projectie

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Afmetingen in een perspectieftekening.

Je weten intussen al dat in een perspectieftekening lijnen die verder van je af liggen kleiner getekend moeten worden. Maar dat betekent bijvoorbeeld dat je het midden van een lijnstuk AB dat van je afloopt niet gewoon kunt tekenen door te meten AM = MB.
Immers als MA en MB in werkelijkheid even lang zijn, dan moet in perspectief MB kleiner zijn dan MA omdat dat deel verder van je afligt.
De vraag is alleen Hoeveel Kleiner??

Hoe vind ik het midden van AB?

Dat is erg eenvoudig: maak er in de perspectieftekening een rechthoek van! Het maakt niet uit hoe groot. Het midden van een rechthoek is het snijpunt van de diagonalen.

Hiernaast is van lijnstuk AB een rechthoek ACDB gemaakt. Lijnstuk AC is evenwijdig aan de horizon getekend met willekeurige grootte. CD gaat naar hetzelfde verdwijnpunt als AB, en BD is evenwijdig aan AC.

Vanaf het snijpunt van de diagonalen kun je nu makkelijk M vinden.

Natuurlijk kan zo'n rechthoek ook rechtop staan in plaats van op de grond te liggen. Dat zie je hiernaast getekend.

Andersom: Hoe verdubbel ik een lijnstuk AB?

Vraag jezelf in bovenstaande voorbeelden af: "Als ik AM zou hebben, kan ik dan punt B vinden?"
Ik hoop dat het antwoord is "Tuurlijk!!"

Maak een willekeurige rechthoek AMED.
S is het midden van EM, dus ook het snijpunt van de diagonalen van rechthoek ABCD. Dus door DS te snijden met AV vind je punt B.

Je kunt S vinden door gewoon het midden van EM te nemen (immers EM loopt evenwijdig aan het tafereel) maar als je dat niet vertrouwt kun je S ook vinden door het snijpunt van DM en AE naar V te trekken (in driepuntsperspectief vaak nodig want dan is er niets evenwijdig aan het tafereel).
En uiteraard kun je hetzelfde weer doen met een rechthoek die op de grond ligt.

En andere verhoudingen? Hoe zit het daarmee??

Nou da's mooi, die vorige methode. Makkelijk om een lijnstuk in tweeën te verdelen. En als je een lijnstuk in vieren wilt verdelen, dan verdeel je die twee helften gewoon wéér in tweeën. Zo kun je vrij eenvoudig een lijnstuk in 2, 4, 8, 16, ... gelijke stukken verdelen.

Maar hoe is het met drie gelijke stukken? Of vijf...? Of dertien....?

Dat is makkelijker dan je denkt.
Het zit hem allemaal in de volgende eigenschap van een rechthoek: als je een zijde AB van een rechthoek in drie gelijke stukken (AE, EF, FB) verdeelt, dan wordt de diagonaal AC in de tekening hiernaast óók in drie gelijke stukken verdeeld.

Stel dat ik in de tekening hiernaast lijnstuk AB in drie gelijke stukken wil verdelen. Dan maak ik gewoon een willekeurige rechthoek ACBD, waarvan AB de diagonaal is. Dat is hiernaast gebeurd door een willekeurig lijnstuk AC evenwijdig aan de horizon te tekenen.

Omdat AC evenwijdig aan de horizon is, kan ik AC in drie gelijke delen verdelen.
Maar dan zijn QV en PV de lijnen evenwijdig aan BC en AD, dus die verdelen de diagonaal AB óók in drie gelijke delen.

En wat voor drie kan, kan ook voor elk ander getal.

Een lijnstuk een aantal keer langer maken.

Dat is natuurlijk weer het omgekeerde van het vorige.
Stel dat ik in de vorige figuur AR heb, en dat ik dat lijnstuk drie keer zo lang wil maken....
Dan teken ik een willekeurige lengte AP (evenwijdig aan de horizon) en dat geeft punt V
Ik maak AP drie keer zo lang en ik krijg punt C en vind via CV dus ook punt B (CV met AR snijden).

OPGAVEN

Hieronder zie je een perspectieftekening van een stuk weg met aan de linkerkant lantaarnpalen erlangs. Er zijn nog meer palen, en de palen staan op gelijke afstanden langs de weg. Teken er nog drie palen bij.

Iemand heeft een vierkant stuk grond betegeld met vierkante tegels.
Hieronder zie je in perspectief getekend twee keer dat hele stuk grond.

Teken de tegels als het stuk grond is betegeld met 16 tegels.

Teken de tegels als het stuk grond is betegeld met 9 tegels.

Examenvraagstuk 1991-II

Hiernaast zie je in parallelprojectie een dak met een dakkapel getekend. De afmetingen staan bij de figuur.
Hieronder is een deel van het huis waar deze dakkapel bij hoort in perspectief getekend met de voorgevel parallel aan het tafereel.

Voltooi deze perspectieftekening van het huis met de dakkapel.

Examenvraagstuk 1992-II

Een huis is uitgebreid met een aanbouw aan één van de zijkanten van dat huis. Hiernaast zie je een plattegrond van het huis met aanbouw. Aan de voorkant van het huis springt de aanbouw in en aan de achterkant steekt de aanbouw uit. Aan de achterkant liggen het dak van het huis en het dak van de aanbouw in één vlak. De hoogte van de voorkant van de aanbouw is gelijk aan de hoogte van de achterkant van de aanbouw.
Het hoogste punt van het huis bevindt zich midden boven het huis zonder aanbouw.

Hieronder is een begin van een perspectieftekening van het huis met aanbouw getekend.

Maak deze perspectieftekening af.

examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 1996

Hierboven zie je een loods in aanbouw. De loods bestaat uit vijf gelijke balkconstructies op gelijk afstand van elkaar (6 m).
Samen met de grondlijn vormt elke balkconstructie een vijfhoek.
In de figuur hieronder zijn de derde vijfhoek met de punten B en F en de vijfde vijfhoek met de punten C, D en E in perspectief getekend.

Teken in deze figuur de eerste vijfhoek; dat is de vijfhoek waarvan A een hoekpunt is. Licht je werkwijze toe.

examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 1994.

Een directeur van een reclamebureau geeft een architect opdracht om een kantoor te ontwerpen in de vorm van een regelmatige vierzijdige piramide. De architect neemt de piramide van Cheops in Egypte als voorbeeld. In overleg met de directeur wordt besloten de piramide 12 meter hoog te maken en een grondvlak van 24 bij 24 meter te nemen.

In de piramide wordt een uitsparing gemaakt voor de ingang zoals in de figuur hier onder is aangegeven. E is het midden van AB.
∠EFG = ∠BFG = ∠BFE = 90º.

In de onderstaande figuur zijn 3 punten van het grondvlak van de piramide in perspectief getekend. AB is evenwijdig aan de horizon.

Teken in deze figuur de top van de piramide en voltooi de perspectieftekening van de piramide met de uitsparing bij de ingang. Licht je werkwijze toe.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde C, 2017-II

De kunstenaar Stanley Brouwn heeft in 2004 een maquette voor een tentoonstellingspaviljoen gemaakt. Zie de figuur. De maquette bestaat uit twee gelijke langwerpige bouwblokken waarvan het ene op de grond staat en het andere daar precies in het midden dwars overheen ligt.
De hoogte van elke balk is 3,90 m.
In 2005 is het tentoonstellingspaviljoen geopend. Zie de foto.

Onderzoek met behulp van de foto, zonder een horizon te tekenen, op welke hoogte die foto genomen is. Rond je antwoord af op hele dm.

Het tentoonstellingspaviljoen moet in perspectief getekend worden. De onderste balk, de plaats waar de bovenste balk op de onderste balk ligt, een paar hulplijnen om het verdwijnpunt V te vinden en het verdwijnpunt V zelf zijn onder opgave 22 al getekend.

De balk die erbovenop komt te liggen moet zo getekend worden dat het tentoonstellingspaviljoen het bovenaanzicht heeft van de figuur hiernaast.

Maak de perspectieftekening van het gehele tentoonstellingspaviljoen hieronder af.

8.	Examenvraagstuk VWO Wiskunde C, 2018-I

	Op de foto zie je een schilderij van Francis Bacon. Een man bevindt zich voor een ruimte met donkere wanden. Het plafond en de vloer zijn in iets lichtere kleuren afgebeeld. Als je aanneemt dat deze ruimte balkvormig is, kun je zien dat de kunstenaar deze ruimte niet precies volgens de regels van het perspectief heeft getekend.

	a.	Leg met behulp van de foto uit hoe je dit kunt zien.

	Hieronder zie je het begin van een juiste perspectieftekening van een model van de balkvormige ruimte op het schilderij. Alleen de achterwand en de vloer zijn aangegeven.



	b.	Maak deze perspectieftekening correct af.

	De man op het schilderij staat voor de balkvormige ruimte. Stel dat het Bacons bedoeling was om de man midden voor de balkvormige ruimte te plaatsen op een afstand die de helft is van de diepte van de ruimte. In de figuur zie je een bovenaanzicht van de balkvormige ruimte waarin een punt P is getekend. De afstand van P tot de voorkant van de ruimte is de helft van de diepte van deze ruimte, dus MP = 0,5 • AC.
	c.	Teken dit punt P in de onderstaande perspectieftekening



9.	Examenvraagstuk VWO Wiskunde C, 2019-I

	Nabij Rushton in Engeland staat een bijzonder gebouw: Triangular Lodge. Voor de ontwerper van het gebouw had het getal 3 zoveel betekenis dat alles van dit gebouw in het teken staat van 3. Het grondvlak van het gebouw is een gelijkzijdige driehoek waarvan de zijden 33 feet lang zijn De hoogte aan de buitenkant tot aan de dakrand is 8,22 meter.

	a.	Bereken met behulp van de foto op welke hoogte de fotograaf de foto heeft genomen. Geef je antwoord in gehele cm.

	De buitenmuren zijn erg dik. Daardoor is de binnenruimte een gelijkzijdige driehoek met zijden van 8,22 m. Deze ruimte wordt door drie dunnere muren verdeeld in een regelmatige zeshoek en drie gelijkzijdige driehoeken. Zie de figuur.



	In de figuur hieronder is het grondvlak van het gebouw, de gelijkzijdige driehoek dus, in perspectief getekend. Je ziet ook de horizon in de tekening. Een van de zijden is, zoals je ziet, evenwijdig met de horizon getekend. Wat nog niet getekend is, is de regelmatige zeshoek (de zeshoekige kamer waarvan hierboven sprake was).



	b.	Teken de regelmatige zeshoek in de driehoek. Je mag daarbij de dikte van de muren verwaarlozen. Licht je werkwijze toe.

10.	In de figuur hieronder zie je een perspectieftekening van een dakopbouw. In deze figuur zie je dat de lengte van de staande balk van dit basismodel 2,90 meter is.



	Voor het in deze figuur gekozen perspectief – waarbij de horizon horizontaal loopt – heeft men in het computerprogramma een denkbeeldig punt aan moeten geven van waaruit het perspectief getekend moest worden.

	a.	Bereken met behulp van de figuur op welke hoogte dit denkbeeldige punt gekozen is. Geef je antwoord in gehele meters.

	De dakopbouw is dus naar wens aan te passen. Een potentiële klant wil een beeld krijgen hoe de dakopbouw eruit zou zien als het basismodel van de figuur hierboven wordt uitgebreid met een piramidevormig dak. Dit piramidevormige dak wordt op de donkergrijze dakrand boven de kamer geplaatst waardoor de hele dakopbouw anderhalf keer zo hoog wordt. De top T van het piramidevormige dak komt precies boven het midden van het huidige dak van de opbouw.

	b.	Teken de top T en daarna de rest van het piramidevormige dak in de figuur op de uitwerkbijlage. Licht je werkwijze toe.