sinusregel


De Sinusregel.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Naamgeving in een driehoek.

Afspraak:
Voortaan geven we de hoekpunten van een driehoek de namen A, B, C (hoofdletters)
De hoeken heten α, β en γ (Griekse letters, en bij hoekpunt A hoort hoek α, bij hoekpunt B hoek β, en bij hoekpunt C hoek γ)
De zijden heten a, b en c (kleine letters) waarbij een zijde dezelfde naam heeft als de hoek ertegenover.
't Is allemaal zoals in de figuur hiernaast.

Berekeningen.

Als we van een driehoek alle hoeken kennen en één zijde, dan kunnen we in principe de andere zijden berekenen.
Hiernaast zie je een driehoek ABC met hoeken zoals aangegeven en zijde AB = 8.

Als je daarin de hoogtelijn AD tekent, dan kun je in driehoek ABD sos-cas-toa toepassen.
Dat geeft sin68º = ^AD/₈ ofwel AD = 8 • sin68º

Maar die AD kun je nu weer gebruiken voor sos-cas-toa in driehoek ADC. Dat geeft sin77º = ^AD/_AC ofwel AC = ^AD/_sin77º
Met de al gevonden AD geeft dat AC = ^{8 • sin68º}/_sin77º

Dit was eigenlijk twee keer "SOS".
Maar als we de hoeken α, β en γ noemen en de zijden a, b en c, dan kunnen we de berekening hierboven automatiseren:
in driehoek ABD: sinβ = ^AD/_c dus AD = c • sinβ
in driehoek ADC: sinγ = ^AD/_b dus b = ^AD/_sinγ = ^{c • sinβ}/_sinγ

Als je nu "voor de mooiheid" sinβ naar de andere kant doet, dan staat er het prachtig symmetrische ^b/_sinβ = ^c/_sinγ.

En als je de driehoek draait, dan kun je natuurlijk precies hetzelfde nóg een keer doen!!! Dat zou dan geven ^C/_sinγ = ^A/_sinα
Samengevat vinden we de sinusregel:

Het is de moeite waard deze regel uit je hoofd te leren. Dan hoef je niet elke keer de afleiding hierboven weer te verzinnen.
Natuurlijk kun je deze sinusregel ook gebruiken als je een hoek niet weet, maar wel twee zijden.

Voorbeeld 1.

Bereken de hoek met het vraagteken in de driehoek hiernaast.
De sinusregel geeft: ⁹/_sin(85) = ⁵/_sin(?)
Dus: sin(?) = ^{5 • sin(85)}/₉ ≈ 0,5534
Daaruit volgt ? = sin^-1(0,5534) ≈ 33,6º.

De sinus van een stompe hoek.

De sinusregel geldt ook voor driehoeken met een stompe hoek, maar er is een kleine complicatie.....
Zolang je de sinusregel gebruikt om lengtes van zijden uit te rekenen is er geen vuiltje aan de lucht. Maar zodra je probeert een hoek te berekenen krijg je wel eens een fout antwoord. Dat zit hem allemaal in die sin^-1-functie.

Neem de driehoek hiernaast.

De sinusregel geeft: ⁵/_sin27 = ⁸/_sin? dus sin? = ^{8 • sin27}/₅ ≈ 0,726

Dan geldt ? = sin^-1(0,726) ≈ 46,6º

Maar dat is niet de enige mogelijkheid!
Met een zijde van 8, een zijde van 5 en een hoek van 27º op de plaatsen als hiernaast is er nog een tweede mogelijkheid voor de driehoek!

Kijk maar:

In de linkerfiguur zie je de voorwaarden: AB = 8 , de hoek bij B is 27º. Vanaf A is een zijde van 5 getekend.
Punt C ligt dus ergens op de cirkel met A als middelpunt en met straal 5. Een deel daarvan is getekend.
Maar nu zie je meteen dat er voor de plaats van punt C twee mogelijkheden zijn: C₁ en C₂.
C₁ geeft de oplossing die we hierboven al vonden: een hoek van 46,6º.
Maar in de figuur helemaal rechts zie je dat er nóg een oplossing is, deze keer met een stompe hoek bij C!!!
Ook in deze driehoek zou gelden ⁵/_sin27 = ⁸/_sin? . Waarom vinden we die tweede oplossing dan niet?

Hoe kan dat?

Het zit hem allemaal in de onbetrouwbaarheid van de functie sin^-1x. Die geeft als antwoord altijd een scherpe hoek.
Zo komt er uit sin^-1(0,726) een hoek van 46,6º .
Dat is geen fout antwoord, want het klopt wel dat sin(46,6º) = 0,726.

Maar dit antwoord is niet volledig! Want ook sin(133,4º) = 0,726. En die tweede hoek wordt zomaar verzwegen door sin^-1x.
In de figuur hiernaast zie je dat, als die eerste hoek gelijk is aan γ, dat dan de tweede verzwegen hoek gelijk is aan 180º-γ. Dat volgt uit het feit dat driehoek AC₁C₂ gelijkbenig is.

Je reinste discriminatie van de stompe hoeken!!!!!

De enige oplossing voor dit probleem is, dat je zelf zodra je die sin^-1xgebruikt even controleert of je wel de goede hoek krijgt of dat je misschien 180º-min-die-hoek moet doen.

Als je sin^-1xgebruikt kan het antwoord ook "180º-min-het-gevonden-antwoord" zijn!

OPGAVEN

Bereken de grootte van het vraagteken in de driehoeken hieronder. Geef je antwoorden in één decimaal nauwkeurig.

60.4º en 15.2 en 75.8º

Bereken de grootte van het vraagteken in de driehoeken hieronder. Geef je antwoorden in één decimaal nauwkeurig.

5,0 - 89,0º - 2,1 - 113,3º

Bereken het vraagteken in de figuur hiernaast.

6,31

Vliegtuig 2 gaat opstijgen onder een hoek van 20º. Op dat moment vliegt vliegtuig 1 daar recht boven op afstand 1 km. Vliegtuig 1 is aan het dalen onder een hoek van 30º:

Als beide vliegtuigen een botsing kregen, op welke hoogte h gebeurde dat dan?

174 meter

Een uitkijktoren is 50 m hoog en staat op een heuvel. Vanaf boven in de toren ziet de uitkijkpost een ridder aan komen rijden onder een hoek van 25º.
Een tweede uitkijkpost recht daar onder, aan de voet van de toren, ziet de ridder onder een hoek van 18º.
Bereken de hoogte van de heuvel en de afstand van de ridder tot de voet van de heuvel.

115 m en 354 m.

Hiernaast zie je een citroën C1. Het logo bestaat uit twee gelijke pijlvormige figuren.
In de rechterafbeelding zie je een aantal afmetingen van die pijlen.

Bereken de overige afmetingen van de pijlen.

15º en 6,28

Nee maar! Kleine Karel ziet 's nachts vanuit zijn slaapkamerraam een vliegende schotel! Hij pakt natuurlijk direct zijn geo-driehoek en meet een kijkhoek van 27º ten opzicht van een horizontale lijn.
Dan rent hij naar beneden en meet op een plaats 6 meter lager een kijkhoek van 32º met een horizontale lijn.
Bereken de horizontale afstand van de schotel tot het huis van Kleine Karel.

52 meter

Een landmeter wil de hoogte van een toren die op een helling staat berekenen, maar hij kan de helling niet beklimmen. Hij meet hoek BAC = 20º en hoek BAD = 50º en hoek ABC = 150º. Verder is afstand AB = 30 meter.

Bereken de hoogte van de toren.

67,2 m

Een vogelliefhebber zit op een hoogte van 12 meter boven het wateroppervlak van een meer.
Hij ziet een zeldzame vogel vliegen onder een hoek van 12º ten opzichte van een horizontale lijn.
Als hij naar het wateroppervlak kijkt ziet hij daar het spiegelbeeld van de vogel onder een hoek van 43º ten opzichte van een horizontale lijn.

Bereken de afstand A van de vogel tot de vogelliefhebber (Bedenk daarbij dat bij weerkaatsen de beide rode hoeken in de figuur hiernaast gelijk zijn).

28,4 m

10.

Een vuurtoren is 50 m hoog en staat op een rots. Vanaf boven in de toren ziet de vuurtorenwachter in de verte een schip onder een hoek van 29º

Vanaf onderaan de voet van de toren ziet hij het schip onder een hoek van 25º.

Bereken de hoogte van de rots en de afstand van het schip tot de voet van de rots.

264,94 en 568,17

Toegift.

Een leuke toegift bij de sinusregel is nog het volgende:

Als je een cirkel tekent waar alle drie de hoekpunten van de driehoek op liggen (dat heet de omgeschreven cirkel) dan geldt, als R de straal van die cirkel is:

Bewijs.

Daarvoor moet je wel de stelling van omtrekshoek en middelpuntshoek van een cirkel kennen................
Zie de figuur hiernaast.
Maar AMC is de middelpuntshoek van koorde AC, en de bijbehorende omtrekshoek is β.
Dus β = 0,5AMC = AMN.
sin(AMN) = sin β = ^0,5b/_R want N is het midden van AC, en AM is de straal van de cirkel.
Daaruit volgt ^b/_sinβ = ^R/_0,5 = 2R