© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Parameters en snijpunten
       
Bij parabolen hebben we een hele poos geleden (deze les)  het al gehad over parameters en snijpunten.
Parameters dat waren contanten in een vergelijking die je nog niet weet, die dus nog allerlei waarden kunnen aannemen.
Bij parabolen hebben we gebruikt dat het aantal snijpunten van grafieken gelijk was aan het aantal oplossingen van een kwadratische vergelijking.
Dat aantal oplossingen hing toen af van de discriminant van die vergelijking.

Nou goed nieuws:  bij cirkels gaat het precies zo!
Ook daar krijg je bij snijden meestal kwadratische vergelijkingen.
Dus ook daar geldt:

ax2 + bx + c = 0
D = b2 - 4ac
D > 0 :  twee oplossingen
D = 0 :  één oplossing
D < 0 :  geen oplossing
       
Als je bijvoorbeeld een lijn met een cirkel snijdt zou dat de volgende plaatjes opleveren:
       

 
Voorbeeld: 
Voor welke  p heeft de cirkel  (x + 3)2 + y2 = p  twee snijpunten met de lijn  y = 2x + 1?

Oplossing:
snijden geeft  (x + 3)2 + (2x + 1)2 = p
x2 + 6x + 9 + 4x2 + 4x + 1 = p
5x2 + 10x + 10 - p = 0
D = 102 - 20(10 - p)
100 - 200 + 20p > 0
20p > 100
p > 5
 

Nou zul je misschien zeggen dat je dat grensgeval van de lijn die de cirkel raakt ook wel kunt bepalen door te stellen dat dan de afstand van de lijn tot het middelpunt van de cirkel precies gelijk moet zijn aan de straal van de cirkel.
En weet je wat?.......
Je hebt helemaal gelijk!
Dat zou de volgende oplossing van het vorige voorbeeld geven:
 
Voorbeeld: 
Voor welke  p heeft de cirkel  (x + 3)2 + y2 = p  twee snijpunten met de lijn  y = 2x + 1?

Oplossing.
trek een lijn van M(-3, 0) die loodrecht op de lijn y = 2x + 1 staat
Die heeft helling -0,5
y = -0,5x + b door  (-3, 0)  geeft  b = -1,5
Het is de lijn y = -0,5x - 1,5
Snijpunt van beide lijnen:   -0,5x - 1,5 = 2x + 1
Dat geeft snijpunt S(-1, -1)
De afstand MS is  r = √(22 + 12) = √5
Dus p = r2 = 5
 
Trouwens.....
Als het op deze tweede manier net zo goed (en misschien nog wel sneller) kan, waarom zou je dan die discriminant-methode leren?
Goeie vraag al zeg ik het zelf.
Nou, dat is zo omdat niet ál dit soort problemen met de tweede methode opgelost kunnen worden.
Dat kan bijvoorbeeld niet als er een parameter in de vergelijking van de lijn zit, of in de coördinaten van het middelpunt van de cirkel.
   
Voorbeeld:  Voor welke p heeft de lijn  y = px + 8  geen snijpunten met de cirkel   x2 + (y + 2)2  =  10?

Oplossing:
snijden geeft  x2 + (px + 8 + 2)2 = 10
x2 + (px + 10)2 = 10
x2 + p2x2 + 20px + 100 = 10
(1 + p2)x2 + 20px + 90 = 0
D < 0  geeft nu:
400p2 - 360(1 + p2) < 0
40p2 < 360
p2 < 9
Dus p zit in het interval  〈-3 ; 3〉
       
 
                                       
  OPGAVEN.
       
1. a. Voor welke p heeft de lijn  y = px - 1  twee snijpunten met de cirkel x2 + y2 - 18x - 14y + 101 = 0 ?
       
  b. Voor welke p heeft de lijn  y = -2x + a  geen snijpunten met de cirkel  x2 + y2 - 16x - 2y + 17 = 0 ?
       
  c. Voor welke p heeft de lijn  y = 6 - x  precies één snijpunt met de cirkel  (x - 11)2 + (y - p)2 = 45 ?
       
2. Er zijn twee lijnen door de oorsprong die de cirkel   (x - 15)2 + (y - 5)2 = 200  raken.
Eén van die twee lijnen is de lijn  y = -x
       
  a. Toon dat aan.
       
  b. Geef een vergelijking van de andere lijn.
       
  We willen graag de hoek tussen deze twee lijnen berekenen.
       
  c. Bereken de hoek tussen deze twee lijnen door de richtingscoëfficiënten van die lijnen te gebruiken.
Geef je antwoord in graden nauwkeurig.
       
  d. Bereken in graden nauwkeurig de hoek tussen die twee lijnen door meetkundige redeneringen en berekeningen met de figuur hiernaast te gebruiken, zonder de richtingscoëfficiënten van de lijnen te gebruiken.

 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)