© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek III, propositie 13.
       

Twee cirkels hebben hoogstens één raakpunt.
       
Stel dat twee cirkels met middelpunten M en N elkaar inwendig  raken in A en B.

Dan liggen A en B op de lijn door M en N  (III-11)
Neem aan dat dat AMNB is  (andere volgorde geeft hetzelfde verhaal)

AM = MB  (straal blauwe cirkel)
Dus AM is groter dan NB  (het scheelt namelijk MN)
Dus AN is veeeeel groter dan  NB

Maar AN en NB moeten gelijk zijn (straal rode cirkel)

Dat kan niet, dus de cirkels kunnen elkaar niet in A en B raken.

       
Stel dat de blauwe cirkel de rode uitwendig raakt in A en B. Dan komt de blauwe cirkel niet binnen de rode en ligt AB dus buiten de blauwe cirkel.

A en B zijn twee punten op de omtrek van de cirkels, dus moet het verbindingslijnstuk AB binnen beide cirkels vallen (III-2)

Dat is tegenstrijdig. AB kan niet buiten én binnen de blauwe cirkel vallen.
Dus twee cirkels kunnen elkaar niet uitwendig raken in twee punten (of meer).

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)