© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De gemiddelde functiewaarde op een cirkel

We gaan de residustelling van Cauchy toepassen op een cirkel rond z = z0  met straal r  (Oh ja, voor ik het vergeet:  neem aan dat f(z) in deze hele les overal analytisch is).
Op die cirkel is dan  z = z0 + reiφ    dus is  dz = ireiφ dφ
De residustelling geeft dan:
       

       
Daar rechts staat als integraal de som van de functiewaarden van f, uitgerekend voor elke φ op de cirkel, en dan gedeeld door 2π. Maar omdat 2π precies al die dφ's bij elkaar opgeteld is, staat daar eigenlijk de gemiddelde waarde van f op die cirkel.
Als je alleen het reële deel van bovenstaande vergelijking bekijkt, dan staat daar dat de gemiddelde waarde van Re(f) op de cirkel gelijk is aan Re(f(z0)). Dat kun je dan soms weer handig gebruikten om de gemiddelde waarde van een reële functie op een cirkel te berekenen. Probeer gewoon een functie f(z) te verzinnen waar jouw functie het reële deel van is!

Voorbeeld.
       
Bereken de gemiddelde waarde van  x2 - y2 + 2x  op de cirkel hiernaast.

x2 - y2 + 2x is in het complexe vlak precies het reële deel van f(z) = z2 + 2z
Kijk maar:  z = a + bi   geeft  z2 + 2z = a2 + 2bi - b2 + 2a + 2bi
=  (a2 - b2 + 2a) + i(4b)

Dus volgens de integraal hierboven is de gemiddelde waarde van dat reële deel gelijk aan   Re(z2 + 2z)  bij  z = 1 + i
Dat is Re((1 + i)2 + 2(1 + i)) = Re(2 + 4i) = 2

De gemiddelde functiewaarde is dus 2.

       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)