© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
Redeneren met de afgeleide.
       
De vorige les hebben we gezien hoe je met behulp van een formule f  kunt beredeneren of de grafiek stijgt of daalt en of er grenswaarden zijn.
Deze les gaan we dezelfde soort redeneringen houden, maar nu met de afgeleide functie  f '.

Oké dan, wat verraadt die afgeleide f ' allemaal over de grafiek van f ?
       
1.   Stijgen en dalen.  
       
Op de eerste plaats kun je met de afgeleide direct bepalen of een grafiek stijgt of daalt. De afgeleide is immers de helling van de grafiek?  Dus als de afgeleide negatief is dan daalt de grafiek en als de afgeleide positief is dan stijgt hij.
       

Afgeleide negatief:  grafiek daalt
Afgeleide positief:  grafiek stijgt.
       
Voorbeeld:   Toon aan dat de grafiek van   y = (6x - 4)/(x - 1) overal daalt.

Oplossing:
Nou, eerst maar eens de afgeleide met de quotiëntregel:
Daar staat een breuk.
De teller is negatief (-2)
De noemer is een kwadraat dus dat is altijd positief (nul kan niet).
Dus de hele breuk is altijd negatief.
Als de afgeleide altijd negatief is, dan daalt de grafiek dus overal.
       
2.   Toenemende/Afnemende     Stijging/Daling.
       
Laten we als voorbeeld afnemende stijging bekijken.
Wat weten we van f  ' als de grafiek van f afnemende stijging vertoont?
Nou, afnemende stijging betekent eigenlijk twee dingen:
       
  1. Er is stijging  
    Als er stijging is, dan betekent dat, dat de afgeleide groter dan nul is.
  2. De stijging neemt af
Als de stijging afneemt, dan neemt de afgeleide dus af  (immers de afgeleide geeft de stijging van de grafiek zelf weer)
Dus de afgeleide daalt.
     
Afnemende stijging betekent dus dat de afgeleide positief is en daalt.

Kijk of je het volgende schemaatje snapt:
       
   afgeleide
positief of negatief 		afgeleide
dalend of stijgend
toenemende stijging positief stijgend (meer positief)
afnemende stijging positief dalend (minder positief)
toenemende daling negatief dalend (meer negatief)
afnemende daling negatief stijgend (minder negatief)
       
Die laatste kolom (of de afgeleide stijgt of daalt) kun je vaak het handigst met een grafiek van de afgeleide laten zien. Er is bijvoorbeeld afnemende daling als de grafiek van f ' onder de x-as zit, maar wel stijgt (naar de x-as toe dus) want dan wordt dat negatief zijn (de daling) steeds minder.
Met grafieken beschreven zou dit schemaatje er zo uitzien:
       
  afgeleide
toenemende stijging boven de x-as en stijgend
afnemende stijging boven de x-as en dalend
toenemende daling onder de x-as en dalend
afnemende daling onder de x-as en stijgend
       
Voorbeeld. 
Gegeven is de formule  N(t) = 4 × t0,38
Onderzoek of de grafiek van N(t)  toenemende/afnemende stijging/daling vertoont.

Oplossing.
De grafiek van N zie je hiernaast.
Het lijkt erop dat deze grafiek afnemend stijging vertoont.

Laten we dat met de afgeleide bekijken:

 
Er geldt  N ' = 1,52 × t-0,62 
De grafiek van N ' zie je hiernaast.

Daar zijn twee dingen aan te zien:

1.  De grafiek van de afgeleide ligt overal boven de x-as dus de grafiek van de functie zelf stijgt overal.

2.  De grafiek van de afgeleide daalt, dus de grafiek van de functie zelf vertoont afnemende stijging.

       
 
 
OPGAVEN
       
1. Het aanleggen van een kunstgrasveld is nog best een prijzige zaak. De kosten per m2  zijn voornamelijk afhankelijk van het totale grasoppervlak, en die kosten per m2 worden kleiner naarmate het grasoppervlak groter wordt. Dat komt door allerlei  vaste kosten als vergunningen, voorrijkosten, omheining e.d.  Bij grote grasvelden bepalen uiteindelijk de variabele kosten zoals arbeidskosten en materiaalkosten per m2 deze kosten.

Een bedrijf dat kunstgrasvelden aanlegt hanteert de volgende formule voor velden in Nederland:
       
 

K(A) = 2-0,0011A + 4,54 + 46,35   met  10 ≤  V  ≤ 10000.
       
  Hierin zijn K de aanlegkosten voor een kunstgrasveld in Nederland in euro’s per m2 oppervlak en is A het totale oppervlak van hert kunstgrasveld in m2.

De formule  K(A) = 2-0,0011A + 4,54 + 46,35  is te herleiden tot de vorm   K(A) = b · gA + 46,35   
       
  a. Geef deze herleiding. Geef de waarde van b in gehelen en de waarde van g in vier decimalen.
       
  Sinds kort legt men ook in Duitsland kunstgrasvelden aan.
Daarvoor hanteert men de volgende formule:
       
 

K(A) = 2-0,0016A + 5,62 + 52,48    met  10 ≤  V  ≤ 10000.
       
  Hierin zijn K(A) de kosten voor een kunstgrasveld in euro’s per m2 en is A weer het totale oppervlak van het grasveld in m2.

In elk model gaat men ervan uit dat de kosten per m2 afnemen naarmate het oppervlak groter is. De mate waarin de kosten per m2 afnemen, verschilt per model.
       
  b. Stel de afgeleiden van beide formules voor K op en onderzoek met behulp van een schets van beide afgeleiden bij welke van deze twee formules de mate van afname het grootst is. Licht je antwoord toe.
       
2. Magic is een ruilkaartspel (TCG:  trading card game) dat in de jaren 90 is uitgevonden door Richard Garfield en dat sindsdien erg populair geworden is. Er zijn verschillende sets kaarten uitgegeven
De kaarten uit de oude sets zijn intussen erg veel geld waard geworden.
Hieronder zie je drie zulke kaarten met eronder de tegenwoordige prijs (2024). De middelste is de zeldzaamste van allemaal:  de  "Black Lotus".
       
 

       
  De prijs van zulke zeldzame kaarten hangt sterk af van het (geschatte) aantal dat er nog van in omloop is.
De volgende formule beschrijft dit verband redelijk goed:
   
 

       
  W is de waarde in euro's, a het geschatte aantal kaarten dat nog in omloop is.
Men schat dat er van de Black Lotus nog 350 exemplaren in omloop zijn, van de Birds of Paradise nog 3500 kaarten en van  de Serra Angel nog 63000 exemplaren. Dat klopt erg goed met de gegeven formule.
De waarde is bij toenemend aantal kaarten sterk dalend

Onderzoek met behulp van de afgeleide van W of de waarde van de kaarten  toenemend of afnemend daalt bij groter aantal.
       
3. Als je een heideveld niet goed onderhoudt, dan wordt de hoeveelheid heide steeds kleiner.  Door bijvoorbeeld de hoeveelheid stikstof en ammoniak verzuurt de natuur en groeien heidevelden dicht met gras. Dit gras verdringt de heide, waardoor, als we niets ondernemen, de heide uiteindelijk zal verdwijnen.

Staatsbosbeheer merkt dat een groot heideveld van oorspronkelijk 10 km2 langzaam verdwijnt.
Elke maand verdwijnt er 0,2% van de oppervlakte aan heide, en dat wordt dan gras.
 

  De hoeveelheid gras wordt in dat geval gegeven door:  G(t) = 10(1 - 0,99812t)

Daarin is t de tijd in jaren vanaf het begin gerekend, en G de hoeveelheid gras  (in km2).

Met behulp van de afgeleide van G kan de verandering van de hoeveelheid gras worden bepaald. Die afgeleide is van de vorm G ' = c • 0,99812t.
Afgerond op één decimaal geldt: c = 0,2 .
       
  a. Bereken c met behulp van differentiëren. Geef je antwoord in twee decimalen.
       
  De hoeveelheid gras (in km2) heeft een grenswaarde (van 10 km2). Die hoeveelheid stijgt afnemend naar die grenswaarde.
       
  b. Beredeneer aan de hand van de afgeleide van P dat de hoeveelheid gras inderdaad steeds minder sterk toeneemt.
       
4. Een grote gemeente  merkt op een bepaald moment dat nog maar ongeveer een derde van de basisschoolleerlingen kan zwemmen.
Men besluit een actie te beginnen om te zorgen dat het aantal kinderen op de basisschool dat kan zwemmen toeneemt.
Door middel van een intensieve reclamecampagne met o.a. gratis zwemlessen slaagt men er inderdaad in om het percentage van de kinderen dat kan zwemmen langzaam te vergroten.
Voor dat percentage stelt men het volgende model op:
       
 

       
  Daarin is P het percentage van de basisschoolleerlingen dat kan zwemmen en t de tijd in maanden met t = 0 een half jaar na aanvang van de actie.
Het percentage P blijkt inderdaad alleen maar te stijgen.

Stel de formule van de afgeleide van P op en onderzoek daarmee of P afnemend stijgend is.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)