|
|
RISK |
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|
|
|
|
Risk is een bordspel
waarbij je met een aantal legers van jezelf de legers van een
tegenstander moet verslaan.
Bij een aanval staan er twee legermachten tegenover elkaar waarbij er
eentje de aanvaller is (A) en eentje de verdediger (V).
A gooit eerst met 3 dobbelstenen en kiest uit zijn worp de hoogste twee
aantallen.
Daarna mag V kiezen of hij met 1 of met 2 legers verdedigt.
Als hij met 1 leger verdedigt gooit hij 1 dobbelsteen, en dat aantal
ogen vergelijkt hij met het hoogste aantal van A. Als dat aantal van A
meer is, verliest V 1 leger. Als het aantal van A gelijk of minder is,
dan verliest A 1 leger. |
|
|
|
|
|
Als hij ervoor kiest
met 2 legers te verdedigen gooit hij 2 dobbelstenen.
Zijn hoogste aantal wordt vergeleken met het hoogste van de aanvaller,
en zijn tweede aantal met het tweede van de aanvaller. Daarbij geldt
elke keer weer: als A hoger is verliest V een leger, anders
verliest A een leger.
Als A bijvoorbeeld 5-3 gooit, en V gooit 4 -3 dan wordt 5 met 4
vergeleken (A wint) en 3 met 3 (V wint). Beiden verliezen één
leger en de netto winst voor V is dus 0. |
|
Bij gelijke aantallen wint de
verdediger. |
|
|
|
|
|
Daar werken twee
dingen elkaar tegen;
• V heeft het voordeel dat hij eerst mag kijken wat A heeft
gegooid voordat hij beslist met 1 of 2 dobbelstenen te gooien.
• Bij gelijke aantallen wint V.
• A heeft 3 dobbelstenen en V maar 2.
De vragen zijn nu natuurlijk: |
Wanneer moet V met 2 dobbelstenen
gooien? |
|
|
Is dit spel in het voordeel van A of van V? |
|
|
|
|
|
Voor de hoogste twee
ogen van een worp van 3 dobbelstenen (de worp van A) zijn er 21
mogelijkheden.
(6,6)(6,5)(6,4)(6,3)(6,2)(6,1)(5,5)(5,4)(5,3)(5,2)(5,1)(4,4)(4,3)(4,2)(4,1)(3,2)(3,2)(3,1)(2,2)(2,1)(1,1)
Etappe 1.
Laten we de kans op elk van die mogelijkheden eerst berekenen.
Voorbeeld: Hoe groot is de kans op (5,3) als
hoogste twee?
In totaal zijn er 63 = 216 mogelijke worpen met 3
dobbelstenen.
(5,3) zijn de hoogsten als er is gegooid (5, 3, 3) of (5,3,L)
waarbij L een lagere dan 3 is.
• (5,3,3) kan op 3 manieren (immers de 5 kan als eerste, tweede of
derde staan)
• (5,3, L) kun je rangschikken op 3! = 6 manieren maar die L kan
nog 2 dingen zijn (1 of 2 ogen), dus totaal 12 manieren
Dat betekent dat (5,3) de hoogste 2 zijn in 3 + 12 = 15 van de 216
manieren. De kans erop is dus 15/216. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Vul de volgende tabel in. Daarin staan de
hoogste twee ogen van een worp van 3 dobbelstenen, en de kans
daarop. |
|
|
|
|
|
|
|
worp |
(6,6) |
(6,5) |
(6,4) |
(6,3) |
(6,2) |
(6,1) |
(5,5) |
(5,4) |
(5,3) |
(5,2) |
kans |
|
|
|
|
|
|
|
|
15/216 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
worp |
(5,1) |
(4,4) |
(4,3) |
(4,2) |
(4,1) |
(3,3) |
(3,2) |
(3,1) |
(2,2) |
(2,1) |
(1,1) |
kans |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Controleer nu eerst of de som van alle kansen
wel gelijk is aan 1. |
|
|
|
|
|
|
|
Etappe 2. |
|
|
|
|
In deze etappe gaat
het om de beslissing van V. Moet hij met 1 of met 2 legers verdedigen?
Neem bijvoorbeeld het geval dat A als hoogste twee getallen 4 - 3 heeft
gegooid.
Stel dat V dan met één dobbelsteen/leger besluit te verdedigen.
Dan geldt voor hem de volgende tabel: |
|
|
|
|
aantal ogen |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
kans |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
aantal legers winst/verlies |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
|
|
|
|
De laatste rij geeft
het aantal gewonnen legers ten opzichte van A (dus als A er eentje
verliest telt dat voor V als +1)
In de laatste rij zie je dat de gemiddelde winst voor V gelijk zal zijn
aan 0. |
|
|
|
|
Hoe is dat als V met
twee stenen verdedigt?
Dan geldt de tabel hiernaast.
Daarin zie je dat (alle getallen optellen) V in totaal 14 legers zal
winnen in 36 gevallen.
Dat is een gemiddelde winst van 14/36 leger
bij één worp.
Dus deze tactiek is beter dan het verdedigen met 1 dobbelsteen (daar was
de gemiddelde winst immers 0)
Conclusie:
"Als A als hoogste twee 4-3 gooit, dan moet V met
2 stenen verdedigen en dan zal hij gemiddeld
14/36
leger winnen". |
|
s t e e n 2
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
s
t
e
e
n1 |
1 |
-2 |
-2 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
2 |
-2 |
-2 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
3 |
-2 |
-2 |
0 |
+2 |
+2 |
+2 |
4 |
0 |
0 |
+2 |
+2 |
+2 |
+2 |
5 |
0 |
0 |
+2 |
+2 |
+2 |
+2 |
6 |
0 |
0 |
+2 |
+2 |
+2 |
+2 |
|
|
|
|
|
2. |
Maak ook voor de andere 20 gevallen zulke
verlies/winst tabellen en zet het resultaat ervan in
onderstaande tabel.
De middelste rij geeft aan met hoeveel stenen/legers V moet
verdedigen. |
|
|
|
|
|
|
|
worp van A |
(6,6) |
(6,5) |
(6,4) |
(6,3) |
(6,2) |
(6,1) |
(5,5) |
(5,4) |
(5,3) |
(5,2) |
tactiek (1 of 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gemiddelde winst |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
worp van A |
(5,1) |
(4,4) |
(4,3) |
(4,2) |
(4,1) |
(3,3) |
(3,2) |
(3,1) |
(2,2) |
(2,1) |
(1,1) |
tactiek (1 of 2) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
gemiddelde winst |
|
|
14/36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Etappe 3. |
|
|
|
|
Oké, we weten nu hoe
groot de kans op een bepaalde combinatie van A is (opgave 1) en we weten
nu ook wat de tactiek van V in al die gevallen moet zijn en hoeveel
legers hij gemiddelde zal winnen of verliezen (opgave 2).
Tijd om die twee tabellen te combineren.
Dat kan in de volgende tabel: |
|
|
|
|
worp van A |
(6,6) |
(6,5) |
(6,4) |
(6,3) |
(6,2) |
(6,1) |
(5,5) |
(5,4) |
(5,3) |
(5,2) |
kans |
|
|
|
|
|
|
|
|
15/216 |
|
tactiek (1 of 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gemiddelde winst |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
worp van A |
(5,1) |
(4,4) |
(4,3) |
(4,2) |
(4,1) |
(3,3) |
(3,2) |
(3,1) |
(2,2) |
(2,1) |
(1,1) |
kans |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tactiek (1 of 2) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
gemiddelde winst |
|
|
14/36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Maak de bovenstaande tabel af.
Toon vervolgens daarmee aan dat per worp de gemiddelde
winstverwachting voor de verdediger gelijk is aan 1/1296
leger. |
|
|
|
|
|
|
|
En daarmee hebben we
dan eindelijk antwoord op de hoofdvraag:: |
|
|
|
|
De Verdediger zal gemiddeld
1/1296
≈ 0,00077
leger per keer winnen. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |