tellen voor gevorderden

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Tellen voor gevorderden.

Deze les bekijken we nog drie slimme principes die we soms kunnen gebruiken om handig te tellen.

Principe 1: Plak ze even aan elkaar!

vraag:
In mijn boekenkast staan op de eerste plank 24 boeken op een rij. Eerst vraag ik me af op hoeveel verschillende manieren ik die boeken op een rij kan zetten. Het antwoord daarop is simpel natuurlijk: dat zijn de permutaties van 24 uit 24. Ofwel op 24! = 620448401733239439360000 manieren.

Maar nou komt het: het zijn 10 wiskundeboeken en 14 andere boeken. En ik wil eigenlijk wel graag die wiskundeboeken naast elkaar hebben staan. De vraag is: op hoeveel manieren kan ik de boeken rangschikken als de wiskundeboeken naast elkaar moeten staan?

antwoord:
Het antwoord is erg eenvoudig, je moet er alleen even opkomen.
Als die wiskundeboeken naast elkaar moeten staan, dan doe ik daar gewoon even een elastiek om.......
Dan heb ik nog 15 "boeken" over, namelijk 14 gewone boeken en één superdik WISKUNDEBOEK (die met het elastiek erom). Die 15 boeken kan ik op 15! manieren rangschikken.
Als ik ze op één van die manieren heb neergezet haal ik het elastiek weer van de wiskundeboeken af, en dan kan ik die 10 wiskundeboeken onderling nog weer op 10! manieren herrangschikken.
Bij elk van de 15! manieren krijg ik zo 10! nieuwe manieren, dus in totaal kan dat op 15! • 10! = 4,75 • 10¹⁸ manieren.

Principe 2: Kijk naar de tussenruimtes.

Mijn kleine dochtertje Marijke heeft op de basisschool net optellen geleerd. "papa, er komt uit heel veel sommen 10" zei ze trots. "Kijk maar: 1 + 9, en 2 + 2 + 6 en 9 + 1 en 1 + 1 + 5 + 2 + 1 en ......" zo ging ze nog wel even door.

Ik vroeg mij af: Uit hoeveel sommen komt 10?
(een andere volgorde is voor Marijke uiteraard een andere som, en nullen komen niet voor, dat snap je wel)

oplossing:

Leg 10 stenen op een rij.

Een som maken is dan precies hetzelfde als tussen deze stenen schotten neerzetten. Hiernaast zie je hoe met drie schotten de som 2 + 5 + 1 + 2 = 10 wordt gemaakt.

Er zijn 9 plaatsen waarvan je elke keer moet beslissen of je er een schot neerzet of niet.
Dat geeft in totaal 2⁹ = 512 mogelijke sommen waar 10 uitkomt (we beschouwen het getal 10 zelf ook als som).

Principe 3: Tel het tegenovergestelde

Soms is het handiger om in plaats van te tellen op hoeveel manieren iets kan gebeuren, om te tellen op hoeveel manieren iets NIET kan gebeuren.

Voorbeeld.
Uit een groep van 10 jongens en 8 meisjes moet ik een commissie van 4 leden kiezen.
Op hoeveel manieren kan dat als er minstens één meisje in moet zitten?

Oplossing.
Tel het aantal manieren ZONDER meisje. Dan moet je 4 jongens uit de 10 kiezen en dat kan op 10 nCr 4 = 210 manieren.

Tel het totaal aantal manieren als er geen voorwaarden zijn. Dan moet je 4 personen uit de 18 kiezen en dat kan op 18 nCr 4 = 3060 manieren.

Het aantal manieren met minstens één meisje is dan 3060 - 210 = 2850.

OPGAVEN

1.	Ik zet 10 verschillende religieuze boeken op een plank naast elkaar. Daarbij zit een bijbel en een koran. Op hoeveel verschillende manieren kan ik de boeken neerzetten zonder dat de bijbel en de koran elkaar raken?

2.	8 vrienden gaan naar de bioscoop. Ze gaan in een lege rij van 25 stoelen zitten, elk op een willekeurige plek

	a.	Op hoeveel verschillende manieren kan dat?

	b.	Op hoeveel manieren kan dat als ze op 8 plaatsen zonder lege stoel ertussen gaan zitten?

3.	Een dierentuininkoper gaat op zoek naar Antilopes, Beren, Chimpansees en Dromedarissen om te kopen. In totaal gaat hij 30 beesten kopen, minstens één van elke soort. Als hij ze naast elkaar zet geeft dat een rij van 30 beesten: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Hoeveel verschillende aankopen zijn er mogelijk?

4.	Aan een fietstijdrit doen 48 fietsers mee. daarvan zijn 14 beginners, 8 gevorderden, 16 ver gevorderden en 10 professionals.

	Deze fietsers moeten één voor één, met steeds een minuut tussenruimte, starten.

	a.	Hoeveel verschillende startvolgordes zijn er mogelijk?

	b.	Hoeveel startvolgordes zijn er mogelijk als men "dezelfde soort" fietsers (beginner, gevorderd, ver gevorderd, professional) steeds allemaal direct achter elkaar wil laten starten?

5.	Voor de zoveelste keer is mijn mobiele telefoon helemaal leeg. Er is vast iet met de accu aan de hand. Om de telefoon weer te ontgrendelen moet ik mijn Puk code weten. Ik weet dat het een getal van 4 cijfers is, en ook dat er minstens twee dezelfde cijfers bij zijn. Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er voor mijn Puk code?


© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)