|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Een Pythagoreïsch drietal bestaat uit drie gehele getallen a, b en c waarvoor geldt a2 + b2 = c2 . De drie getallen zouden dus de drie zijden van een rechthoekige driehoek kunnen zijn. Hier zie je er een paar: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Die eerste twee zijn nog
gelijkvormig, maar die anderen niet. Er blijken oneindig veel
verschillende Pythagoreïsche drietallen te zijn. Maar hoe vind je ze? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Nou is de vergelijking van een
cirkel met straal r en middelpunt O gelijk aan x2
+ y2 = r2. En dat is natuurlijk
precies de stelling van Pythagoras, maar dan met andere letters. Dat
betekent dat een rechthoekige driehoek met gehele zijden a, b
en c wiskundig gezien eigenlijk precies hetzelfde is als
een cirkel met middelpunt O en straal c, die door het
roosterpunt (a, b) gaat. Door te schrijven (x/r)2 + (y/r)2 = 1 brengen we het probleem terug tot het vinden van punten van de cirkel x2 + y2 = 1 met als coördinaten breuken, Dan kun je er makkelijk een Pythagoreïsch drietal van maken. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
| We gaan proberen voor
deze cirkel een parameterkromme te maken. De truc daarvoor zie je hiernaast. Laat de t die bij een willekeurig punt P van de cirkel hoort gelijk zijn aan de helling PQ waarbij Q het punt (1,0) is. Dus een lijn met helling t vanaf Q levert een snijpunt P met de cirkel op. In de figuur hiernaast zie je dat, als t alle waarden doorloopt, dat dan punt Q de cirkel doorloopt. |
 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Dat geeft y = t(x - 1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Invullen in de
vergelijking van de cirkel: x2 + t2(x
- 1)2 = 1 ⇒ x2 + t2x2 - t22x + t2 - 1 = 0 ⇒ x2 (1 + t2) + x(-2t2 ) + (t2 - 1) = 0 Nou, daar kun je de ABC-formule op loslaten: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De oplossing met het
plusteken is saai: x = 1, en dat is natuurlijk punt Q. De oplossing met het minteken is interessanter: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Daarmee wordt de parametervoorstelling van de cirkel: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| En het mooie van de
parametervoorstelling is, dat er alleen maar hele machten van t
in voorkomen. Waarom dat zo mooi is? Nou, als je voor t een geheel getal neemt, dan krijg je voor x en y breuken, en daar kun je dan makkelijk een Pythagoreïsch drietal met gehele getallen van maken. Neem bijvoorbeeld t = 2, dat geeft x = 3/5 en y = -4/5 dus geldt (3/5)2 + (-4/5)2 = 1 dus 32 + 42 = 52 Het levert het Pythagoreïsche drietal 3-4-5 op. Hier is een lijstje met de drietallen die t = 1 t.m. 10 opleveren: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| En ga zo maar door.... COOL toch?....... | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
