stelsels differentiaalvergelijkingen


	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Stelsels Differentiaalvergelijkingen

Tot nu toe bekeken we steeds differentiaalvergelijkingen met één onbekende functie. Zo'n vergelijking gaf dan een verband tussen y en y' en y'' en eventueel nog meer afgeleiden. Meestal had dat te maken met een x die de tijd voorstelde, zodat y' de snelheid van verandering was, y'' de versnelling, enz.
In praktijk komt het echter ook voor dat twee dingen niet alleen van de tijd afhangen, maar ook van elkaar. Het beroemdste voorbeeld is prooi-roofdier systemen. Je kunt je voorstellen dat het aantal konijnen in een gebied afhangt van de tijd (ze planten zich voort), maar ook van het aantal vossen (die eten konijnen op) en van hoe dat aantal vossen varieert.
In zo'n geval krijg je te maken met een stelsel van meerdere vergelijkingen met meerdere onbekenden, elk met hun afgeleiden.

Hier is een voorbeeld van een eerste orde lineair stelsel differentiaalvergelijkingen:

y₁' = 2y₁ + 6y₂
y₂' = y₁ - 3y₂

Eerste orde omdat de hoogste afgeleiden de eerste afgeleiden zijn. Lineair omdat er geen hogere dan eerste machten van y in voorkomen. Je ziet dat de functies y₁ en y₂ duidelijk aan elkaar gekoppeld zijn. Je hebt om de één te vinden altijd ook de ander nodig.
De handigste aanpak van zulke stelsels vergelijkingen is, om ze in matrixvorm te schrijven. Bovenstaande voorbeeldvergelijking zou er in matrixvorm zó uitzien:

Laten we voor het gemak die vectoren vanaf nu als hoofdletters schrijven, en die matrices ook, dus:

Dat heeft als voordeel dat het lekker snel noteert: het systeem is dan namelijk eenvoudig te schrijven als Y ' = A • Y
en bovendien kunnen we later bij nog meer y's gewoon dezelfde notatie blijven gebruiken (dan is zo'n Y gewoon een vector met nog meer kentallen).
Een algemeen stelsel van eerste orde ziet er dan uit als Y ' = A • Y + G(x) waarbij A een n × n matrix is, en Y en G bestaan uit n functies y_i en g_i.
Als die G(x) gelijk is aan nul, dan hebben we de homogene vergelijking, dat had je vast al wel door.

Oké, allemaal best, maar nu oplossingen!

Als n = 1 dan is de homogene vergelijking y' = ay met als oplossing y = ce^ax weet je nog?

Laten we daarom eens gek doen, en gewoon proberen of bij hogere n de oplossing niet kan zijn Y = C • e^px
(waarbij C ook een vector is: hoofdletter).

Y ' = A • Y : probeer de oplossing Y = C • e^px

Dan is Y ' = pCe^px    (daar staan eigenlijk n vergelijkingen; en nou maar hopen dat die e^px bij allemaal past)
Vul dit laatste in in de differentiaalvergelijking en je hebt:
pCe^px = ACe^px
⇒ Ce^px(pE - A) = 0    (ook die nul is eigenlijk een vector met n nullen onder elkaar, en die E is de eenheidsmatrix)
⇒ C(pE - A) = 0   (want een e-macht is nooit nul)

Dat betekent dat p een eigenwaarde en C een eigenvector van matrix A moeten zijn. Dus om het stelsel op te lossen moeten we op jacht gaan naar eigenwaarden en eigenvectoren van matrix A. Hoe zat dat ook al weer met eigenwaarden en eigenvectoren? Dat staat in deze les.

Gelezen? Oké, dan zul je hier wel geen moeite mee hebben:

We hebben nu twee mogelijkheden (eigenvectoren) voor de vector C gevonden met bijbehorende (eigen)waarden van p.
De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is nu een combinatie van die twee oplossingen:

Daarbij hangen die c₁ en c₂ weer af van de beginvoorwaarden, zoals we ook al gewend waren bij gewone differentiaalvergelijkingen. Vul die maar in, en je krijgt een stelsel vergelijkingen om de c's op te lossen (weet je het nog van de Wronskiaan?)
Uitgeschreven in de oorspronkelijke stelselvergelijkingen zou dat zijn: y₁ = 6c₁e^3x + c₂e^-4x en y₂ = c₁e^3x - c₂e^-4x