf 1981 groeide de totale hoeveelheid verbruikte olie bij benadering nog steeds exponentieel, maar met een andere groeifactor. In de grafiek is te zien dat de totale hoeveelheid verbruikte olie verdubbelde van 500 miljard tot 1000 miljard vaten in de periode van 1981 tot 2002. Een verdubbelingstijd van 21 jaar komt overeen met een groei van ongeveer 3,4% per jaar.

Bereken op algebraïsche wijze het jaar waarin volgens dit exponentiële model de totale hoeveelheid verbruikte olie de grens van 750 miljard vaten passeerde

1993

Bij het berekenen van verdubbelingstijden gebruikt men nog wel eens de vuistregel p • D = 70.
Hierin is p het groeipercentage en D de verdubbelingstijd.

Als het groeipercentage gelijk is aan p, en de groeifactor is gelijk aan g dan geldt: p = 100g - 100

Toon dat aan.

Voor de verdubbelingstijd D geldt: D = ^ln2/_lng

Toon dat aan.

Onderzoek voor welke waarden van g de grootte van p • D tussen de 65 en de 75 ligt.

0,88<g<1,17

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2013.

In de figuur hieronder is voor de periode 1993 - 2011 de ontwikkeling van het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen in megawatt (MW) weergegeven. In deze periode is dit vermogen (bij benadering) exponentieel gegroeid.

In 1993 was het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen 2900 MW. In 2011 was dit 239000 MW.

Bereken in één decimaal nauwkeurig het jaarlijkse groeipercentage van het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen dat uit de gegevens volgt.

27,77%

Na 2011 wordt er een jaarlijkse groei van 22% van het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen verwacht. Bereken in welk jaar dit vermogen zal zijn verdubbeld ten opzichte van het jaar 2011.

2015

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2017-II.

De prijs van elektrische energie – gewoonlijk elektriciteit genoemd – stijgt niet elk jaar met hetzelfde percentage.
In de tabel staan de groeipercentages ten opzichte van het voorafgaande jaar voor de periode van 1997 tot en met 2006.

Uit de gegevens in de tabel volgt dat de prijs van elektriciteit in 10 jaar tijd ongeveer is verdubbeld.

jaar	prijsstijging ten opzichte van het voorafgaande jaar in gehele procenten
1996
1997	2
1998	1
1999	7
2000	14
2001	26
2002	3
2003	3
2004	5
2005	8
2006	6

Toon dit aan.

Een verdubbeling in 10 jaar kan ook bereikt worden door de prijs van elektriciteit jaarlijks met een vast percentage te laten stijgen.

Bereken op algebraïsche wijze dit percentage. Rond je eindantwoord af op één decimaal.

7,2%

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2019-II.

De kievit is een weidevogel. Het aantal kieviten in Nederland neemt af. Dit komt onder andere door intensivering van de landbouw en door uitbreiding van het stedelijk gebied.
We maken in deze opgave onderscheid tussen de aantallen broedende en niet-broedende kieviten.

In de periode 1990-2010 nam het aantal broedende kieviten elk jaar met 3% af.

Bereken met hoeveel procent het aantal broedende kieviten in de periode 1990-2010 is afgenomen. Geef je antwoord in hele procenten.

46%

Na 2010 nam het aantal broedende kieviten in Nederland elk jaar met 5% af. Neem aan dat deze afname zo doorgaat.

Bereken in welk jaar het aantal broedende kieviten voor het eerst minder dan de helft zal zijn van het aantal in 2010.

2024