oppervlakte veelhoek


Oppervlakte.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Hieronder zie je een aantal "basisoppervlakten" die je waarschijnlijk (hopelijk) al wel kent.

Merk nog even op dat de tweede en derde figuur eigenlijk hetzelfde zijn! Je moet de hoogte van een driehoek loodrecht op de basis kiezen, dus die kan soms buiten de driehoek vallen, zoals in de derde figuur.

Het wordt pas interessanter als we verschillende figuren gaan combineren, of er delen van gaan afsnijden.
Een paar voorbeelden zullen de verschillende tactieken om een oppervlakte uit te rekenen wel duidelijk maken, denk ik.

1. Een regelmatige veelhoek.

Als je de oppervlakte van een regelmatige veelhoek moet uitrekenen kun je hem het best in driehoeken verdelen die allemaal met de top in het middelpunt liggen en als basis een zijde hebben. De regelmatige zevenhoek hiernaast wordt zo in 7 driehoeken verdeeld.
De zeven hoeken bij het midden zijn dus elk ³⁶⁰/₇ = 51,43º
Als je één zo'n driehoek bekijkt heeft hij dus een tophoek van 51,4º en een basis van 4.
De halve tophoek is dan 25,7º dus voor de hoogte h geldt tan(25,7º) = ²/_h
Daaruit volgt h = ²/_tan(25,7º) ≈ 4,15
en de oppervlakte van de driehoek is dan ¹/₂ • 4,15 • 4 = 8,31
De hele zevenhoek heeft dan oppervlakte 7 • 8,31 ≈ 58,1.

2. Inlijsten.

De oppervlakte van de groene vierhoek hiernaast kun je makkelijk berekenen als je er een lijstje van vier driehoeken omheen zet!
De totale oppervlakte van het vierkant is 7 × 7 = 49 en daar moeten vier driehoeken af.
Die hebben achtereenvolgens oppervlaktes 6, 8, 7¹/₂ en 3
Dus de vierhoek heeft oppervlakte 49 - 6 - 8 - 7¹/₂ - 3 = 24¹/₂

3. Onderverdelen.

Dezelfde vierhoek kun je ook berekenen door hem in allemaal driehoeken te verdelen.
Hiernaast zie je dat de oppervlakte dan gelijk is aan:
3 + 6 + 8 + 7¹/₂ = 24¹/₂

OPGAVEN

Bereken de oppervlakte van de volgende figuren. De gekromde lijnen zijn allemaal delen van cirkels waarvan de stippen het middelpunt aangeven. Alle hoekpunten zijn uiteraard roosterpunten.

olympiadevraagstuk

De omtrek van de kat hiernaast bestaat uit zes kwartcirkels.
Bereken de oppervlakte als de hokjes 1 bij 1 zijn.

Geef je antwoord exact (dus niet afronden)

8 - ¹/₂π

Een regelmatige negenhoek heeft zijden van 4 cm. Bereken de oppervlakte in twee decimalen nauwkeurig.

98,91 cm²

Hoeveel procent van de oppervlakte van de rechthoek hiernaast is groen?

42% (⁵/₁₂)

In een regelmatige zeshoek met zijden van 5 wordt een ster getekend zoals in de figuur hiernaast.

Bereken de oppervlakte van de ster in twee decimalen nauwkeurig.
Laat ook zien dat deze oppervlakte precies ²/₃ deel van de zeshoek is.

43,30

Hiernaast staan twee manieren om een vierkant te tekenen in een gelijkbenige rechthoekige driehoek.

Bereken de verhouding tussen die twee oppervlaktes

8 : 9

Hieronder zijn in drie even grote vierkanten drie gebieden rood gemaakt.
Bereken de verhouding van de oppervlaktes van die gebieden.

1 : 1 : 1

Bereken de oppervlakte van de blauwe driehoek hiernaast

3,6

Een rechthoek van 18 bij 8 wordt zoals hiernaast in twee stukken gesneden. Dat wordt zó gedaan dat je met die twee stukken een vierkant kunt leggen.

Bereken de lengte van de zijden van dat vierkant.

10.

Hoeveel procent is de gekleurde oppervlakte van de regelmatige zeshoek hiernaast?

5⁵/₉