raaklijn

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Raaklijnen.

Een raaklijn is een rechte lijn die een grafiek raakt.

Maar ja, daar schiet je natuurlijk nog niets mee op, want wat is nou raken?
De volgende plaatjes maken misschien duidelijk wat daarmee wordt bedoeld.

Je ziet één of andere groene grafiek, met steeds een blauwe rechte lijn erbij getekend.
Eén van die plaatjes is speciaal!
Zie je welke?

Wiskundigen vinden plaatje nummer 5 een speciale. Daarin ligt die blauwe lijn net "tegen de grafiek aan". Je zou ook kunnen zeggen dat de blauwe lijn "precies langs" de grafiek loopt.
Zo'n lijn die "langs de grafiek loopt" of "ertegenaan ligt" heet een raaklijn.

Nou is dat "er langs lopen" of "er tegenaan liggen" natuurlijk niet netjes wiskundig gezegd. Je kunt dat nauwkeuriger zo zeggen:

"Een raaklijn in een punt van een grafiek heeft dezelfde helling als de grafiek in dat punt".

(Eerder hebben we al precies bekeken wat we bedoelen met de helling van een grafiek in een punt).

Het punt waar de raaklijn de grafiek raakt heet heel toepasselijk het raakpunt.
Let dus goed op je taalgebruik; er is een groot wiskundig verschil tussen raken en snijden!

Rechts hierboven zie je dat één lijn een grafiek zelfs zowel kan raken als snijden!

Een andere manier om het te zien.
Als je maar een héél klein stukje van een grafiek bekijkt, dan is dat bij benadering ongeveer een recht lijntje. Als je er nog kromming in ziet dan moet je gewoon een nóg kleiner stukje bekijken.
Dus op den duur, als je een héél, héél, héél, héél, hééééééél klein stukje van een grafiek bekijkt dan is dat zo goed als een recht lijntje.
Nou; de raaklijn is dat mini rechte lijntje, maar dan doorgetrokken.

Hoe maak je de vergelijking van een raaklijn?

Dat is gelukkig erg eenvoudig.
Je moet je op de eerste plaats bedenken dat een raaklijn een rechte lijn is, dus de formule ervan zal er uitzien als y = ax+ b.
Die lijn is makkelijk te vinden, immers je weet dat de helling van de raaklijn gelijk is aan de helling van de grafiek in het raakpunt. En die laatste kun je vinden door de x van het raakpunt, x_R, in te vullen in de afgeleide functie f '.

helling raaklijn

helling grafiek

Om nu een raaklijn op te stellen volg je de volgende drie stappen:

STAP 1.

Bereken de coördinaten (x_R, y_R) van het raakpunt. x_R wordt meestal gegeven, y_R kun je berekenen door x_R in het functievoorschrift in te vullen.

STAP 2.

Bereken de helling a van de raaklijn: a = helling van de grafiek bij x_P .

STAP 3.

Bereken de b van de lijn door het raakpunt (x_R, y_R) in te vullen in y = ax + b.

Voorbeeld.
Gegeven is de functie f(x) = 3x³ - 2x + 1.
Geef de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt waarvoor x = 2.

Oplossing:
f(2) = 3 • 2³ - 2 • 2 + 1 = 21 dus het raakpunt is R(2, 21)
De helling van de grafiek is a = 34
y = ax + b geeft dan 21 = 34 • 2 + b ofwel b = -47
De raaklijn is de lijn y = 34x - 47.

Met de GR En ja, natuurlijk kan dit alles ook met de GR. Zet het functievoorschrift in Y1 Plot de grafiek. Toets dan in 2nd DRAW 5: Tangent( ENTER Druk dan op 2 en onder in beeld verschijnt X = 2. Nogmaals ENTER en je krijgt de vergelijking van de raaklijn onder in beeld. Hij tekent 'em zelfs voor je!!

OPGAVEN

1.	Voor een nacht in juni geldt het temperatuursverloop hiernaast. Daarbij hoort de formule T = ¹⁰/_{(t + 1)} + 2t t is de tijd in uren met t = 0 om 12 uur 's nachts. T is de temperatuur in graden Celsius.

	a.	Met welke snelheid in °C per uur neemt de temperatuur in het begin af?

	b.	Iemand meet om 3 uur 's nachts hoe snel de temperatuur toeneemt. Als die toenamesnelheid vanaf dat moment gelijk zou blijven, dan zou de grafiek vanaf dat punt de raaklijn volgen.
		Stel een vergelijking van die raaklijn op en bereken daarmee hoe lang het in dat geval zou duren voordat de temperatuur 15°C is.

2.	Bereken algebraïsch de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f(x) in de volgende gevallen:

	a.	f(x) = 2x² + 5x - 1 bij x = -2.

	b.	f(x) = 6√x - 2 bij x = 9.

	c.	f(x) = 12 - ⁸/_x bij x = -2.

3.	Onderzoek algebraïsch of de lijn y = x + 10 de grafiek van y = 4√(x + 6) raakt.

4.	Gegeven is de functie f(x) = 2x³ - 8x² + 2

	a.	Geef een vergelijking van de raaklijn bij x = 3.

	b.	Bereken voor x = 3,1 twee dingen: - de functiewaarde f(3,1) - de y-waarde van de raaklijn uit vraag a) voor x = 3,1

	c.	Beredeneer met de berekende getallen uit vraag a) en b) of de grafiek van f bij x = 3 toenemend/afnemend stijgend/dalend is. Doe dat zonder de grafiek te tekenen of plotten.


© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)