Pjotr en de Spinaziemonsters.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
       
Er is een grote voorraad artikelen waarvan een gedeelte een verkeerde eigenschap heeft. Denk aan  bolletjesslikkers bij mensen die de douane passeren, of namaakbiljetten tussen de echten in de kluis van een bank.

In deze les bekijken we de spinazie die op een veiling in de buurt van Tsjernobyl wordt aangeleverd, maar waarvan ten gevolge van een ongeluk in een kerncentrale een gedeelte radioactief besmet is.

Pjotr werkt op de veiling en moet alle aangeleverde spinazie testen.
Gelukkig heeft hij een apparaat waar hij een willekeurig aantal spinaziemonsters in kan stoppen en dat dan aangeeft of er besmetten bij zijn (het apparaat zegt niet wélke besmet zijn, alleen óf er besmetten zijn).

Als hij dan een groot aantal monsters moet “keuren” met dit apparaat, dan kan hij kiezen uit twee verschillende strategieën:
       

I.

 Meet de artikelen stuk voor stuk  

II.

 Meet in één keer een heel groepje. Als er geen verkeerden bij zijn ben je in één keer klaar, anders meet je ze alsnog één voor één.
       
De tweede methode heeft het voordeel ten opzichte van de eerste dat hij sneller is als er géén verkeerde artikelen in het groepje zitten., maar het nadeel dat hij langzamer is als er wél besmetten zijn.
In deze les gaan we onderzoeken wat de meest efficiënte strategie is om zulke monsters met zo’n apparaat te testen.  Hoe groot kunnen we de groepjes het best kiezen, en hoe hangt dat af van het aantal besmette monsters?
       
Een voorbeeldberekening.
       
Stel dat van alle aangeleverde spinazie 10% besmet is, en dat een meting met het apparaat in totaal 5 minuten duurt.
Met methode I ben je dan per monster precies 5 minuten kwijt.

Met methode II zijn er twee mogelijkheden.
Stel dat Pjotr besluit om de spinazie in groepjes van 4 tegelijk te meten.
• Als alle monsters "schoon" zijn ben je in totaal 5 minuten voor 4 monsters kwijt, dus dat is  1,25 minuut per monster.
• Als er minstens één besmet is ben je  5 + 4 • 5 = 25 minuten kwijt, dus per monster  6,25 minuten.
       
De kans dat alle monsters schoon zijn is  0,904 = 0,6561, dus de kans dat er minstens één besmet is, is 1 - 0,6561 = 0,3439

Voor de gemiddelde tijd per monster geldt dan dus het tabelletje hiernaast.
De gemiddelde meettijd is nu
1,25 • 0,6561 + 6,25 • 0,3439 = 2,9695.
gemiddelde tijd kans
1,25 0,6561
6,25 0,3439
       
Dat is vergeleken met die 5 minuten van methode I een verbetering van maar liefst 41%.
       
       
1. Stel dat van de aangeleverde spinazie 4% besmet is, en dat Pjotr gaat meten in groepjes van 8 monsters tegelijk.
Bereken hoeveel verbetering/verslechtering dat is vergeleken met elk monster apart te meten.
       
       
Het algemene geval.
 
We gaan een formule maken voor het geval er p% besmet is, en Pjotr besluit de spinazie in groepjes van n tegelijk te gaan meten.
De kans dat een groepje nu helemaal schoon is, is (1 - p)n  dus de kans dat dat niet zo is, is  1 - (1- p)n
Als alles schoon is kost het 5 minuten dus per monster 5/n minuut
Als er besmetten bij zijn kost het 5 + 5n minuten, dus per monster 5/n + 5.
Dat geeft de kansverdeling hiernaast.
gemiddelde tijd kans
5/n (1 - p)n
5/n + 5 1 - (1 - p)n
De gemiddelde tijd per monster is nu de verwachtingswaarde: 
E = 5/n • ( 1 - p)n + (5/n + 5) • (1 - (1 - p)n)
Haakjes wegwerken:   5/n(1 - p)n + 5/n - 5/n(1 - p)n + 5 - 5(1 - p)n = 5/n + 5 - 5(1 - p)n   
       

E =  5/n + 5 - 5(1 - p)n 
       
           
2. Stel dat 1% van de monsters besmet is.
Bereken in dat geval de optimale groepsgrootte waarmee Pjotr de monsters moet meten.
         

 n = 11 

           
3. Vul de volgende tabel in:
           
 
% besmet 1% 2% 3% 4% 10% 20% 30% 40%
optimale groepsgrootte                
           
4. Praktische opdracht:

Verzin een andere meetvariant voor Pjotr, en bereken daarmee de optimale strategie om de spinazie te meten.
           
           
         

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)