kortste verbinding; Steinerpunt


De kortste verbinding.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Het probleem is (voorlopig) het volgende:

Als ik drie punten A, B, en C heb die niet op één lijn liggen, waar ligt dan punt P zodat geldt AP + BP + CP minimaal is?

Dat punt P heet trouwens het Steiner-punt.

Ofwel: als ik tussen de plaatsen A, B en C een wegennet moet aanleggen, wat is dan het minst aantal km asfalt dat ik moet aanleggen?

Een onderzoek met een voorzichtige conclusie.

Neem een willekeurige driehoek en leg de oorsprong in één hoekpunt, en de x-as langs zijde AB.
Dan zijn de hoekpunten bijvoorbeeld (0,0) en (1,10) en (12,0)
Als P het punt (x, y) is, dan is de som van de afstanden van P naar de hoekpunten gelijk aan:

S = √(x² + y²) + √((x - 1)² + (y - 10)²) + √((x - 12)² + y²)

Voor minimale afstand zou je deze S moeten differentiëren en gelijk stellen aan nul, maar dat is veel te moeilijk.

Met een computerprogramma kun je makkelijk de lijnen met S = constant laten tekenen.
Bijvoorbeeld WINPLOT kan dat. (gebruik: window - 2dim - equa - 3. implicit)

Hieronder zie je de isolijnen S = 25, 24, 23, 22, 21.
Die lopen duidelijk naar een punt P daar ergens in het midden toe, en dat is ons gezochte Steinerpunt.

Als je de drie lijnen PA, PB en PC bekijkt dan valt je misschien wat op.
De hoeken bij P lijken allemaal gelijk, dus allemaal 120º.
En dat is niet toevallig bij deze ene driehoek zo; dat geldt voor elke willekeurige driehoek.

De lijnen vanaf de hoekpunten naar het Steinerpunt maken hoeken van 120º met elkaar

Deze stelling geldt zolang het Steinerpunt binnen de driehoek ligt. Als een driehoek een hoek van 120º of meer heeft, dan ligt het Steinerpunt bij dat hoekpunt.
Tijd voor een bewijsje van deze toch wel gedurfde stelling:

Het bewijs dat die hoeken inderdaad 120º zijn.

Teken een driehoek ABC, en noem het Steinerpunt P.
Stel dat je (op één of andere manier) weet hoe groot PB is.
Dan kun je een cirkel tekenen met middelpunt B en straal PB. Ergens op die cirkel ligt dan P.
Dan geldt voor al die punten van de cirkel dat PB constant is.
P is dus het punt van die cirkel waarvoor PA + PC minimaal zijn.
Teken de raaklijn in P aan de cirkel (groen).
Dan is PA + PC minimaal als de hoeken tussen PA en PC en die raaklijn gelijk zijn, dus α = β in de figuur hiernaast.

Maar omdat de hoeken van de raaklijn met BP beiden 90º zijn, geldt dan dat ook de hoeken CPB en APB gelijk zijn.

Maat ja, als je precies hetzelfde verhaal houdt voor een cirkel met middelpunt A en straal AP of een cirkel met middelpunt C en straal CP dan vind je dat al die hoeken in het midden bij P gelijk moeten zijn.

120º dus...

Maak een mooie "TOOL"

Al je nou op een sheet een cirkel tekent met vanuit het middelpunt drie lijnen die een hoek van 120º met elkaar maken, en bovendien een schaalverdeling daarop, dan kun je in één keer bij een driehoek het Steinerpunt vinden en de totale minimale afstand aflezen.

Gewoon een beetje de blauwe cirkel hiernaast heen en weer schuiven zodat alle drie de lijnen door een hoekpunt gaan, en je kunt de afstanden die bij de hoekpunten staan optellen.

Dat zie je hiernaast.

Je kunt trouwens ook Argentijnse mieren inhuren! Lees het volgende interessante artikel op kennisnet maar:

http://www.kennislink.nl/publicaties/mieren-vinden-steinerpunten

Je kunt trouwens ook drie gewichtjes inhuren!
In de figuur hiernaast trekken ze daar aan dat verbindingspunt even hard aan elkaar. Dus zijn alle hoeken (de componenten van die krachten) even groot en dus 120º.

Dat punt daar waar die touwtjes aan elkaar zitten is dus het Steinerpunt.

De preciezere constructie van het Steinerpunt.

Begin met zijde AB.
We gaan proberen een cirkel te construeren waar punt P dan op moet liggen. Omdat de hoek bij P 120º is, is hoek AMB dat ook (de middelpuntshoek van AB is 240º). Dus is hoek BMN 60º (N is het midden van AB)
In driehoek MNB zie je nu dat R = ^0,5AB/_sin60 = ^AB/_√3

Dus als we een lijnstuk met lengte^AB/_√3 = ¹/₃√3 • AB kunnen maken, dan is M te vinden (snij twee cirkels met die straal en middelpunten A en B met elkaar).

Teken met zijde AB een gelijkzijdige driehoek.
Dan geldt DN = ¹/₂√3 • AB
Maar als je nog een zwaartelijn in deze driehoek tekent, dan verdelen die elkaar in stukken 2 : 1. Dus is ZD = ²/₃ DN = ¹/₃√3 • AB.
Precies de gezochte straal!

Die straal is natuurlijk ook gelijk aan BZ en aan AZ.
Dus om M te vinden teken je cirkels met middelpunten A en B en straal AZ = BZ.
P ligt dan ergens op de cirkel met middelpunt M en straal AM = BM

Maar als je op deze manier de cirkel hebt gevonden die bij zijde AB hoort, en waar P dus op moet liggen, dan kun je hetzelfde verhaal nog eens doen met de andere zijdes AC en BC.

P is uiteindelijk het snijpunt van die drie cirkels.
Hier zie je de constructie van twee van die cirkels (op zijde AB blauw en op zijde AC rood)

Punt P is dan uiteindelijk dat snijpunt hiernaast. Die derde cirkel op zijde BC is niet meer nodig.

Die uiteindelijke cirkel waar P op ligt kun je natuurlijk ook direct vinden door een gelijkzijdige driehoek op de zijde (naar buiten toe) te tekenen en daarvan de omgeschreven cirkel te construeren (dat is 'm namelijk)

(Alhoewel deze constructie natuurlijk wiskundig veel verantwoorder is, blijf ik trouwens toch fan van die geweldige TOOL van hierboven).

't kan nóg sneller!

Die hoeken bij P zijn dus allemaal 120°
Maar ∠PAB = ∠PDB (omtrekshoek van koorde PB).
En ∠PBA = ∠PDA (omtrekshoek van koorde PA).

Dan zijn een rode en een groene hoek hiernaast samen 60° (hoekensom van driehoek PAB, want ÐP is 120°)
Maar ook de hoeken van driehoek PAD zijn samen 180°
dus is ∠APD = 60°.

Maar dat betekent dat ∠CPD gelijk is aan 180°: een rechte lijn!!!

Ofwel: Het Steinerpunt is het snijpunt van één van de omgeschreven cirkels met CD.

Een uitbreiding naar 4 punten.

Laten we de situatie met vier punten bekijken. Stel dat er ergens een punt P te vinden is zodat PA + PB + PC + PD de minimale verbinding tussen deze vier punten geeft, zoals hiernaast getekend.

Dan beweer ik dat ik dat beter kan!!!!

Niet om zomaar wat op te scheppen, maar omdat ik intussen weet wat een Steinerpunt is!

Stel dat S₁ het Steinerpunt van driehoek PAD is, en S₂ van driehoek PCB.
Dan geldt: PS₁ + DS₁ + AS₁ ≤ PA + PD want anders was S₁ niet het Steinerpunt van PAD.
Maar op dezelfde manier is PS₂ + CS₂ + BS₂ ≤ PB + PC

Als je beide ongelijkheden optelt dan vind je dat al die rode lijnen samen korter zijn dan die gestippelde zwarte lijnen. Dus is het rode verbindingsnetwerk beter dan het zwarte.

Maar wacht! Het kan natuurlijk nóg beter door nu PS₁ en PS₂ samen te vervangen door S₁S₂ (een rechte lijn is nou eenmaal het kortst).
Punt P is immers helemaal niet nodig!!

Maar wacht nog even langer... diezelfde truc kunnen we natuurlijk gewoon wéér uithalen. Als we S₃ het Steinerpunt van driehoek S₁S₂B nemen, dan geeft dat wéér kortere verbindingen......

En dan wéér, en zo steeds maar door.
Totdat alle hoeken bij die S-punten 120º zijn. Dan gaat het niet verder omdat het Steinerpunt van een nieuwe driehoek dan hoekpunt S zélf is.
De eindsituatie zal er uitzien als hiernaast met allemaal hoeken van 120º

OPGAVEN

Bekijk de speciale situatie van vier punten A, B, C, D op de hoekpunten van een vierkant met zijden 10.
We leggen een netwerk met de punten P en Q als hiernaast aan. Uit symmetrie-overwegingen zal PQ midden tussen AB en CD liggen.

Stel de lengte PR gelijk aan x
Dan geldt voor de totale lengte L van het netwerk:
L = 10 - 2x + 4√(x² + 25)

Toon dat aan.

Bereken algebraïsch de minimale lengte van L.

27,32

Toon aan dat bij deze minimale L alle hoeken bij P en Q gelijk zijn aan 120º.