Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De quotiëntregel

Hier is een functie die we nog niet kunnen differentiëren:

Een functie die een breuk is. Die eigenlijk bestaat uit twee functies op elkaar gedeeld worden.

Het zal hopelijk wel duidelijk zijn dat je niet gewoon de teller en de noemer apart mag differentiëren. Dat kun je bijvoorbeeld zien aan het eenvoudige voorbeeld f(x) = ^x/_x
Daar staat natuurlijk f(x) = 1, dus de afgeleide wordt f '(x) = 0
Maar als je de teller en de noemer apart differentieert geeft dat
f '(x) = ¹/₁ = 1 en dat is duidelijk niet het zelfde.

Hoe moet het dan wél?

De oplossing is te vinden door je te bedenken dat delen en vermenigvuldigen eigenlijk hetzelfde is! Van elke deling kun je een vermenigvuldiging maken.
Zo is bijvoorbeeld ⁵/₃ = 5 • ¹/₃ = 5 • 3^-1 en ^x/₄ = x • ¹/₄ = x • 4^-1 en ⁶/_p = 6 • ¹/_p = 6 • p^-1 en ga zo maar door.
Als we deze functie schrijven als ^t/_n (teller gedeeld door noemer) dan is hij hetzelfde als t • ¹/_n = t • n^-1
En deze laatste kunnen we met de productregel en de kettingregel differentiëren:

Dus f ' = t ' · n^-1 + t · -1 · n^-2 · n '

Bij die laatste stap moet je eraan denken dat die n^-1 eigenlijk een kettingfunctie is: [ ]^-1 ,dus moet je de kettingregel gebruiken. De functie n is het "blok".
Dit laatste kunnen we nog herleiden:

Dit laatste heet de quotiëntregel.
Als we hem schrijven als twee functies op elkaar gedeeld dan geeft dat:

(Voor een ander bewijs, waar je de kettingregel niet bij nodig hebt, moet je maar hiernaast kijken).

Voorbeeld.

Het voorbeeld helemaal aan het begin zou dus als afgeleide geven:

Nog een paar puntjes om op te letten:

1. Alleen gebruiken als het nodig is.

Je moet de quotiëntregel alleen gebruiken als er in de teller én in de noemer van de functie x-en staan. Als dat niet zo is, dan is het niet fout om hem toch te gebruiken, maar dan kan het allemaal veel simpeler.
Twee voorbeelden zullen dat duidelijk maken, hoop ik:

2. Denk om de kettingregel.

Natuurlijk kan ook hier bij die f ' of g' de kettingregel weer opduiken. In het volgende voorbeeld zelfs tweemaal

Zie je waar de kettingregel is verschenen?

bij de • 2 en • 4 in de teller

3. Laat de noemer met rust! Kijk naar de teller!

Meestal heeft het niet zoveel zin om de haakjes van de noemer weg te werken. In het eerste voorbeeld lieten we ook gewoon (x² + 4)² en maakten we er niet van x⁴ + 8x² + 16. Het voordeel van die haakjes laten staan is dat je makkelijker kunt zien wanneer de noemer nul wordt en de afgeleide dus niet bestaat.
Meestal moet je immers oplossen f ' = 0 (om maxima en minima te vinden) en in dat geval kun je gewoon de teller gelijk aan nul stellen:

breuk = 0 ⇒ teller = 0

OPGAVEN

Geef de afgeleiden van de volgende functies:

Gegeven is de functie:

Je kunt de afgeleide daarvan berekenen met de quotiëntregel maar ook door de breuk eerst in twee aparte breuken te splitsen. Bereken op deze twee manieren de afgeleide van f en laat zien dat de beide manieren hetzelfde resultaat geven.

Gegeven is de functie

Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt van de grafiek waarvoor x = 1,5.

Bereken algebraïsch in twee decimalen nauwkeurig de afstand tussen het maximum en het minimum van de grafiek van deze functie.

Laat zien dat de functie:

voor elke a > 0 een extreme waarde van y = Öa heeft.

Een handelaar in vuurwerk verkoopt standaardpakketten voor 12 euro. Hij merkt echter dat hij meer pakketten verkoopt als hij de prijs verlaagt. De volgende formule geldt:

Daarin is q het aantal verkochte pakketten en p de prijs in euro per pakket.

Toon algebraïsch aan dat bij verhoging van de prijs het aantal verkochte pakketten inderdaad alsmaar zal afnemen.

Met welke snelheid neemt de verkoop af bij een prijs van 16 euro?