ondergroepen


Ondergroepen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Soms kunnen gedeeltes van groepen op zich ook weer groepen vormen. We zagen dat al bij de groep van V₄ die een deelverzameling was van D₄. De officiële definitie van een ondergroep is de volgende:

H is een ondergroep van groep G als geldt:

1. het eenheidselement e is een element van H
2. als a en b in H zitten, dan zit a o b ook in H.
3. als a in H zit, dan zit a^I ook in H.

Daar zie je direct al aan dat iedere groep G een heel erg simpele ondergroep heeft: {e}.
Ga maar na dat de definitie klopt.

Hoe maak je zo'n ondergroep?

Heel eenvoudig: kies een aantal elementen uit groep G. Ga nu met deze elementen nieuwe elementen maken. Alle nieuwe elementen die je kunt maken stop je in de ondergroep H. Tenslotte doe je ook nog alle inversen van al die elementen erbij in, en klaar is je ondergroep!!
De ondergroep H wordt in dit geval voortgebracht door de elementen waar je mee begon. Een ondergroep die wordt voortgebracht door één enkel element heet een cyclische ondergroep: hij bestaat gewoon uit alle machten van dat ene element. De orde van zo'n cyclische ondergroep is gelijk aan de orde van dat ene element, dat had je vast al wel verzonnen.

Een speciale ondergroep: de tekenafbeelding.

We gaan om een nieuwe ondergroep te maken, een teken s (+1 of -1) aan een permutatie toekennen. Dat doen we met de volgende twee regels;

Het teken (s) van een verwisseling (transpositie) is -1

s (p o q) = s(p) • s(q)

Daarmee horen alle mogelijke permutaties van een groep bij het getal +1 (een even aantal verwisselingen) of bij het getal -1 (een oneven aantal verwisselingen).
Waarom kan dat zomaar? We weten al dat elke permutatie als product van verwisselingen kan worden geschreven. Maar dat kan op heel veel verschillende manieren, en waarom zouden al die manieren uit hetzelfde aantal (even of oneven) verwisselingen bestaan? Waarom? Waarom???

voorbeeld: de cykel (1 3 4 2) kun je schrijven als de verwisselingen (13)(14)(12) maar ook als (12)(13)(23)(24)(14)
Het eerste geval zijn het 3 verwisselingen, het tweede geval zijn het er 5. Maar wél allebei een oneven aantal. Kennelijk is de cykel (1 3 4 2) een oneven permutatie.

Bewijs dat dat kan.
Neem een verzameling van 4 elementen, bijvoorbeeld 2, 3, 5, 8.
Ga nu een getal uitrekenen dat bij deze volgorde hoort door alle getallen x_i - x_j (met i < j) met elkaar te vermenigvuldigen.
Dat zou in ons geval geven: (2 - 3)(2 - 5)(2 - 8)(3 - 5)((3 - 8)(5 - 8) = + 540.
Je zou het een functie f kunnen noemen: f(2, 3, 5, 8) = +540

Bekijk nu een willekeurige permutatie van deze vier elementen, bijvoorbeeld 5, 3, 8, 2. Als je nu weer f gaat uitrekenen zal daar weer (plus of min) 540 uitkomen, want alle verschillen staan er gewoon wéér, hoogstens met een ander teken.
in dat geval vinden we f(5, 3, 8, 2) = (5 - 3)(5 - 8)(5 - 2)(3 - 8)(3 - 2)(8 - 2) = +540.

Maar f(3, 2, 5, 8) = (3 - 2)(3 - 5)(3 - 8)(2 - 5)(2 - 8)(5 - 8) = -540 en die is negatief.

Wat gebeurt er bij een verwisseling? Stel dat we x_i en x_j met elkaar verwisselen ( i < j) . Dan veranderen er in de rij getallen die bij f met elkaar worden vermenigvuldigd een heleboel; kijk maar:

•

x_i - x_j verandert in x_j - x_i dus dat geeft een tekenwisseling in f.

•

k < i < j verandert x_k - x_i in x_k - x_j en ook verandert x_k- x_j in x_k - x_i. Netto geen resultaat.

•

i < k < j verandert x_i - x_k in x_j - x_k en ook verandert x_k - x_j in x_k - x_i. Netto geen resultaat.

•

i < j < k verandert x_i - x_k in x_j - x_k en ook verandert x_j - x_k in x_i - x_k. Netto geen resultaat.

Je ziet dat bij een verwisseling inderdaad het teken van f verandert.

In plaats van over het teken van een permutatie hebben we het ook wel over de pariteit. Een permutatie is even als het teken positief is, en oneven als het teken negatief is.
Oh ja... ik zou bijna vergeten waarom we hiermee zijn begonnen: we zouden een ondergroep maken.
Nou daar is 'ie al:

de groep van de even permutaties van een groep G is een ondergroep van G.

Nou; direct nog maar een stelling er achteraan dan:

de groep van de even permutaties wordt voortgebracht door de 3-cykels.

Bewijs.
Merk eerst op dat een 3-cykel te schrijven is als 2 verwisselingen: (a b c) = (a b)(b c)

Maar dat betekent andersom ook dat elke twee verwisselingen als een 3-cykel geschreven kunnen worden:
(a b)(c d) = (a b)(b c) • (b c )(c d) omdat (b c)(b c) = e
Dus (a b)(c d) = (a b)(b c) • (b c)(c d) = (a b c) • (b c d) en dat zijn inderdaad twee 3-cykels.
Dus kunnen alle verwisselingen als 3-cykels geschreven worden.
q.e.d.

Nou vooruit, nog maar een stelling dan:

De ondergroep van de even permutaties van G_n heeft orde ¹/₂n!

Bewijs.
Er zijn evenveel even als oneven permutaties. Dat kun je als volgt zien: pas een enkele verwisseling toe op alle even permutaties; dan krijg je allemaal oneven permutaties, dus dat zijn er evenveel.
Het totaal aantal permutaties is n! en als er evenveel even als oneven moeten zijn, dan zijn er van elk dus ¹/₂n!.
q.e.d.

Een beroemd puzzeltje...

Het beroemde schuifpuzzeltje hiernaast is van Sam Lloyd.
Je moet de getallen door te schuiven in de goede volgorde krijgen.
Stel nu dat in de situatie hiernaast 14 en 15 worden omgewisseld. Kun je dan door schuiven de goede eindsituatie weer krijgen?

Nee dat kan niet, en dat kun je als volgt zien. Noem het blokje rechts onderin BLANCO. Dan bestaat een zet (schuiven) uit een verwisseling van BLANCO met een ander nummer. Maar als BLANCO op het eind weer rechts onderin moet zitten, moeten er een even aantal verwisselingen zijn geweest (kleur de velden maar om en om zoals op een schaakbord zwart en wit, dan zie je dat BLANCO steeds van zwart naar wit en weer naar zwart gaat, dus na een even aantal zetten staat hij steeds weer op zijn beginkleur).

Het product van een even aantal verwisselingen is weer een even permutatie, en kan dus nooit netto de verwisseling 14-15 zijn (die is oneven).