© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Nog meer natuurkundige toepassingen.
1. Arbeid.
De arbeid die een kracht verricht is gelijk aan de grootte van die kracht vermenigvuldigd met de afstand waarover die kracht werkt. (Dat is het natuurkundige begrip van arbeid, niet het alledaagse: als je uit alle macht een uur lang tegen een stenen muur staat te duwen heb je natuurkundig geen arbeid verricht, alhoewel je waarschijnlijk het zweet over je rug voelt stromen!)
De formule die men meestal gebruikt is  W = F × s  waarin W de arbeid is, F de kracht en s de afstand.
Als je integralen een beetje doorkrijgt dan snap je het probleem intussen natuurlijk al wel....
 
 

Hoe is het als de kracht niet constant is, maar van de afstand afhangt?
 

En ook de oplossing gaat je hopelijk intussen een beetje bekend voorkomen: 
Verdeel de afgelegde weg in kleine stukjes ds.
Over één zo'n stukje ds is de kracht dan wél ongeveer constant, namelijk F(s), dus  dW = F(s)ds
Tel dan al die arbeidjes dW bij elkaar op met een integraal:

 
 
Voorbeeld 1:  De ontsnappingssnelheid voor de aarde.
   
Als je een voorwerp (een kogel of zo) wegschiet van de aarde, dan trekt de aarde die kogel terug. De aarde verricht arbeid op de kogel. Maar hoe verder de kogel weg is, des te kleiner wordt de aantrekkingskracht van de aarde. De vraag is nu: hoeveel bewegingsenergie moeten we de kogel meegeven om al die "terugtrekarbeid" van de aarde te overwinnen?

De kracht tussen twee voorwerpen met massa M en m is gelijk aan:
 
 
Daarin is G een constante (6,68 • 10-11 ) en M en m de massa's in kg en r de afstand in meter en F de kracht in Newton.
Maarde =  5,97 • 1024  en  Raarde = 6378 km.
Dat betekent dat  F(r)  = 3,99 • 1014 • m • 1/r2
Op een klein stukje dr  is deze kracht ongeveer constant en verricht een arbeid  dW.
De totale verrichte arbeid door de aarde op de kogel als de kogel van r = R naar r = ∞ gaat is dan gelijk aan:
6,25 • 107 m   ⇒  v2 = 1,25 • 108  ⇒  v = 11183  m/s =  11,2 km/s.

(in werkelijkheid nog groter omdat we de luchtwrijving hebben verwaarloosd).
   
Voorbeeld 2:  De potentiële energie van een geladen bol.
   
Hoeveel elektrische energie zit er opgeslagen in een bol met straal R en lading Q op het oppervlak? Dát er energie in is opgeslagen zal duidelijk zijn: laat alle lading "los" van de bol en het zal uit elkaar vliegen omdat gelijke ladingen elkaar afstoten. De hoeveelheid energie die opgeslagen zit in zo'n bol kun je berekenen door hem langzaam op te bouwen".
Dat gaat als volgt.
Begin met een lege bol en breng een ladinkje dQ vanaf oneindig naar het oppervlak van de bol. Dan nog een ladinkje, dan nog een, enz. Net zolang tot de totale lading Q op de bol zit.

Stel dat er op de bol op een gegeven moment al lading q aanwezig is. Hoeveel energie kost het dan om een extra ladinkje dq erheen te brengen?
Elektrische ladingen met hetzelfde teken stoten elkaar af met de zgn. "Coulombkracht":
 
 

Daarin is k een constante (8.99 • 109), F de kracht in Newton, q en dq de ladingen in Coulomb, en r de afstand in meter.
over stukje dr  kost dat kracht Fdr, dus in totaal kost het:

 
 

Om alle stukjes dq op hun plaats te krijgen moeten we nogmaals al deze dW's bij elkaar optellen:

 
 

En daarmee hebben we een formule voor de elektrische energie (potentiële energie) van zo'n bol.
Doe er vooral iets leuks mee.....
   
 OPGAVEN
1. Om een veer vanuit ruststand in te drukken is een kracht F = -c • u nodig, waarbij c een constante is, afhankelijk van het soort veer, en u de uitwijking vanaf de ruststand van de veer.
               
  a. Een bepaalde veer heeft c = 40  N/m.
Hoeveel arbeid moet je verrichten om deze veer vanuit rustpunt 12 cm in te drukken?

0,288 N
       
  b. Een jongetje heeft een katapult gemaakt door een veer met  c = 30 N/m  15 cm in te drukken en dan met een haakje vast te zetten. Daarna legt hij er een knikker (van 20 gram) voor en maakt het haakje los. De veer ontspant zich en zet alle opgeslagen veerenergie om in bewegingsenergie van de knikker (E = 1/2mv2)
Welke snelheid heeft de knikker op het moment dat hij losraakt van de veer?

5,8 m/s
               
2. Een touw weegt  0,8 kg/m. Het is 2 meter lang. Het ligt in zijn geheel op de grond. Iemand pakt een uiteinde vast en gaat het touw langzaam optillen. Dat doet zij totdat het uiteinde 2 meter boven de grond is, en het andere uiteinde dus precies de grond raakt.
Om het bovenuiteinde van het touw van hoogte h naar hoogte h + dh te brengen moet ze een kracht F = m • g uitoefenen. (g is de zwaartekrachtsversnelling en die is ongeveer 9,8 m/s2  en m is de massa van het touw dat al in de lucht hangt) Dat moet over een afstand dh, dus dat kost kracht  mg • dh

Hoeveel arbeid heeft zij na afloop in totaal verricht?
             

15,68 Nm
3. We  bekijken een afgesloten hoeveelheid gas in een cilindervormige buis met een zuiger erop. De hoogte van de zuiger in het begin 50 cm, en de doorsnede van de buis heeft straal 2 cm. De luchtdruk is overal 1 bar.
De zuiger wordt naar beneden gedrukt tot een hoogte van 25 cm.
Voor het gas in de cilinder geldt  pV = c   (p is de druk in bar, V het volume in m3 en c een constante, voor deze hoeveelheid gas gelijk aan 105). Tijdens het naar beneden drukken van de zuiger wordt het volume kleiner dus de druk groter. Het gas gaat een kracht naar boven uitoefenen.

Tijdens een klein stukje dh van dat naar beneden drukken is de druk binnen de zuiger ongeveer constant. Dus kun je de arbeid die nodig is om dat stukje af te leggen berekenen.

Hoeveel arbeid moet in totaal verricht worden om deze zuiger op hoogte 25 cm te krijgen?

               
4. Op de bodem van een 200 meter diepe mijnschacht staat een emmer  gevuld met kolen die in totaal 166 kg weegt (emmer + kolen). Aan de emmer zit een stalen kabel die per meter 0,2 kg weegt.

Hoeveel arbeid is er nodig om de emmer (+ kabeldeel) 200 meter omhoog te takelen?
               
5. Een metalen ketting die 3 kg/meter weegt en 20 meter lang is hangt in zijn geheel van een verdieping van een flat in aanbouw naar beneden. Een bouwvakker trekt de kabel helemaal omhoog naar de verdieping.
Hoeveel arbeid verricht de bouwvakker?
               
6. In een tank met de vorm van een omgekeerde kegel met hoogte 15 meter en straal grondvlak 4 meter bevindt zich water tot op een hoogte van 12 meter.

Hoeveel arbeid kost het om al dat water uit de tank te pompen (dus naar een hoogte van 15 meter te brengen)?

               
2.  Wet van Hooke
Om materialen te testen passen natuurkundigen vaak de zogenaamde trekproef toe. Ze klemmen een staaf van een bepaald materiaal vast in een soort trekbank en oefenen er op de bovenkant en de onderkant een kracht op uit. Daarbij wordt nauwkeurig gemeten hoeveel de staaf langer wordt.

Het blijkt dat, voor niet al te grote uitrekkingen, de wet van Hooke deze uitrekking goed beschrijft:
 
 
Daarin is F de trekkracht (in kN), l  de lengte van de staaf (in cm),  A de oppervlakte van de doorsnede (in cm2 ) en E een constante die van het materiaal afhangt. Die heet de elasticiteitsmodulus of ook wel 'modulus van Young'.
Tot zover geen probleem. Als je bijvoorbeeld een cilindervormige staaf (doorsnede 8 cm2)  van staal (E = 21000) hebt die 1,5 meter lang is, en waarop je een trekkracht van  5000N op beide uiteinden uitoefent, dan wordt de uitrekking:
Δl =  (5 • 150)/(21000 • 8) =  0,0045 cm. Niet spectaculair veel dus.

Een leuker probleem krijg je natuurlijk als je een staaf neemt waarvan de doorsnede niet overal gelijk is, dus  A(x).

De oplossing in dit geval is: neem een plakje met dikte dx. Dan is daarvan de doorsnede wel ongeveer constant (A(x)) dus daarvan kun je de uitrekking daarvan berekenen.
Tel daarna al die stukjes uitrekking met een integraal bij elkaar op.
 
 

   
7. Iemand heeft van aluminium (E = 7000 kN/cm2) de afgeknotte kegelvorm hiernaast gemaakt.

Op bovenvlak en ondervlak wordt een trekkracht van 10 kN uitgeoefend.

  a. Toon aan dat voor de oppervlakte A van de doorsnede op hoogte h vanaf het grondvlak  geldt:  A(h) = 0,000123h2 - 0,0589h + 7,0686
  b. Bereken de uitrekking Dl van de afgeknotte kegel.
     

0,024 cm
 
     
8. De parabool y = 0,2x2 + 1 met domein [-2,2] wordt gewenteld om de x-as. Dat geeft een soort vorm als hiernaast.
Stel dat dit lichaam massief zou zijn, en gemaakt zou zijn van staal (E = 21000) hoeveel zou het dan uitrekken als we op de beide zijvlakken een kracht van 15 kN naar links/rechts zouden uitoefenen?
     

0,00062
 
3.  Radioactieve Straling.
De hoeveelheid straling die een radioactieve bron afgeeft  is niet constant. Immers doordat radioactieve atomen vervallen naar stabiele atomen zal het aantal radioactieve atomen, en dus ook de intensiteit van de straling, in de loop van de tijd afnemen. Voor de intensiteit (I), dat is afgegeven hoeveelheid straling per tijdseenheid, op een bepaald moment (t) 
geldt  I(t) = I(0) • e-ct
De eenheid van de intensiteit is tegenwoordig Bequerel (Bq). Vroeger heette het Curie. Het aantal Becquerel van een stralingsbron is gelijk aan het aantal atomen dat per seconde vervalt.

Neem een stralingsbron met I(0) = 600  en  c = 0,004.
Hoeveel straling zal deze bron afgeven tussen t = 10 en t = 100 ?
Neem een klein tijdsinterval tussen t en  t + dt. Op dat kleine interval zal I(t) ongeveer constant zijn, dus een hoeveelheid straling  I(t) • dt uitzenden.
Voor de totale hoeveelheid straling tellen we al die tijdsintervallen bij elkaar op. Met een integraal uiteraard!

Dat is gelijk aan   -15000 • e-0,4 - -15000 • e-0,04 = -10054,8 --14411,8  =  4357 Bq.
   
9. Een radioactieve bron heeft  I(0) = 300  en  c = 0,001
               
  a. Hoeveel straling zal deze bron tussen t = 100 en t = 200 afgeven?

25832 Bq
       
  b. Hoeveel straling zal deze bron in totaal afgeven?

300000 Bq
               
10. Een radioactieve bron heeft  I(0) = 500 en  c = 0,004.
Ik begin te meten op tijdstip t = 20 sec.
Hoelang moet ik meten totdat de bron in totaal 100000 Bq zal hebben afgegeven?

912 sec
               
 
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)