functies schakelen

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Functies Schakelen.

Kun je je nog herinneren dat we in een eerdere les (nl. deze) een functie beschouwden als een soort machientje waar je een getal (x, domein) in kon gooien, en waar dan een nieuw getal (y, bereik) uitkwam?
Dat zag er uit als hiernaast.

Op dat etiket staat dan een formule die beschrijft wat dat machientje precies met x doet om y te krijgen.

Hieronder zie je twee concrete voorbeeldjes:

Maar weet je wat nou leuk is?
We zetten die apparaatjes onder elkaar zodat het balletje dat uit de ene komt weer in de andere gaat. We verbinden gewoon het uitgangsbuisje van de ene met het ingangsbuisje van de andere.

In de figuur hiernaast heb ik er een blauw buisje omheen gezet zodat dat getal 3 doorgaat naar het volgende machientje.
Als ik het blauwe buisje van glas zou maken zou je daar snel het balletje 3 doorheen zien vallen.

Maar nou komt het leuke:
Die twee apparaatjes samen, zou je ook als één nieuwe functie kunnen zien.
Bouw er gewoon een doos omheen, dan heb je een doos met een ingangsbuisje en een uitgangsbuisje. Als we er 2 ingooien zien we er na een poosje 7 weer uitkomen.

Kijk maar:

De grote vraag is nou natuurlijk: Welk etiket zit er op onze nieuwe functie?

We weten dat je, als er 2 ingegooid wordt, als antwoord 7 krijgt. Maar ja, dat zijn er zoveel die dat doen.....
Zie jij bijvoorbeeld snel wat er onder uit de zwarte doos komt als je er boven 8 ingooit? (Het antwoord staat hiernaast)

127

Een formule kun je snel als volgt maken.
Noem het begingetal x
Dan maakt dat eerste machientje daar x² - 1 van
Het tweede machientje gebruikt deze x² - 1 als nieuwe x.
Dat machientje doet daarmee "2x + 1" maar die x is dus nu x²- 1 van het vorige machientje geworden
Dat geeft dus y = 2(x² - 1) + 1 = 2x² - 2 + 1 = 2x² - 1
De zwarte doos heeft als etiket y = 2x² - 1

(je ziet dat inderdaad 2 • 2² - 1 = 7)

Wat zou er gebeuren als we dezelfde twee machientjes andersom onder elkaar zouden zetten?

Dan maakte de eerste van een getal x een nieuw getal 2x + 1
Die 2x + 1 zou het tweede machientje dan als nieuwe x gebruiken.
Die doet x²- 1 dus nu (2x + 1)² - 1
y = (2x + 1)² - 1 = 4x² + 4x + 1 - 1 = 4x² - 4x
Op de Black-Box zou in dit geval het etiket y = 4x² - 4x staan

Heel wat anders zoals je ziet: de volgorde maakt nogal uit!!!

Notatie van geschakelde functies.

Stel dat we twee functies f en g hebben die we na elkaar gaan schakelen zoals hierboven.

Als we eerst f toepassen, en daarna met dat antwoord g, dan maken we dus eigenlijk van een getal x eerst met f een nieuw getal f(x)
Dat nieuwe getal f(x) gebruiken we dan als invoergetal voor de functie g (het is het getal dat door het buisje valt)
Dus we passen g nu niet toe op x maar op f(x)
Dat zou je dan kunnen noteren als y = g(f(x)) (lees dit als g toegepast op f(x))

De totale functie van de zwarte doos noteren we als g o f (lees dit als "g NA f ")

(g o f ) (x) = g(f(x))

Vertaling:
De functie "g na f " toegepast op het getal x is hetzelfde als de functie g toepassen op het getal f(x)

Hoe zit het met Domein en Bereik?

Het domein was "alles wat je er in mag stoppen".
Maar dan moet je er wel voor zorgen dat dat getal wat uit de eerste (f) komt in de tweede (g) mag worden gestopt
Ofwel: je mag alleen de x-en nemen waarvoor het bereik van f binnen het domein van g zit.

Voorbeeld.
Neem f(x) = 2x + 1 en g(x) = √x
Het domein van g is x ≥ 0
Dus voor g o f   mag je alleen de x-en nemen waarvoor 2x + 1 ≥ 0   (immers die 2x + 1 moet in de g gestopt worden)
Dat betekent dat moet gelden x ≥ -¹/₂
Het domein van g o f is dus   [ -¹/₂, → 〉

Het bereik was "alles wat er uit kan komen".
Maar daarvoor hangt het er wel van af wat er allemaal ingestopt kan worden! Het gaat er om wat er uit de tweede (g) kan komen, waarbij je er alleen uitkomsten van de eerste (f) in mag stoppen. Het zou dus kunnen dat die g een beperkt domein heeft (namelijk het bereik van f).

Voorbeeld.
Neem f(x) = x²   en g(x) = x + 4
Normaal heeft de functie g als bereik alles.
Maar omdat er uit f alleen getallen groter of gelijk aan nul kunnen komen (het is een kwadraat) is het bereik van g o f nu niet meer alles, maar [4, →〉

OPGAVEN

Gegeven zijn de volgende functies: f(x) = √(x + 1) en g(x) = 2x - 3 en h(x) = (x + 3)²

Geef een functievoorschrift van de volgende functies:

f o g

√(2x + 4)

g o h

2x² + 12x + 15

h o g

4x²

g o g

4x - 9

g o h o f

Druk de volgende functies uit in de vorm f o g

h(x) = (x² - 4)⁵

h(x) = 2sinx + sin²x

Hieronder zie je een tabel van twee functies f en g.

x	0	1	2	3	4	5	6
f(x)	2	5	4	6	3	3	1
g(x)	4	5	3	2	0	3	1

Bereken:

f(g(3))

f(f(2))

(f o g)(4)

(g o f)(0)

Hiernaast zie je de grafieken van twee functies f en g
Lees uit deze grafieken de volgende waarden af:

g(f(3))

-3

(g o g)(-1)

-3

(f o g)(-3)

Geef voor de functies uit de vorige vraag voor x en y uit [-5, 5] het domein en het bereik van
de functies f o g en g o f

Iemand gooit een steen in het water en daardoor ontstaat een cirkelvormige golf, die naar buiten gaat met snelheid 50 cm/sec.

Geef een vergelijking r(t) voor de straal r van deze cirkelvormige golf als functie van de tijd t met t = 0 het moment van ontstaan.

50t

Voor de oppervlakte A(r) van een cirkel geldt A = πr²

Geef een functievoorschrift voor A o r en leg uit wat dit voorstelt.

2500πt²

Hiernaast zie je de grafieken van twee functies f en g
Maak een schets van de grafiek van f o g

Gegeven zijn de functies f(x) = 4x + 2 en h(x) = 16x² + 16x + 12
Welke functie is g(x) als geldt g o f = h?

x² + 8

Gegeven zijn de functies f(x) = x + 6 en h(x) = 6x - 3
Welke functie is g(x) als geldt g o f = h?

6x - 39

F is de functie F(x) = x + ¹/_x
Wat is het bereik van F o F ?